Éclairons

L’équation

s’intégre ainsi :

Pour les valeurs /„ = o et y 0 = » (et pour celles-là seulement), deux branches de l’intégrale générale, permutables autour du point critique mobile, cessent de se permuter; l’unique point critique

mobile x — -tend vers le point critique fixe x—x quand/,

tend vers zéro, et devient indéterminé pour/, = x.

Toutes les branches delà fonction / = ^(/ 0 ) que définit (6) correspondent aux diverses déterminations de la même intégrale/ (æ); cette fonction x(/o) admet les points /» — o et/„ = oo comme points transcendants d’espèce logarithmique.

Cette équation va nous conduire à un second exemple plus frappant. Soient 20), et 2 û> 2 les périodes d’une différentielle elliptique de première espèce dont le module est X ; remplaçons, dans (6), a; par • L’équation ainsi obtenue jouit d’une propriété bien curieuse : l’intégrale /(X) définie par les conditions initiales X 0 , /„ a ses points critiques fixes (les points o, i, oo) si y 0 appartient à une certaine région D du plan, et possède un point critique mobile autour duquel deux branches se permutent siy 0 est pris dans le reste du plan.

La fonction / = ^,(X, /„, X 0 ) a une infinité de déterminations

permutables dans le plan /„, et parmi ces déterminations, une ou

ce qui précède par des exemples.

yé'=%iylèr&\

- liS -

deux seulement (suivant la région où se trouve y,) représentent une intégrale y (æ) dont une branche prend pour X; la valeur y 0 . Los autres déterminations représentent une infinité d’intégrales distinctes.

En remplaçant æ dans (5) par "+• [f^]’ on obtiendrait une équation dont l’intégrale a ses points critiques fixes ou acquiert une infinité de déterminations autour des points critiques mobiles, suivant que y a est pris dans une région du plan ou dans l’autre.

Enfin, si l’on remplace,dans (5), æpar la fonction modulaire <p(X), on obtient une équation dont l’intégrale y — <f(X,y„ X 0 ) est une fonction de X uniforme ou à deux branches, suivant que y 0 est choisi dans une région ou l’autre du plan. C’est là un exemple qui paraîtra, je crois, bien remarquable à quiconque prendra la peine d’y réfléchir : alors que l’intégrale générale. y(X) est une fonction de X à une ou à deux déterminations, cette intégrale est une fonction analytique de ta constante y. a un nombre infini de branches ( 1 ).

On voit que les complications les plus délicates de la théorie des fonctions se présentent, dès le premier ordre, dans l’étude des équations différentielles. Une prudence minutieuse est nécessaire dans toutes les questions de cette nature, où la vraisemblance est loin d’être un critérium de certitude. C’est la raison qui m’a fait consacrer aux fonctions analytiques et à leurs singularités les travaux que j’ai analysés dans la première Partie.

28. Équations dont l’intégrale générale n’acquiert que n déterminations autour des points critiques mobiles. — Un cas particulièrement intéressant [18,21, 26,63] est celui où l’intégrale générale n’acquiert qu’un nombre fini n de déterminations autour des points critiques mobiles. J'entends par là qu’une branche quelconque d’intégrales y(x) n’est permutable autour des points critiques mobiles qu’avec-(n — i) autres branches exactement. Pourcertaines intégrales particulières, ce

nombre peut s’abaisser; mais je suppose expressément que ces intégrales sont exceptionnelles ('), autrement dit, que leur ensemble est dénombrable.

En m’appuyant sur le théorème II, j’ai montré que l’intégrale générale y = ty{x,y a ,x„) d’une telle équation est nécessairement une fonction algébrique de y 0 . Inversement, d’ailleurs, si y est une fonction algébrique de r,„ y(x) ne peut acquérir autour des points critiques mobiles qu’un nombre fini de déterminations.

En m’appuyant sur ce résultat fondamental, j’ai fait voir que l’équation considérée se ramène algébriquement à une équation à points critiques fixes. Précisons le mode de réduction en supposant, pour simplifier un peu les énoncés, que l’équation différentielle soit algé-

L’intégrale de l’équation (i) peut s’écrire

les R étant rationnels en s', z, algébriques en x, et l’équation du premier ordre (8) ayant ses points critiques fixes.

Les théorèmes, aujourd’hui: classiques, dé M. Poincaré sur les équations à points critiques fixes montrent, d’autre part, que l’équation (8), ou bien s’intégre algébriquement [auquel casj(œ) est algébrique], ou bien peut recevoir une des deux formes suivantes :

(9>. ^ v'{' — 3,) (i —**»*) ou ^=alx)z'+b(x)z+c(x).

L’équation (i) est ainsi ramenée explicitement aux quadratures ou aux équations linéaires et ne saurait définir des transcendantes nou-

29. Cette conclusion s’applique en particulier aux équations (i)

dont l'intégrale gêné,ale y(x) n'admet dans tout le plan qu'un nombre, fini (soit m) de branches ('). Pour qu’il en soit ainsi, il faut d’abord que l’intégrale générale n’acquière que n valeurs (nïm) autour des points critiques mobiles. Cette condition n’est suffisante que si l’équation (8) s’intégre algébriquement; dans les autres cas, des conditions transcendantes sont nécessaires. Si l’équation en s coïncide avec la première équation (9), il faut que l’intégrale abélienne fa(x)dx n’ait que deux périodes; si l’équation en z est une équation de Riccati, il faut que son intégrale z (x) (ou, si l’on veut, l’intégrale de l’équation linéaire correspondante) soit une fonction à p branches, condition qui ne saurait, en général, s’exprimer algébriquement.

On voit ressortir là encore la différence essentielle qui sépare les points critiques fixes et les points critiques mobiles. Admettons, par exemple, que l’intégrale générale/ (x) d’une équation algébrique (1) soit une fonction à deux branches. Si ces deux branches/, ( x),y,(x ) se permutent autour des points critiques mobiles, les expressions z =/, u=y,y, vérifient respectivement une équation différentielle algébrique dont.l’intégrale est uniforme, et l’équation (1) se ramène algébriquement à cette équation. Si, au contraire, les points critiques de y(x) sont fixes, les mêmes expressions z=/,+'/ 2 , u = /,/, vérifient encore une équation algébrique en z',s (ou en u', u) à intégrale uniforme, mais où x figure en général d’une façon transcendante; la fonction/(æ) ne s’exprime plus algébriquement en

30. Une question se posait naturellement : Étant donnée une équation (1), comment reconnaître si son intégrale générale n'acquiert qu'un nombre n de valeurs autour des points critiques mobiles ?

C’est cette question qui m’a conduit à une étude approfondie des transformations simplement rationnelles des courbes algébriques (voir le § 17). Si l’on exprime, en effet, z et z', d’après (7), en

y, y, x, les égalités

sont rationnelles en y', y (et algébriques en x ); elles définissent (pour x donné) une correspondance rationnelle entre les deux courbes algébriques (i) et (8). En m’appuyant sur les propriétés de ces correspondances, j’ai établi ce théorème (') :

On sait reconnaître, à l’aide d’un nombre fini d’opérations algébriques, si l'intégrale générale y {x) d’une équation différentielle (algébrique) du premier ordre n’acquiert qu’un nombre donSé n de valeurs autour des points critiques mobiles.

Quand il en estainsi, un nombreyîmd’opérations algébriques permet d’intégrer l’équation ou de la ramener à une des équations (9).

Mais est-il possible de traiter le même problème sans se donner l’entier n? Les tentatives faites sur les équations F (y', y) =.0 qui ne renferment pas x explicitement ne donnaient guère lieu de l’espérer. ‘ Comme ces équations ne possèdent pas de points critiques tixes, la question est de décider si leur intégrale y(x) est une fonction à un nombre fini de branches; elle se traite bien aisément dans l’hypothèse oùy(æ) est algébrique; dans l’hypothèse où y(x) est transcendant, elle revient à reconnaître si une certaine différentielle abélienne 11’a qu’une ou deux périodes. Ce problème (en dépit des recherches profondes d’Abel, de Tchebycheff, de Zolotaref, d’Halphen, et de tant d’autres) n’a été résolu jusqu’ici que dans des cas très particuliers, qui exigent des recherches de haute Arithmétique. Il était bien vraisemblable que les équations où x figure présenteraient dés complications plus grandes encore. J’ai pu cependant [23, 24, 63] arriver au résultat suivant :

0) La méthode permet également [26, 63, 69] de former explicitement toutes les équations (i) de degré donné en /, y, dont l’intégrale acquiert un nombre donné n de râleurs autour des points critiques mobiles. Une circonstance remarquable, c’est que le’

nombre des fonctions arbitraires de x que renferment les équations cherchées est indé¬

pendant de n, tandis que le nombre des constantes arbitraires croit avec n. t’ai traité [59]

l’a P traitéTnsuUe pour les équations du deuxième degré (Paris, Thèse; 1899). ' "

Étant donnée une équation différentielle algébrique du premier ordre, on sait, à l’aide d'un nombre fini d’opérations algébriques, reconnaître si son intégrale générale est une fonction transcendante qui n’acquiert qu’un nombre limité on donné) de valeurs autour des points critiques mobiles, ou bien ramener l’équation à une. quadrature.

Dans ce dernier cas, la quadrature qui définit l’intégrale est une quadrature de différentielle totale (algébrique), soit

(10) j"p(*, r )rf.z + Q(a,r)d/ = const.

Pour que l’équation soit vraiment de l’espèce considérée, il faut et il suffit que (pour æ 0 quelconque) l’intégraient) de l’équation

n’ait qu’un nombre limité de branches, en sorte que la question posée serait complètement résolue si elle l’était dans ce cas particulier où l’équation ne renfermepasæoxplicitement. Cederniercas.au lieu d’être plus simple que le cas général, est en réalité un cas singulier qui met en défaut les méthodes du continu et exige l’emploi des méthodes

Je me suis proposé également de reconnaître si l'intégrale générale d’une équation différentielle algébrique du premier ordre est une transcendante à un nombre fini {non donné) de branches. La réponse est la suivante : « On sait résoudre la question algébriquement ou ramener l’équation soit à une quadrature (10), soità une équation de Riccati ». La question serait résolue dans tous les cas si elle l’était pour les équations où x ne figure pas et pour les équations de Riccati.

31. Équations intégrables algébriquement. — Les deux derniers énoncés écartent l’hypothèse où y{x) serait algébrique. Néanmoins les méthodes que j’emploie entraînent d’importantes conséquences sur les équations (i) intégrables algébriquement.

Tout d’abord, elles suffisent à recopnaître si l’intégrale est une fonction algébrique à un nombre donné n de branches.

S’il s’agit de traiter le même problème sans aucune donnée, voici

brièvement les résultats que j’ai obtenus [17; 20, 26, 63] : La théorie des transformations rationnelles des courbes permet soit de reconnaître que l’équation est intégrable algébriquement, soit de l’intégrer par une quadrature (io), soit enfin cTafîîrmer qu’une intégrale quelconque y(æ), si elle est algébrique, se laisse définir par l’intersection complète de la surface F (y', y, oc) = 6 avec une surface du faisceau

où p est rationnel en/, y, x.

Pour élucider ce dernier cas, j’ai établi une formule très simple qui donne le degré des courbes intégrales en fonction du degré de F, du degré de l’intégrale singulière et du nombre de valeurs remarquables de la constante (valeurs de C pour lesquelles l’intersection de F = o et de p = C comprend une courbe multiple). Cette formule aeneralise une formule bien connue de M. Darboux relative aux équations du premier degré. Jointe aux relations que l’équation différentielle entraine entre le degré, la classe, le genre, les intersections, les singularités des courbes intégrales, elle limite dans des cas très étendus, mais non dans tous'les cas, le. degré de l’intégrale supposée algébrique. Ces travaux sont en contact avec des travaux de M. H. Poincaré et de M. Autonne. Je crois avoir donné les premiers exemples de limitation du degré de l’intégrale par des considérations de Géométrie énumérative : comme type de tels exemples, je citerai les équations du premier degré dont tous les noeuds sont dicritiques(‘) ef en nombre inférieur à ().

La méthode permet aussi [13, 26], dans certains cas, de trouver les intégrales algébriques particulières, notamment toutes les intégrales rationnelles d'une équation du premier degié.

Théorie analytique des équations différentielles d’ordre supérieur.

32. Singularités des systèmes différentiels algébriques. — Les résultats que j’ai obtenus [36, 37, 63] sur les singularités des équations

ifférentielles embrassent tous les systèmes ditlerentiels algebriqi i une ou plusieurs variables indépendantes) dont l’intégrale génér 0 dépend que d’un nombre fini de constantes. Ils s’appliquent mêi ix svstèmes où les variables indépendantes figurent non pas alj riquement, mais sous forme analytique. Pour en donner un aper< : me limiterai ici aux systèmes

dx dz

; X(®,/,s) - ¥(tf, j, *) Z( w.y.z)

i X, Y, Z sont des polynômes en x, y, s (premiers entre eus désigne la variable indépendante, y et z les fonctions. Je suppose u’on a effectué au préalable sur y et a la transformation homog bique (à deux variables) la plus générale.

Poursuivons l’étude d’une intégrale y{æ), z(x) le long d’un e in chemin L du plan des æ, et soit a le premier point singulier trai indant qu’on rencontre. Ce point peut être, ou point transcende ■dinaire de y(x) et de s(æ), ou point essentiel (voir le § 7) de l’u i moins des fonctionsj(œ), z(æ). Dans le premier cas, y{x) ets( rennent des valeurs déterminées (finies ou non) pour x = a; qua is valeurs sont finies, X, Y etZ s’annulent pour x = a,y = b, z = Si difficile et si incomplète que soit encore l’étude d’une intégri (æ), z(æ) dans le voisinage d’un point transcendant ordinaii s complications semblent bien plus profondes encore quand le po ngulier est essentiel. Comment s’attaquer, dans le domaine d’ oint x = a, à une intégrale y(æ), z(x) qui devient indéterminée i point? Comment même décider si de telles intégrales existent on? Les méthodes classiques, dérivées de la doctrine do Cauchy, n’: iquaient aucune voie pour aborder ces problèmes. D’autre part, temples les plus simples d’équations différentielles du second ori résentaient des points essentiels mobiles. Il semblait donc à In fois hi

pour un système différentiel algébrique d’ordre quelconque) n’adme pas en général de singularités essentielles mobiles. Pour que de telles singularités existent, il faut que certaines conditions exceptionnelles soient remplies, sur lesquelles j’insisterai un instant.

33. J’emploierai, pour plus de clarté, le langage géométrique : je considérerai x, y, z comme les coordonnées complexes d’un point de l’espace; une intégrale y(x),z(x) de (S) représentera une courbe gauche qui sera dite courbe intégrale. Cette terminologie adoptée, trois cas sont à distinguer dans l’étude du système S :

Premier cas ( cas général). — Les trois surfaces X = o, Y = o, Z = o se coupent en un nombre fini de points.

Les théorèmes I et II énoncés pour les équations du premier ordre (voir le §23) et toutes leurs conséquences s’appliquent sans modification au système (S) : en dehors d’un nombre fini de points fixes x = Ç (qui se déterminent algébriquement sur le système), les intégrales y(x), z(x) de (S) ne présentent que des points singuliers algébriques. Si-un point x = \ est un point essentiel d’une intégrale, \ est un zéro de X, quels que soient,/ et s.

La valeur (en un point x quelconque) de l’intégrale

définie par les conditions initiales x„, y„, s„, est une fonction algébroïde dey 0 , z 0 pour y 0 = b, s 0 = c (quels que soient b et c). L’emploi de ce dernier théorème exige les mêmes précautions que pour les équations du premier ordre (§ 26).

Deuxième cas. — Les surfaces X = o, Y = o, Z = o ont une ligne commune, mais il n'existe pas de famille de courbes intégrales planes et situées dans une famille de plans x = const.

Les intégrales y(x), z(œ) admettent alors (en général) des points singuliers transcendants mobiles, mais ces points ne sauraient être essentiels. Une proposition analogue s’applique aux branches do fonctions j(æ), z(x) regardées comme fonctions des constantes j„, s„.

Troisième cas. — 11 existe une famille de courbes intégrales situées dans une famille de plans x = x„ (auquel cas les trois surfaces X = o, Y = o, Z = o ont toujours une courbe commune).

Cette condition est nécessaire pour que les intégrales présentent les singularités essentielles mobiles, mais elle n’est pas suffisante. Il faut encore que cette condition soit remplie intrinsèquement : j’entends par lé qu’après une transformation quelconque

r = g(ce,y,z), s = ht.x,yz),

où g et h sont algébriques en y, s, analytiques en x, le nouveau système différentiel doit satisfaire à la même condition.

Lors même que la condition est remplie intrinsèquement, il peut ne pas exister de singularités essentielles mobiles.

34. Applications des résultats précédents. — Ces théorèmes entraînent d’importantes conséquences dans la théorie générale des équations différentielles; je citerai notamment celle-ci :

Moyennant un changement de variables t=x + ay + bz, les intégrales y(i), z(l) du nouveau système différentiel n'ont plus de singularités essentielles mobiles. Autrement dit, les singularités essentielles disparaissent quand on rapporte les courbes intégrales à des axes quelconques. Mais on ne peut employer ce changement de variables dans les questions où. la variable indépendante est donnée.

J’ai déjà signalé, d’autre part (§ 7), une propriété des équations du second ordre qui est une conséquence des généralités précédentes : « L’intégrale y(x) d’une équation différentielle algébrique du deuxième ordre ne peut présenter de points essentiels d’indétermination incomplète, en dehors d’un nombre fini de points fixes dont les affixes se calculent algébriquement sur l’équation même ». Quand l’équation est du troisième ordre, son intégraje peut admettre des points mobiles, d’indétermination incomplète.

On trouvera enfin dans un autre Chapitre (§ 56) une application des mêmes théorèmes au domaine réel. J’en indiquerai dès maintenant une conséquence très remarquable : Étant donné un système différentiel algébrique d’ordre n, soit (S), on sait lui substituer algébriquement un système réel d’ordre (an + i), soit (S'), dont les coefficients différentiels sont rationnels, et dont les intégrales ne présentent pas (dans le champ réel) de singularités essentielles mobiles : l’étude des singularités mobiles (transcendantes ou essentielles) de (S) est ramenée

algébriquement à l'étude des intégrales réelles du système (S') définies par des conditions initiales qui donnent aux coefficients différentiels la forme- q -

Mais mon principal objet en poursuivant ces recherches étaitl’étude des équations différentielles dont l’intégrale est uniforme ou n’a qu’un nombre fini de branches.

J’ai donc commencé par compléter les généralités précédentes relatives aux singularités essentielles en ajoutant à-la condition énoncée tout à l’heure dans le troisième cas une condition nouvelle, condition nécessaire pour qu’il existe des singularités essentielles mobiles dans le voisinage desquelles l’intégrale y(x),z(x) soit uniforme ou à n branches.

Nous savons déjà qu’il doit exister une famille de courbes intégrales situées dans des plans æ = const. Soit Q(æ, y, z) = o la surface qu’elles engendrent (Q est en facteur dans X). La nouvelle condition est la suivante : après la transformation

le nouveau système différentiel enx, vj, Ç doitadmettre comme courbes intégrales les droites x = const., Ç = ô.

Il faut que ces deux conditions soient remplies (et remplies intrinsèquement) pour que l'intégrale y (x), z(x) puisse présenter, dans un domaine D où elle n’acquiert qu’un nombre fini de branches, des singularités mobiles non algébriques. Toutefois, si, après la transformation (T), le système est de la forme

J§=fQ $0; [if

il peut exister des points essentiels (mobiles) proprement dits, bien que la première condition seule soit remplie : mais c’est là un cas de réduction, où le système équivaut à deux équations successives du deuxième ordre.

Au lieu d’un système (S), considérons une équation différentielle algébrique du deuxième ordre, soit

clans laquellej’admets qu’on ait effectué sur y la transformation liomographique la plus générale. Pour que, dans un domaine où elle n’admet que n déterminations, l’intégrale y (x) soit affectée de singularités transcendantes mobiles, il faut : i° que ta fonction algébrique y"=<f(y, y, x), considérée comme fonction dey, ait au moins un point singulier y=g{x) indépendant de y'\ 2° que, pour y'= ce, une au moins des branches de y; tende vers une valeur finie ou nulle. Il faut, de plus, que ces deux conditions soient remplies intrinsèquement : j’entends qu’après une transformation quelconqueq = g(/,,y, ce), où g-est algébrique en/, y et analytique enæ, l’équation en q doit satisfaire aux mêmes conditions.

Je conviens de dire que les équations (E) qui répondent à cette double condition forment la classe singulière des équations du second ordre; les autres équations forment la classe générale. Les systèmes différentiels algébriques d’ordre quelconque comportent une division analogue.

Équations dont l’intégrale générale est une fonction uniforme

35. Comme je l’ai indiqué dans l’Introduction, la recherche des transcendantes uniformes définies par les équations différentielles algébriques est un problème qui se trouve posé en fait depuis les travaux d’Abel et de Jacobi sur l’équation

C’est l’étude de cette équation quia engendré la théorie des fonctions elliptiques et, par extension, celle des fonctions uniformes. Cette dernière théorie une fois fondée, il s’agissait moins de construire artificiellement des transcendantes nouvelles, que de découvrir, parmi toutes les transcendantes uniformes, celles qui peuvent servir à intégrer les équations différentielles. La. fonction exponentielle, les fonctions elliptiques étaient les premiers types do telles fonctions : on ne tarda pas à en découvrir d’autres, à savoir les fonctions abèliennes, puis -les intégrales uniformes des équations différentielles linéaires; enfin, les fonctions fuchsiennes ou automorph.es, hyperfuchsiennes, etc.

Mais l’étude de ces nouvelles transcendantes, si importante qu’elle fût, ne permettait en aucune manière d’épuiser le problème qui se posait dès lors naturellement :

Déterminer toutes les équations différentielles algébriques du premier ordre , puis du second ordre, puis du troisième ordre, etc., dont l’intégrale générale est uniforme.

Lorsqu’on approfondit ce problème, la différence de nature entre les points critiques fixes et les points critiques mobiles apparaît dès le premier ordre (§§ 26 et 29). Pour exprimer que l’intégrale d’une équation différentielle est uniforme, il faut exprimer d’abord qu’elle n’a pas de points critiques mobiles; ensuite, qu’elle n’a pas de points critiques fixes. La classe des équations à points critiques fixes se présente ici d’elle-même : on sait d’ailleurs l’importance intrinsèque de ces équations, importance qui résulte de leur parenté avec les équations

Enfin, en même temps que les équations à intégrale uniforme, il est naturel de considérer les équations dont l’intégrale générale est une fonction à un nombre fini de branches. L’étude de ces équations fait intervenir, comme équations intermédiaires bien remarquables par elles-mêmes, les équations dont l’intégrale générale n'acquiert que n valeurs autour des points critiques mobiles (voir le § 28).

36. Les équations du premier ordre qui rentrent dans une de ces catégories se ramènent, nous l’avons vu, aux équations linéaires ou aux quadratures. Pour définir des transcendantes uniformes vraiment nouvelles, il faut donc que l’équation soit au moins du second ordre.

Quand une équation (E)

a ses points critiques fixes, l’intégrale y = <p (æ, y" 0 , y' a , y 0 , æ 0 ), définie par les conditions initiales y\, y\, j„. *»> est une fonction uniforme des trois quantités y 0 , y' 0 , y e liées par la relation algébrique (E„) ' f(y;,ys,ÿs,^l)=o.- ,

Mais il apparaît, sur les exemples les plus simples (§24), quep' peut

être une fonction soit rationnelle, soit transcendante dey's.y],, y„ ; dans ce dernier cas,-/(æ) peut ou non présenter dans le plan des x des singularités transcendantes mobiles.

Quand y dépend rationnellement de y', y[, y 0 , les relations qui (pour x et x 0 donnés) existent entre d’une part, et

(j'ô’Jo’/o) d’autre part, définissent une correspondance biralionnelle entre les surfaces (E) et (E„). La même correspondance est biuniforme si y est une fonction transcendante d ey"„,y' a ,y 0 . C’est pourquoi j’ai dù approfondir la théorie des transformations biuniformes des surfaces algébriques (voir § 21 ).

De même, quand l’intégrale générale d’une équation (E) n’acquiert que n déterminations autour des points critiques mobiles, son intégrale se laisse mettre [34, 63 ] sous la forme (i) r‘ + 'R„-i(x,y' 0 ,y'„y t ,T t )y'‘-'+...-hît,(x,yl,y t ,y e ,7l) = o, où les B sont des fonctions de x à points critiques fixes et des fonctions uniformes dey', y' 0 , y 0 , qui peuvent être rationnelles ou transcendantes; dans ce dernier cas, y(x) peut présenter des singularités essentielles mobiles.

37. liquations dont l’intégrale est une fonction algébrique des constantes. — Si, dans (i), les R,- sont rationnels en yj, yj, y 0 , j’ai montré [15, 21, 23, 35, 63] qu’il est loisible de donner à l’intégrale la forme suivante :

l’équation (3) a ses points critiques fixes, et les p sont rationnels en u", u', u et algébriques en x (’). De plus (pour x donné) u, u' et u" s’expriment rationnellement en y,y, y" et ces expressions définissent pne correspondance rationnelle entre les surfaces (E) et (3).

Inversement, si l’intégrale y'(æ) d’une équation (E) est une fonction algébrique des constantes, elle peut recevoir la forme (2), (3), où n est un certain entier, et elle n’acquiert autour des points critiques mobiles que n déterminations.

Les transformations rationnelles des surfaces jouent ici le même rôle que les transformations rationnelles des courbes pour les équations du premier ordre ( voir § 30).

C’est la théorie de ces transformations {voir les §§ 18 et 19) qui m’a permis d’élucider à fond la nature de l’intégrale y(x) d’une équation (E) quand cette intégrale renferme algébriquement les deux constantes d’intégration ( 1 ). J’ai montré que quatre cas sont alors possibles :

1“ Ou bien y(x) est algébrique;

2 0 Ou bien y(x) s’exprime algébriquement à l’aide de x et de deux fonctions hvperelliptiques tji(«, v), -/{u, v), où les deux arguments sont deux intégrales abéliennes en x;

3 ? Ou bien i y(!e) s’exprime algébriquement en x, u, v, les fonctions u(x), v(x) vérifiant respectivement une des équations suivantes ;

{b, c fonctions algébriques de x-, a fonction algébrique de v, x; k et x constantes numériques) ;

4° Ou bien y{x) s’exprime algébriquement en (x,u,u'), «désignant la dérivée logarithmique - de l’intégrale z d’une équation linéaire homogène du troisième ordre

*'4- «(«K+ b(x)i=£pfi: (a, b algébriques en x).

L’équation (E), dans ces quatre cas, se ramène aux équations linéaires ou aux quadratures, et son intégrale est une combinaison explicite de transcendantes connues.

( 1 ) M. Picard avait A.xWjrsi et quand, sède doux différentiel!

il u la question quand l’intégrale renferme rationnellement la surface F (y,y',y, x) = o est de genre p > 1, ou posi de première espèce.

La méthode que j’ai employée permet aussi de reconnaître dans des cas extrêmement étendus si une équation (E) donnée est de l’espèce étudiée. Dans tous les cas, elle suffit à résoudre, à l’aide d’un nombre fini d’opérations algébriques, le même problème, quand on se donne le nombre maximum n de branches de l'intégrale y(æ) qui se permutent autour des points critiques fixes : elle apprend notamment à reconnaître, moyennant un nombre fini d’opérations, si l’intégrale générale de l’équation (E) est une fonction algébrique de* àn branches.

J’insisterai sur le problème particulièrement intéressant : Étant donnée une équation (E), reconnaître si son intégrale y(x) est une fonction rationnelle des constantes y a , y’„, y 0 .

Ce problème, qui est résolu d’après ce qui précède, présente des complications qu’on ne rencontrait pas dans le cas d u premier ordre. On le conçoit aussitôt en se limitant aux équations (E) du premier dearé en y” : toute correspondance birationnelle entre deux quantités indépendantes y et y, , est nécessairement homographique; au contraire, une correspondance birationnelle entre deux couples de variables (.fi fi) et O'o'.fo) P eut être une transformation de Cremona de degré quelconque. C’est dans la limitation du degré de la correspondance entre (y, fi) et (y' a ,y‘ 0 ) que réside toute la difficulté de la question.

Les résultats énoncés dans ce paragraphe s’étendent à tous tes systèmes différentiels dont l’intégrale générale dépend d’un nombre fini de constantes et les renferme algébriquement. De tels systèmes sont nécessairement algébriques par rapport aux fonctions inconnues et à leurs dérivées, mais les variables indépendantes y peuvent figurer analytiquement.

38. Jusqu’ici, la distinction que j’ai établie entre les équations (E) de la classe générale et de la classe singulière n’a joué aucun rôle.

Quand on la fait intervenir, la conclusion à laquelle on arrive [37, 63] est bien simple :

Si l’intégrale d’une équation (E) n'acquiert que n valeurs autour des points critiques mobiles, cette intégrale est une fonction algébrique ou transcendante des constantes y’„, y 0 suivant que l’équation (E) est de la classe générale ou de la classe singulière.

D’après cela, quand une équation donnée (E) appartient à la classe générale, un nornhrc fini d’opérations algébriques permet de reconnaître si son intégrale n’acquiert que n déterminations autour des points critiques mobiles (n étant donné).

Ceci suppose toutefois que la terminologie adoptée à propos du premier ordre soit strictement appliquée ici : les équations que nous considérons sont celles dont une intégrale quelconque acquiert exactement n déterminations autour des points critiques mobiles; ce nombre ne s’abaisse que pour des intégrales particulières exceptionnelles, je veux dire : formant une ensemble dénombrable.

Mais il est loisible', pour les équations du deuxième ordre, d’entendre le mot exceptionnelles dans un sens plus large, et de dire que les intégrales en question sont exceptionnelles quand, pour une valeur numérique arbitraire donnée à une quelconque des deux constantes, elles forment un ensemble dénombrable. Admettons cette définition; l’intégrale d’une équation (Ë), si elle n’acquiert que n branches autour des points critiques mobiles, se laisse toujours mettre sous la forme(t); lorsque l’équation est de la classe générale, les R,- ne peuvent avoir d’autres singularités mobiles que des pôles; mais ce peuvent être des fonctions uniformes transcendantes de y" a ,y' 0 , y a , qui présentent comme singularités essentielles les valeurs des constantes pour lesquelles deux branches d’intégrale, permutables autour des points critiques mobiles, cessent de se permuter. Cette remarque ne concerne évidemment pas les équations à points critiques fixes.

C’est le dernier sens, le plus large. (' ), que j’adopterai dans ce qui

39. Équations dont l’intégrale est une fonction à n branches qui renferme les constantes sous forme transcendante. — Il s’agit maintenant d’élucider le cas où, l’intégrale étant mise sous la forme (i), les R, sont des fonctions uniformes transcendantes dey", y' a ,y „.

acquièrent au plut n valeurs autour des points critiques mobiles, on introduirait ces équations (analogues à celles que j’ai signalées, p. 48, dans le cas du premier ordre) dont une intégrale acquiert tantôt n, tantôt n' valeurs, suivant les régions où se trouvent les

nombre intmide branehes° S q 31 S ’ ° 3 ° PCUt "" ° nCll °" ° 3 " **

Quelles que soient les constantes qu’on substitue &y\,y a , l’intégrale y{x) ne deviendra jamais une fonction algébrique des deux constantes. Mais il peut arriver que, moyennant un choix convenable des constantes, y(x) renferme algébriquement une de ces constantes. Je conviens de dire, dans ce cas, que l'intégrale est une fonction semitranscendante constantes. Si, au contraire, l’intégrale est une fonction transcendante de l’une et de l’autre constante, de quelque manière qu’on les choisisse, l’integrale est dite fonction essentiellement transcendante des deux constantes.

Ceci posé, j’ai démontré [63] qu’une équation (E), dont l’intégrale y(x) est une fonction semi-transcendante des constantes, équivaut à une combinaison de deux équations du premier ordre (4) H(/,/,<,*) = o, KQ', f,*j = o,

H et K étant algébriques. Pour que l’intégrale de l’équation (E) n’acquière autour des points critiques mobiles qu’un nombre fini de valeurs, il faut qu’il en soit de même pour les intégrales de chaque équation (4). Il suit de là que/ s’exprime algébriquement en x, u, v, les fonctions u(x), v(x) vérifiant respectivement une des équations

[fl est algébrique en x, v; b en x-, h et x sont des constantes numériques, à moins que b=o, et que i = v== v 0 ].

Toute équation (E) dont l intégrale generale n acquiert autour des points critiques mobiles que n déterminations et renferme les constantes sous forme semi-transcendante, se ramène donc aux équations linéaires et aux quadratures; son intégrale est une combinaison explicite de transcendantes connues. Seules tes équations dont l’intégrale est une fonction essentiellement transcendante des deux constantes peuvent engendrer des transcendantes nouvelles.

Remarquons que, si l’équation (E) a ses points critiques fixes, la correspondance biuniforme qui existe (pour x et x 0 donnés) entre les surfaces (E) et (E 0 ) est semi-transcendante ou essentiellement

biuniforme, suivant que l’intégrale est elle-même une fonction semitranscendante ou essentiellement transcendante des deux constantes.

On conçoit dés lors [39, 40, 63] la relation étroite qui existe entre la recherche des équations du second ordre qu’intègrent des transcendantes uniformes nouvelles et l’étude des transformations essentiellement biuniformes des surfaces algébriques;

Les théorèmes du §21 montrent [55] que si le genre de la surface F = o, pour oc donné, est plus grand que î, l’intégrale ne peut avoir ses points critiques fixes sans être une fonction algébrique ou semi-transcen-r

Pour définir à la fois des fonctions uniformes nouvelles et des correspondances essentiellement biuniformes entre surfaces, le premier problème qui se posait était de déterminer, parmi les équations (E) résolues en y", celles qui ont leurs points critiques fixes.

et du premier degré.