DEUXIÈME PARTIE

FONCTIONS TRANSCENDANTES SPÉCIALES. — FONCTIONS ALGÉBRIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES.

Fonctions abéliennes et généralisations.

13. Théorie des fonctions abéliennes. — Weierstrass a construit une théorie des fonctions abéliennes sur cette proposition fondamentale :

« Quand n fonctions œ, y, z, ... de n variables u, v, iv, ... ad- » mettent un théorème d’addition, ce sont des combinaisons algé- » briques de fonctions, abéliennes (ou de dégénérescences). »

Je rappelle que, par définition, les h fonctions x, y, z, ... de u, v, iv, ... admettent un théorème d’addition si les valeurs de x,y, z, ... pour les valeurs u + u 0 , y -+- p 0 , iv + iv 0 , ... des variables s’expriment algébriquement en fonctions des valeurs de x, y, z, ... pour u, v,

' Les fonctions que nous appelons abéliennes sont les fonctions méromorphés 2 n’fois périodiques de n variables, représentables par le quotient de séries 0. Elles deviennent des dégénérescences quand, dans les séries 0, un ou plusieurs systèmes de périodes tendent vers zéro ou l’infini.

La démonstration, de Weierstrass, très simple dans le cas d’une variable, n’a jamais été ni publiée ni enseignée dans le cas de deux ou plusieurs variables; elle est aujourd’hui perdue.

L’importance et la beauté de ce théorème, les nombreuses applications qu’il comporte, non seulement dans la théorie des fonctions abéliennes, mais encore dans la théorie des surfaces algébriques, des groupes continus, des équations différentielles, etc., rendaient bien désirable qu’il fût enfin établi. Les seuls travaux qui, à ma connaissance, se rapportent à la question sont ceux de M. Picard sur les surfaces algébriques, mais, en dépit des profondes recherches de l’illustre analyste, le théorème restait à démontrer.

Plaçons-nous, pour plus de simplicité, dans le cas de deux variables.

Un raisonnement tout élémentaire ramène aussitôt la question au problème de l’inversion uniforme de deux intégrales de différentielles totales

J sejt

] l f~j'p I (.x,y,s,)dx-t r Q^x>y,z,)dy

attachées à une surface algébrique

D’une façon précise, considérons le système différentiel l du = P dx + Q dy, f dv = P,dx + Q,dy,

toute la question revient à caractériser les cas où les fonctions x (u, v), y(u, v), définies par (i), sont uniformes et de plus renferment algébriquement les constantes x it y t (valeurs de x, y pour u = o, v = o).

Quand les intégrales J et I, sont de première espèce, le problème est résolu; les fonctions x(u,d), y(u,v) ont quatre paires de périodes distinctes, et les travaux bien connus de Weierstrass, de MM. Appell, Picard, Poincaré permettent de les ramener aux fonctions 9.

Mais le cas où les intégrales J et J, sont de seconde ou de troisième espèce présente de très profondes difficultés. J’ai pu l’élucider complètement [53, 54, 63] et j’ai fait voir que, conformément au théorème de Weierstrass, les fonctions uniformes correspondantes se confondent avec les dégénérescences classiques des fonctions hyperelliptiques.

14. La méthode que j’ai employée s’applique d’ailleurs à un nombre quelconque de variables et démontre, par suite, sous sa forme la plus étendue, le théorème de Weierstrass.

Elle m’a donné aussi la solution d’un problème connexe avec le précédent et d’un grand intérêt analytique : je veux parler du problème qui consiste à déterminer tous les systèmes (i) qui définissent des fonctions x(ti,v), y{u,v) uniformes, sans faire l’hypothèse que x et y renferment algébriquement les constantes x„, y 0 .

Les fonctions uniformes ainsi définies sont des combinaisons de transcendantes classiques, mais non point des fonctions abéliennes (ou

dégénérescences). Je signale notamment un ess où les fonctions ®(u, i>), y(u,v) présentent des singularités essentielles à distance finie et possèdent quatre paires distinctes de périodes qui ne satisfont pas à la relation de Riemann.

L’étude directe du système (i) dans le cas de deux et de n variables m’a permis de constituer toute une théorie des fonctions abéliennes sans rien emprunter à la doctrine des courbes algébriques ou des séries 8. J’ai retrouvé également par cette voie, sans considérations arithmétiques, quelques-uns des plus importants résultats do Weierstrass, de M. Picard et de M. Poincaré sur la réduction des périodes des intégrales abéliennes.

