FONCTIONS ELLIPTIQUES

Théorie générale. — Abel et Jacobi ontreprésenté les fonctions elliptiques d’une Tariablc x par le quotient de deux fonctions entières admettant chacune une des deux périodes et se reproduisant multipliées par une exponentielle linéaire en x quand on ajoute à la variable la deuxième période. En appliquant les principes de la théorie des fonctions posés par M. Weierstrass, on peut a priori, d’une manière fort simple, arriver à cette expression des fonctions elliptiques (104).

Soit f{x) une fonction doublement périodique d’une variable se comportant, en tous les points à distance finie, comme une fraction rationnelle. Cette fonction peut, d’après les résultats trouvés par M. Weierstrass, se mettre sous la forme du quotient de deux fonctions entières <p(a;) et 'l'(æ) n’ayant pas de zéros communs. Cette forme n’est pas unique, car on peut évidemment multiplier le numérateur et le dénominateur par une même fonction entière n’ayant pas de zéros, c’est-à-dire par une exponentielle dont l’exposant est une fonction entière de x, En disposant convenablement de cette fonction g{x) et s’appuyant sur d’importants résultats dus à M. Guichard {Annales de l’École Normale, 188y), on arrive à mettre la fonction elliptique /(x) sous la forme du quotient de deux autres fonctions entières $(æ) et ■?■(«;), qui remplissent les conditions caractéristiques des fonctions d’Abel et Jacobi et qui peuvent, par suite, être exprimées à l’aide des fonctions 0.

Cette méthode est importante en ce qu’elle s’étend (105) et (112) aux fonctions do deux variables à quatre paires de périodes.

Expression nouvelle des fonctions elliptiques. - D’après les théorèmes généraux de la théorie des fonctions, on reconnaît a priori l’existence d’une infinité de représentations analytiques d’une fonction mérorrtorphe dam tout le plan, c’est-à-dire uniforme et n’ayant que des pôles à distance finie, ces représentations analytiques étant assujetties à donner la fonction pour toutes les valeurs de la variable. Si l’on se limite aux représentations qui donnent la fonction sous forme du quotient de deux séries convergentes pour toutes les valeurs de la variable, il existe encore une infinité de représentations différentes. Les plus simples sont : 1 ° celle qui donne la fonction sous forme du quotient de deux séries entières, par exemple celle qui donne les fonctions elliptiques sous forme du quotient de fonctions 0; 2 “ celle qui donne la fonction sous forme d’une série unique mettant en évidence les pôles et les parties principales correspondantes, série qui est définie par le théorème de M. Mittag-Lefller. Plus généralement, en admettant que la fonction ait pour zéros les points

et pour pôles les points

on pourra la regarder comme le quotient de deux fonctions méromorphes

la fonction P (s) ayant pour zéros une partie des points et pour pôles une partie des points ft,; la fonction Q(z) ayant pour zéros les autres points et pour pôles les autres points a,. Ces deux fonctions P et Q sont, d apres le théorème de M. Mittag-Leffler, représentées par des séries convergentes dans tout le plan. La seule difficulté qui se présentera et qui pourra être considérable sera de calculer les coefficients des séries et surtou t ceux de la partie entière des développements. J’ai fait ce calcul pour les fonctions elliptiques (120) en prenant, pour Q(x), une fonction entière ayant pour zéros les pôles de la fonction situés dans une moitié du plan et, pour P(x), une fonction ayant pour pôles les pôles de la fonction situés dans l’autre moitié du plan. Ces recherches se rattachent à mes études (13) et (91) sur les fondions que Heine a introduites comme une générali-

sation des fonctions culériennes T, et à des résultats que M. Poincaré a indiqués dans ses Mémoires sur les invariants arithmétiques {Comptes rendus, 1879, et. Congrès de l’Association française pour Vavancement des Sciences, Alger, 1881). Elles donnent les fonctions elliptiques sous une forme nouvelle mettant en évidence la double périodicité d’une manière différente de celle qui se présente dans les expressions connues. Voici comment ; la fonction elliptique est le quotient de deux séries P(.3) et Q(3), d’une forme simple, qui admettent séparément la période w et se reproduisent divisées par e “ — 1 ) quand on augmente z de la deuxième période w'.