ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Théorie analytique des équations différentielles du premier ordre.

22. Pour prolonger dans tout le champ complexe l’étude de l’intégrale générale y(x) d’une équation différentielle d’ordre quelconque, j’ai pris comme point de départ les théorèmes fondamentaux de Cauchy. J’ai commencé [63, 95] par préciser ces théorèmes en regardant y(oc) comme fonction de x et des conditions initiales x 0 , 7«> y»'yl’ ■■■■ Quand x , x„, y 0 , y, ... varient dans le voisinage de x = a, x 0 = a, y 0 = b, y, = c, ... (a, b, c, ... désignant des valeurs de x, y, y, ... pour lesquelles l’équation est régulière), l’intégrale y = <s(x, x 0 ,y 0 ,y o , ...) est une fonction holomorphe de toutes les

variables x, x^,y„,y[ .De cette simple remarque j’ai déduit une

démonstration intuitive de ce théorème qui a donné lieu à tant de discussions et dont l’importance est capitale : « En dehors de l’intégrale de Cauchy, il n’existe aucune intégrale y(x) de l’équation telle que y(x) tende vers b, y(x) vers c, etc., quand x tend vers a sur un certain chemin l. » Le chemin / est d’ailleurs quelconque : il peut admettre le point a comme point asymptote, avoir une longueur infinie, etc. ( ').

23. Théorèmes fondamentaux sur les équations du premier ordre. — C’est aux équations Av.premier ordre que j’ai tout d’abord appliqué ces principes. Considérons une équation

J’ai démontré [3, 18, 21, 26, 63] sur ces équations deux théorèmes généraux qui s’énoncent ainsi :

Théorème I. - Une intégrale y{x) de (r) ne peut admettre comme singularités non algébriques qu’un nombre fini de points, qui sont fixes et se déterminent algébriquement sur l’équation même.

En particulier, tout point transcendant essentiel de y(x) coïncide avec un des points x qui sont pôles dey' quel que soity.

Théorème II. — Soitæ 0 un point fixe du plan des x distinct des points l, et soit y — (f (x,y' t ,y 0 ,x t )^^(x, y, x 0 ) l’intégrale de (r) définie par les conditions initiales x 0 ,y o ,/ t [liées par F(y;,y 0 ,æ„) = o] ; la fonction y = t|/(æ,y 0 , xf) est une fonction algébroide (’) de x et de y„ pour x = x 0 , y 0 = b, quelle que soit : la valeur (finie ou infinie) de b.

Plus généralement, soienta;, et x deux points a; distincts des point \ et J un chemin qui joint ces deux points sans rencontrer aucun point S.. L’intégrale étant définie par les conditions initiales a7 0 ,y 0 ,y' 0 , allons du point x e au point x sur le chemin l, et soit y = ip(æ, y„, æ 0 ) la valeur de l’intégrale au point d’arrivée x. L’expression tp, considérée comme fonction de y„, coïncide avec une branche de fonction analytique jfy „) algébroide pour y, = b (quelle que soit la valeur b, finie ou infinie) ( 2 ).

Les théorèmes I et II subsistent quand les coefficients du polynôme F en y', y sont des fonctions de x non plus algébriques, mais holomorphes dans un certain domaineï). Il faut alors restreindre les énoncés précédents au domaine D ; autrement d i t, ne considérer que les points x, x 0 (et les chemins l) intérieurs à D.

24. Ces deux théorèmes sont l’un et l’autre en défaut dès que l’ordre différentiel de l’équation dépasse l’unité.

C'est ainsi que l’équation

a comme intégrale la fonction

(3) 7 = sn t .[).log(A* + B)] (A, B, constantes arbitraires).

Chaque intégrale admet un point essentiel (d’indétermination complète) £u = — variable avec l’intégrale considérée.

Dès qu’il existe des singularités transcendantes mobiles, le théorème II a fortiori n’est plus exact. Mais lors même que le théorème I se trouve vrai pour une équation du second ordre, le théorème II peut être en défaut, comme il apparaît sur l’exemple

dont l’intégrale est

25. Applications des théorèmes précédents. — Indiquons immédiatement quelques conséquences des théorèmes I et II.

Tout d’abord, appliqués aux équations à points critiques fixes, ces théorèmes mettent à l’abri de toute critique les travaux bien connus de M. Fuchs et de M. Poincaré.

Ces travaux prêtaient, en effet, à deux objections bien différentes. M. Fuchs s’est borné à exprimer que les intégrales y(x) d’une équation (i) n’ont pas de points critiques algébriques mobiles. Il n’était pas prouvé que les équations (î), répondant à ces conditions, eussent vraiment leurs points critiques fixes ('); étendue, par exemple, à

( « ) La môme objection s’appliquait aux travaux de Briot et Bouquet sur les équations F ( 7 , y') = o, ainsi qu’à la démonstration directe de l’uniformité de l’intégrale de l’équation /*= (r —/*) (i — Jc*y), telle qu’on l’enseigne d’ordinaire.

l’équation (2), la même méthode conduirait à la conclusion erronée que l’intégrale de cette équation est uniforme (quel que soit X). Si les conditions de M. Fuchs se trouvent suffisantes pour les équations du premier ordre, « la vraie raison », dit M. Picard ('), « en est dans le théorème de M. Painlevé », théorème I, en vertu duquel tous les points singuliers non algébriques de (1) sont fixes.

Au contraire, la méthode de M. Poincaré n’introduisait sûrement que des équations à points critiques fixes, mais on pouvait se demander si elle les épuisait toutes. Elle repose, en effet, sur cette remarque que la fixité des points critiques entraîne une correspondance biuniforme entre les couples {y, y) et (y 0 , y' a ), valeurs de y(x) et de y(x) pour œ et x 0 . M. Poincaré admettait implicitement que celte correspondance biuniforme est biratiormelle. La chose est vraie, en vertu du théorème II, mais appliquée aux équations du deuxième ordre, la même méthode laisserait échapper de nombreuses classes d’équations à points critiques fixes, telles que l’équation (4), et précisément les plus intéressantes ( voir le § 41).

Dans un autre ordre d’idées, le théorème I m’a permis d’établir, au sujet des intégrales d’une équation algébrique quelconque du premier ordre, un théorème entièrement analogue au célèbre théorème de M. Picard sur les zéros des fonctions entières. Soit y (x ) une intégrale (uniformeou non ) de (1) : si, pour une valeur de A, l’égalité y(æ) = A a une infinité de racines, elle en a une infinité, quel que soit A, exception étant faite pour un nombre fini de valeurs de A qui se calculent algébriquement sur l’équation différentielle. Le seul Cas où le théorème n’a pas lieu de s’appliquer est donc celui où la fonction x(y) [inverse de 7 (a;)] est une fonction à un nombre limité de branches.

C’est également sur le théorème I que repose la démonstration de cette propriété des équations (1) (cofrle § 7) : « Tout point transcendant essentiel x = \ d’une intégrale y(æ) de (1) est un point d’indétermination complète ».

Voici une autre conséquence du même théorème : moyennant une transformation x=y + aX, les intégrales j(X) de l’équation transformée ne présentent plus de singularités essentielles. C’est là un résultat

dont, l’importance apparaît, quand on réfléchit que l’étude des intégrales dans le voisinage d’un point transcendant (non essentiel) peut s’effectuer dans des cas très nombreux par les méthodes de M. Poincaré, et, dans tous les cas, se présente comme beaucoup moins compliquée que si le point est essentiel. Mais la transformation n’est pas utilisable dans les problèmes où la variable indépendante est donnée.

On trouvera, dans un autre Chapitre (§ 54), une application très étendue du théorème I au domaine réel.

26. De l'intégrale considérée comme fonction de la constante. Mie des points critiques fixes et mobiles. — Afin de pousser plus loin les conséquences analytiques des théorèmes I et II, j’ai dû analyser la double influence qu’exercent sur l’intégrale les points critiqués mobiles et les points critiques fixes. Dans cet exposé, je me limiterai, pour abréger, aux équations (algébriques en y', y) qui sont aussi algébriques en x ou, du moins, qui ne possèdent qu’un nombre limité de points critiques fixes x = \.

Définissons une intégrale par les conditions initiales x„, y„ et soient y = <p(æ, y'„,yd, y„, y„. &o) deux branches de

cette intégrale qui se permutent entre elles quand x tourne autour des points critiqués mobiles sans tourner (') autour des points critiques

fixes Pour des valeurs numériques x, x 0 données à x, les deux expressions

ri./o,K) = +(*. /o, *.)

V,(*, ri,/», «“») = +i(5,/.,«.)

sont deux branches de la même fonction analytique x(/ 0 )- Au contraire, si les deux branches y(x), y,(x) de la même intégrale ne se permutent qu’aulour des points critiques fixes, les deux branches ^(/o) et <];,(/„) appartiennent, en général, à deux fonctions analytiques distinctes de y„. C’est ce qui apparaît sur l’exemple/= ^. dont l’intégrale est y ==7» \f^f

Représentons donc par ^(x.yo, x 0 ),fii,(x,y a ,x 0 ); ^(xty^xf), ... les différentes branches de l’intégrale y(x) qui se permutent avec la première autour des points critiques mobiles. Les expressions (Kœ.yo.œ»), t \ y {x,y^xf), j|A?(œ, y„,xf), ... coïncident avec des branches d’une certaine fonction analytique ySÊ,y<,,xf). Mais j’ai mis en lumière une circonstance bien inattendue : il peut arriver que ces diverses déterminations n’épuisent pas toutes les branches de la fonction x(x,y 0 ,x„) (prolongée analytiquement dans son domaine d’existence); il peut arriver aussi que certaines branches de cette fonction x(y a ) présentent des singularités transcendantes.

Il semble, à première vue, qu’il y ait antinomie entre l’existence de telles singularités et l’énoncé du théorème II : il n’en est rien. C’est au contraire le théorème II qui m’a permis d’élucider ces curieuses complications. Elles dépendent des valeurs remarquables Y 0 de y ü pour lesquelles deux branches au moins de l’intégrale y ( x ) = ^ (x, y 0 xf), permutables autour des points critiques mobiles, cessent de se permuter: quand y 0 tend vers Y,, les points mobiles autour desquels les deux branches de y(x) se permutent tendent vers des points $ ou deviennent indéterminées. Ces valeurs Y 0 = g(æ„) peuvent être des points transcendants (mais non essentiels ) de certaines branches de ^(a;,y„,œ„). Si (pouræ 0 donné) leur ensemble, dans le plan des y 0 , ne comprend pas de ligne, toutes les branches de la fonction analytique

l(x, / 0 ,æo) correspondent aux diverses déterminations (permutables autour des points critiques mobiles) des intégrales définies par les conditions initiales æ„, /„. Quand l'ensemble des points Y„ comprend des lignes, certaines des branches de %{oc,y a ,x„) peuvent définir, en outre des intégrales précédentes, d’autres intégrales y (x) (et même une infinité) dont aucune détermination ne prend, pour oc = æ 0 , la valeur /„.