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en effet, qu’il n’existe pas de singularités essentielles mobiles, ou, s’il en existe, qu’elles ne sont pas critiques'! Les seuls cas ou l’on pût affirmer l’uniformité de l’intégrale étaient ceux où les conditions trouvées entraînent (comme dans le problème de M'"' Kowaleski) l’intégration de l’équation différentielle, et où cette intégration même met en évidence l’uniformité de l’intégrale. C’est pourquoi M. Picard, dans les derniers Mémoires qu’il ait consacrés à la question, arrivait à cette conclusion : « Les conditions pour que l’intégrale soit uniforme sont transcendantes : il est impossible, en général, de les former ('). »

Je suis parvenu cependant [38, 76 à 81, 86, 87, 96, 99] à résoudre complètement le problème, et même un problème plus général : j’ai déterminé toutes les équations à points critiques fixes de la forme

où p est rationnel en algébrique en Y, analytique en X.

11 m’a fallu pour cela constituer une double méthode qui répondît à ce double objet : i° former des conditions nécessaires (nouvelles) pour qu’une équation (/) ait ses points critiques fixes; 2° décider si ces conditions sont ou non suffisantes.

Les résultats sont tellement simples et précis que je les donnerai explicitement.

Considérons le Tableau suivant (où «, p, y, S, s désignent des constantes numériques) :

(I) y‘=-i y y-y> + a(x) ou y = i, S ’=az.

(II) y"=-ay/-t-a(ic).

(III) y=«y’+Py' + (ya: + a)y + (ex + x) (y|3 = 3«e).