15. Généralisations des fonctions abéliennes et fuchsiennes. — Les travaux que je viens d’exposer me conduisaient naturellement [53, 63] à donner un sens plus large aux mots théorème d'addition. Soient x= q(u, v), y = ty(u, v,), z = trois fonctions quelconques

de u, o, fonctions qui sont liées évidemment par une relation

transcendante ou algébrique. Si l’on appelle (X, Y, Z),

(®o. Jo>*o) les valeurs de («p.'l'.x) qui correspondent respectivement aux valeurs (u + u 0 , v-k-vf), (a,v), {u„,vf) des variables, les trois systèmes (X, Y, Z), (a?, y, s), y 0 , s 0 ) vérifient l’équation (a),

et quand on élimine a, v, u 0 , entre ces systèmes, on exprime X, Y, Z en fonction de x,y,z, x 0 ,y 0 , z„, à savoir

Si F, G, H sont rationnels en oc, y, z, x 0 ,y 0 , z„, les fonctions q, s}/, x admettent un théorème d’addition et sont hyperelli ptiques. Convenons de dire que q, <]i, i admettent un théorème univoque d’addition quand F, G, H sont, non plus rationnels, mais uniformes en ce,y, s, x ù ,y„ z 0 . Voici quelques conséquences de cette définition :

Quand <p, <|i, x admettent un théorème univoque d’addition, i° <p, ']', x sont des fonctions uniformes de u, v (méromorphe si les F, G, H sont méromorphes);

!° Ces fonctions vérifient un système différentiel j d« = P \x,y,z)dx + q (x,r,*)dy, j dv = P, (à, y, z) dtfV Q. (a, r. *) dy, où les seconds membres sont des différentielles exactes [en tenant compte de (a)] et où P, Q, P,, Q, sont uniformes en x,y, s.

Inversement, si les fonctions x, y, s de u, v définies par un tel système (4) sont uniformes, elles admettent un théorème univoque d’addition.

Toute la question serait donc de déterminer les systèmes (4) dont l’intégrale x(u, v), y(u,v) est uniforme.

Trois hypothèses sont possibles :

i° Lasurface S = oet les fonctions P, Q, P,, Q, sont transcendantes;

2 ° La surface S = o est algébrique, mais les fonctions P, Q, P,, Q, sont transcendantes;

3° La surface S = o et les fonctions P, Q, P,, Q, sont algébriques.

Les deux derniers cas se rattachent aux transformations biuni/ormes des surfaces algébriques (voir le §21). Je n’ai pu épuiser jusqu’ici que le troisième cas, qui conduit effectivement à certaines fonctions uniformes admettant un théorème univoque (et non rationnel) d’addition, mais ces fonctions, comme je l’ai dit, sont des combinaisons de transcendantes'classiques.

16. J’ai tenté, dans une autre voie, une généralisation à la fois des fonctions abéliennes et des fonctions fuchsiennes.

Les fonctions elliptiques ou fuchsiennes x ( u ) sont caractérisées par cettepropriété que les valeurs de u qui correspondent à une valeur de x se laissent déduire d’une d’entre elles (ou d’un nombre fini d’entre elles) par un groupe infini de transformations homographiques.

Je me suis proposé [29, 42] de déterminer toutes les fonctions uniformes x(u), telles que les valeurs de u correspondant à la même valeur de x se laissent déduire d’une d’entre elles u, (ou d’un nombre fini d’entre elles) par des transformations algébriques

où P est un polynôme en u, u , de degré donne.

Le résultat est malheureusement négatif; toutes les fonctions ainsi définies se déduisent des fonctions fuchsiennes (et dégénérescences) par un changement algébrique de la variable. Pour le voir, j’ai montré d’abord que tout groupe infini discontinu de transformations (5) est nécessairement un sous-groupe d’un groupe continu fini algébrique; d’autre part, tout groupe continu algébrique est réductible (par un changement algébrique effectué sur u) soit au groupe bomographique, soit au groupe défini par la formule d’addition de la fonction sn; mais les groupes infinis contenus dans ce dernier groupe ne sauraient être discrets. On est ainsi ramené aux groupes fuchsiens.

Le problème s'étend naturellement aux fonctions de plusieurs variables. Cherchons à déterminer toutes les fonctions uniformes x(u,v), y(u,v), telles que les couples (u, e) correspondant au même système (x, y) se déduisent d’un (ou de plusieurs) d’entre eux(«,, v, ) par des transformations algébriques (') :

où P et Q sont de degré donné en u, v,,

Là encore, je montre que tout groupe infini discontinu de transformations (6) est compris dans un groupe continu fini algébrique. La détermination explicite de ces derniers groupes (voir le § 19) m’a permis alors de voir que, moyennant un changement algébrique effectué sur u, v, tous les groupes infinis discrets cherchés sont des sousgroupes des groupes canoniques continus à deux variables énumérés par Sophus Lie (parmi lesquels on ne garde que les types algébriques). Ces groupes discontinus comprennent notamment les groupes hyperfuchsiens et hyperabéliens de M. Picard, qui en semblent les types les plus remarquables. Il y aurait pourtant intérêt à former des fonctions uniformes correspondant à d’autres types et vérifiant, comme les fonc-

(') Je me suis posé aussi ce problème auquel s'appliquent des conclusions idontiques : ^r^es^ransformations^algTbriques < '° UP '' Î C °“ ^ P '” 8 ' e “ rS C °“ Ple8> ^ “' rc C " eS

où P est un polvnome en «, u

*i, u t de degré donné ».

tions hyperfuclisiennes, un système différentiel algébrique. Toutefois, je n’ai pas poussé la question plus loin. En voici la raison : Ces travaux remontent à une période où, n’espérant plus former directement les équations différentielles d’ordre supérieur à points critiques fixes, je m’étais résigné à suivre une voie détournée ; je cherchais donc à construire des transcendantes nouvelles satisfaisant à des équations différentielles algébriques. Plus tard, ayant repris avec succès l’étude des équations différentielles, j’ai laissé de côté ce genre de problèmes.

Courbes et surfaces algébriques.

17. transformations rationnelles des courbes algébriques. — Dans le domaine algébrique, ce sont surtout des transformations rationnelles des courbés et des surfaces algébriques que je me suis occupé. Ces transformations interviennent d’elles-mêmes dans la théorie des équations différentielles. Soient

deux courbes algébriques, la première de genre p, la seconde de genre p'; admettons qu’on puisse passer de la première à la seconde par la transformation

où r et r, sont rationnels en X, Y. Je désigne par p. le nombre de points de T qui correspond à un point de C. Si p = i, la transformation est birationnelle et p est égal à p'. Dans tous les cas, p' est au moins égal a p et la formule de Zeuthen donne, si p est plus grand que i,

Cette formule montre que si p' = p> i, la transformation est nécessairement birationnelle. Il en va tout autrement si p' = p — oou i. Cela posé, les propositions que j’ai obtenues [6,18,63] se résument

Les deux courbes T etC étant données, si p est plus grand que i, qu’un nombre fini de transformations de pas¬

sage (T), d’opératb

t ces transformations se calculent à t’aide d’un nombre fini s algébriques. Si /» = r, il existe une infinité de transfor-

mations (T) dès qu’il on existe une seule; ces transformations dépendent d’une constante et au moins d’un entier arbitraires; p croît indéfiniment avec l’entier arbitraire. Si p = o, il est bien évident qu’il existe toujours entre C et T une infinité de transformations (T) qui dépendent d’une fonction rationnelle arbitraire.

Supposons maintenant la courbe T donnée seule; elle n’est, en général, la transformée rationnelle d’aucune courbe C de genre p plus grand que i; quand il existe de telles courbes C, elles forment un nombre fini de classes et l’on sait calculer algébriquement un type de chaque classe. Pour qu’il existe une courbe C de genre un, il faut qu’une intégrale de première espèce attachée à T n’ait que deux périodes. Cette condition remplie, il existe une infinité de courbes C (distinctes) de genre un dont le module dépend d’un entier arbitraire.

Enfin, si T est hyperelliptique, il en est de même a fortiori de C.

Ces résultats se rattachent évidemment à la transformation des fonctions fuchsiennes et à la réduction des intégrales abéliennes.

18. Transformations rationnelles des surfaces algébriques. — J ai insisté sur ces théerèmes très simples pour éclairer les propositions analogues qui s’appliquent aux transformations rationnelles des surfaces f 14, 15, 63]. Soient

deux surfaces algébriques telles que la transformation rationnelle (T) <r = r(X,Y,Z), . y = r{ (X, Y, Z), *=>,(X,Y,Z)

fasse passer de S à 2. Je représente par p le nombre des points de 2 qui correspondent à un point de S, par m le degré de S, par p son genre, par p , le genre de l’intersection G de S avec une quelconque de ses adjointes Q [de degré (m —4)]; p', p\ désignent les entiers analogues attachés à 2. On a dans tous les cas

et (si/>,> !):

Si p est égal à i, c’est-à-dire si la transformation est biratibnnelle, p' est égal à p, p\ à p , ; inversement, si p, = p\ > î, p est égal à i et p' à p.

Pour aller plus loin, je distinguerai, parmi les surfaces S de genre /?> i (les seules que nous considérons), celles qui jouissent de cette propriété connue : deux adjointes quelconques Q qui ont un point commun sur S (en dehors des points singuliers) ont sur S une ligne commune. Je donne à ces surfaces le nom de surfaces spéciales. Quand une surfaee est spéciale, la courbe G se décompose en courbes de genre un; dans tous les autres cas, p, est plus grand que i.

Cette définition admise, supposons données les deux surfaces S et £. Si la surface S n’est pas spéciale (p > 2 ), il ne saurait exister qu’un nombre fini de transformations (T), et ces transformations se calculent à l’aide d’un nombre fini d’opérations algébriques. Si la surface S est spéciale, il peut exister une infinité de transformations (T) qui dépendent d’une constante et d’entiers arbitraires; la constante n’apparaît que si le module des courbes G de S est constant; les entiers permettent à p de croître indéfiniment.

Quand la surface 2 est spéciale, il en'est de même, a fortiori, de S ; dans ce cas, p peut être égal à p' sans que la transformation soit birationnelle.

Supposons, enfin, la surface S donnée seule : les surfaces S non spéciales dont elle est la transformée rationnelle forment un nombre fini de classes, et l’on sait déterminer algébriquement un type de chaque classe ('). Quant aux surfaces S spéciales, leur recherche se ramène au problème de la réduction des intégrales abéliennes aux intégrales elliptiques.

19. Transformations birationnelles des surfaces. — Passons au cas où la transformation (T) est birationnelle. J’ai réussi [51, 63] à compléter les théorèmes fondamentaux de M. Picard sur les surfaces algébriques qui admettent un groupe continu fini de telles transformations. M. Picard a établi que ces surfaces jouissent d’une des deux propriétés

« Ou bien elles possèdent un faisceau linéaire de courbes de genre zéro ou de courbes de genre un (à module constant) ;

» Ou bien il existe deux intégrales de différentielles totales attachées

à la surface dont l’inversion conduit à des fonctions uniformes qui renferment rationnellement les constantes d’intégration æ 0 , y 0 , z„. »

Du théorème de Weierstrass une fois démontré (§ 13), il résulte que les surfaces de la seconde catégorie sont des surfaces hyperelliptiques ou des dégénérescences.

Quant aux surfaces de la première catégorie, certaines conditions supplémentaires sont nécessaires pour qu’au faisceau de courbes uni cursales ou elliptiques corresponde effectivement une transformation birationnelle infinitésimale de la surface. J’ai donné ces conditions sous une forme précise.

C’est ce qui m’a permis de déterminer explicitement tous les groupes continus finis algébriques à deux variables. Moyennant une transformation algébrique effectuée sur les variables, tous ces groupes se ramènent soit aux types canoniques énumérés par Sophus Lie (où l’on ne garde que les types algébriques), soit aux types définis par les formules d’addition des fonctions hyperelliptiques (et dégénérescences).

Les résultats précédents s’étendent d’ailleurs aux surfaces algébriques à n dimensions.

20. L’ensemble des transformations birationnelles d’une surface forme toujours un groupe G, mais quatre circonstances peuvent, a priori, se présenter sur lesquelles j’ai attiré l’attention :

i° Gpeut être un groupe continu infini, sans sous-groupe continu fini;

2° G peut être un groupe continu fini ou renfermer un tel sousgroupe ;

3“ G peut être un groupe discontinu infini ;

4° G peut être un groupe discontinu fini.

Si les cas 2° et 4° sont classiques, on ne connaît pas encore d’exemple du cas 1°. Quant au cas 3°, M. Humbert en a fourni le premier un exemple dans ses brillantes recherches sur les fonctions abéliennes à multiplication complexe. Après la publication de M. Humbert, j’ai indiqué [75] des types extrêmement simples de surfaces qui présentent la même particularité; signalons entre autres les surfaces (de genre un) :

La dernière (mais non les deux précédentes) est une dégénérescence de surface de Kummer; le groupe de ses transformations Irrationnelles dépend de trois entiers arbitraires.

21. Transformations biuniformes des surfaces. - A l’inverse des courbes, les surfaces algébriques peuvent admettre des transformations biuniformes (') qui ne sont pas birationnelles. Par exemple, les . ■

égalités

(7) * = X, /= Y** ou X = «, Y =/re¬

définissent une transformation biuniforme du plan en lui-même. Cette transformation jouit de la propriété que les droites x — const. restent des droites ; mais la combinaison de deux transformations telles ' que (7), soit

conduit à une transformation biuniforme qui ne laisse algébrique aucune courbe algébrique.

J’ai divisé, d’après cela [39, 55, 63], les transformations biunif'ormes en deux classes, suivant qu’il existe ou non une famille de courbes algébriques qui reste algébrique dans la transformation; je ï ' couviens de dire que la transformation est semi-transcendanle dans le premier cas, essentiellement biuniforme dans le second.

J’ai pu faire une théorie complète des transformations semi-transcendantes. J’ai montré que, si deux surfaces se correspondent par une transformation biuniforme semi-transcendante (mais non Irrationnelle),, chacune des surfaces correspond birationnéllement à un cylindre ou possède un faisceau linéaire de courbes de genre un. Ces conditions ne sont pas suffisantes pour que la transformation existe; mais je les ai complétées algébriquement, et j'ai donné la forme explicite des transformations biuniformes. Par la marche même delà méthode, tout revient à étudier successivement les correspondances birationnelles entre deux couples de courbes algébriques.

(’) De telles transformations existeraient pour les courbes si l’on considérait des fonctions uniformes affectées do lignes singulières. Je me limite, pour les surfaces, bien que celte restriction soit trop étroite, aux transformations telles que leurs singularités transcendantes forment sur chaque surface une courbe algébrique.

J’ai insisté notamment sur les surfaces qui admettent un groupe continu de transformations biuniformes. Les surfaces qui possèdent un faisceau linéaire de courbes elliptiques correspondant à une transformation birationnelle continue sont particulièrement intéressantes; en outre du groupe de transformations rationnelles, elles possèdent une infinité (continue) de transformations biuniformes qui conservent toutes les intégrales de différentielles totales de première espèce attachées à la surface, sauf une seule.

Qu’une transformation biuniforme soit ou non semi-transcendante, j’ai pu établir qu’elle possède, dans tous les cas, une propriété bien remarquable : elle conserve les intégrales doubles de première espèce attachées à la surface transformée.

Nous venons de dire qu’elle ne conserve pas nécessairement les intégrales de différentielle totale de première espèce. La raison profonde de cette différence, c’est que les cycles générateurs des périodes sont à deux dimensions pour les intégrales doubles et à une seule pour les différentielles totales.

tine conséquence de ce théorème, c’est que toute correspondance biuniforme entre deux surfaces de genre p > i est nécessairement seinitranscendante. Les seules surfaces pour lesquelles la théorie des transformations biuniformes n’est pas achevée sont donc les surfaces de genre zéro ou un.

On pourrait penser que toute transformation essentiellement biuniforme est la résultante de plusieurs transformations semi-transcendantes. 11 n’en est rien; je l’ai montré par des exemples. J’ai déterminé notamment toutes les transformations essentiellement biuniformes définies par un système quelconque

P (x,.y,z)dx+q lx,y,is):dy=P (X, Y, Z) dK -+- Q (X, Y, Z) dX,

>. (*, y, S ) dx + q, (®, y, z) dy = P, (X, Y, Z) dX + Q, (X, Y, Z) dX, dont l’intégrale générale est uniforme, qu’on prenne comme variables æ,y, s ou X, Y, Z. (Les deux membres de chaque équation sont des différentielles totales exactes, attachées respectivement aux deux surfaces.) J’ai obtenu ainsi entre deux certaines surfaces hyperelliptiques (de classe différente), entre deux cylindres -

entre un tel cylindre et un plan, entre deux plans enfin, des correspondances biuniformes qui ne sauraient s'obtenir par la combinaison de transformations semi-transcendantes.

Tous les résultats qui précèdent relatifs aux transformations rationnelles ou. biuniformes des courbes et des surfaces jouent un rôle considérable dans la théorie analytique des équations différentielles.

En particulier, les correspondances biuniformes que j’ai signalées en dernier lieu interviennent dans l’étude d’un certain type d’équations différentielles du second ordre, à points critiques fixes [équation (VIII) du §40], quand on regarde l’intégrale comme fonction des constantes.