SÉRIES. - SUJETS DIVERS

Séries. — Beaucoup de fonctions employées en Analyse sont définies par des séries ordonnées par rapport aux puissanees positives de la variable X. Cette variable étant réelle et les coefficients de la série étant positifs à partir d’un certain rang, la série, convergente pour de petites valeurs de X, deviendra divergente quand x tendra, en croissant, vers une certaine limite qu’on peut toujours ramener à être l’unité, à moins que la série ne converge pour toutes les valeurs de la variable. La question qui se pose alors est do savoir de quelle façon la fonction définie par la série devient infinie pour æ = t. Je résous cette question (7), en supposant que le produit du coefficient de x'‘ par une certaine puissance de n tende vers une limite pour n infini ; dans cette hypothèse, la fonction devient infinie comme une puissance négative de (i — x), ou comme — log(i — x), dans un cas particulier. Ce théorème, qui peut être utile pour trouver la somme de la série dans le voisinage de la valeur critique i, est un cas particulier d’une proposition que j’ai indiquée postérieurement (100) et qui donne la limite du rapport de deux séries divergentes pour lesquelles le rapport des termes généraux tend vers une limite.

Il existe deux classes étendues de séries et de produits convergents dont on peut évaluer les limites à l’aide de transcendantes connues (6). Ce sont : 1° les séries et les produits convergents dont le terme général est une fonction rationnelle du rang n ; leurs limites s’expriment à l’aide de la fonction r et de ses dérivées ; 2° les séries et les produits convergents dont le terme général, de rang n, est une fonction rationnelle de ÿ", q désignant une constante dont le module est différent de l’unité; leurs limites s’expriment au moyen de la fonction O de Heine et de sa dérivée. Je montre, en outre (9f), que ées mêmes transcendantes permettent de résoudre des problèmes intéressants de calcul fonctionnel.

Certains polynômes, ceux de Legendre par exemple, s’offrent comme

formant les coefficients du développement d’une fonction génératrice suivant les puissances d’une variable. J’ai étudié (68) les polynômes qui forment les coefficients de dans le développement de / (h) e** suivant

les puissances positives de h,f(h) désignant une fonction quelconque de h développable en série entière. Ces polynômes partagent, avec la fonction æ", cette propriété que la dérivée de l’un d’entre eux est égale au précédent multiplié par le degré n. Si la fonction/(/t) satisfait à une équation différentielle linéaire à coefficients rationnels, les polynômes correspondants satisfont à des équations différentielles de même nature dont j’indique le mode de formation. Les développements en série procédant suivant ces polynômes ont été étudiés par Halphen ('), à la suite d’un développement particulier indiqué par M. Léauté (“).

J’ai encore étudié quelques autres polynômes : i“ les polynômes en «qui forment les coefficients des puissances de x dans le développement de «-“(i -l-aæ)*en série entière (102); ces polynômes sont liés d’une façon intéressante à la somme des produits des n premiers entiers php'-, 2° certains polynômes (87) naissant de la série hypergéométrique du second ordre à une variable indépendante; 3“ les polynômes do Bernoulli qui expriment, pour des valeurs entières de la variable, la somme des puissances semblables des n premiers entiers (88). Faisant, à ces polynômes, l’application d’une méthode donnée par M. Darboux (®), j’indique leurs expressions approchées quand leur degré est très grand; j’étudie ensuite (89) les développements en série procédant suivant ces polynômes, développements qui présentent des particularités curieuses; c’est ainsi que, pour (X — je forme un développement qui ne converge que pour des valeurs

Je cite rapidement, pour terminer cette Notice déjà longue, un article sur les fractions continues périodiques (97) donnant l’expression générale de la réduite de rang n au moyen des racines de l’unité ; puis une étude sur certaines équations différentielles linéaires contenant un paramètre variable (86) et analogues à des équations traitées par Liouville; enfin trois Notes de Géométrie : l’une (99) donnant tous les systèmes de deux familles

de courbes orthogonales uniquement composées de coniques; l’autre (101) démontrant cette propriété que les hélices sont les seules courbes gauches pour lesquelles une droite, invariablement liée au trièdre formé par la tangente, la normale principale et la hinormale, puisse engendrer une surface développable; et la troisième (127) contenant l’étude de certaines courbes qui dépendent d’un paramètre et dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire.