Parmi les équations

où R est rationnel en y, y, x, était-il possible de découvrir toutes les équations à points critiques fixes? Pour les raisons que j’ai données dans l’Introduction (p. 4). il n’y avait pas lieu de l’espérer.

Le géomètre qui avait publié sur ce sujet les travaux les plus importants, M. Picard, s’était attaché surtout aux équations (e) où x ne figure pas. Sa méthode consistait à exprimer que l’intégrale ne présente pas de points critiques algébriques, non plus que des points transcendants d’une certaine espèce. Quand ces conditions étaient remplies, M. Picard convenait de dire que l’intégrale est à apparence uniforme. Mais l’intégrale était-elle vraiment uniforme? Des exemples très simples montraient qu’il n’en était rien. D’autre part, on ne con- . cevait aucun moyen de compléter ces conditions('). Comment exprimer,

(>) J’ajoute que ees conditions n'étaient établies que moyennant certaines hypothèses simplificatrices faites sur l’équation (e). Il n’était donc pas certain qu’elles fussont nécessaires. Enfin, elles ne limitaient point le degré do R on y, et n’indiquaient d'aucuno manière qu’une telle limitation fût possible.