IMP

V. Si Ton fixe en on point Tun des sommets du losange forme par qaatre r^les , mobiles autour de leurs extraites , et qu^on fasse motiToîr le sommet de Tangle oppose suivant une droite invariable , passant par le

rint fixe 'y deux points pris sur les qôt^s de Tangle n^obile et à la distance du sommet , décriront une ellipse ayant aB pour petit axe et le point ^fixe pour centre.

VI. Construire une ellipse semblable à u|ie ellipse donnée et dont Paire soit à celle de cette dernière dans un rapport connu. Construire tme ellipse semblable à deux ellipses données, e^ dont Taire yaille la somme ou 1^ difiTérence des aires de ces ellipses.

. Vn« Le point du cercle qui roule intérieurement sur la circonférence ll^un autre cercle de rayon double , décrit une. ellipse dont les demi-axes sont la plus grande et là plus petite distance de ce poipt à la circonférence du cercle auquel il appartient ; et suivant que ce poin^ e^f a la circonférence ou au centre , il décrit une droite ou un cercle égal au cercle mobile.

Vin. Si. deux droites jr=«x-J-& et j-^ra'x-l-i'^ touchant continuellement une même ellipse, se meuvent de manière que le produit aa^ ^ soit constamment égal à -^f»', le point dUntersection des deux tangentes d^rira une second^ eUipse. Si Ton conçoit deux tangentes à la seconde eDipse . mobiles comme les deux premières et donnant encore continuellement W= — p^y rintersection de ces dernières décrira une troisième ellipse, de laquelle, diaprés les mêmes procédés , on déduira une quatrième ellipse, et' ainsi de suite. Cela posé, i** toutes les ellipses construites sur la première seront semblables entre elles , lui seront concentriques et leurs axes auront les mêmes directions que les siens; a** les aires de ces ellipses armeront une progression par qbotient, dont la raison sera 3.

(Pour la démonstration il ^Eiudra d^abord observer que la première tangente est représentée à la fois par les deux équations y:=:aX'^6 et A*âa + B' = ô*, puis on éliminera b. On procédera de mêpae pour la seconde tangente ; et alors on verra que a et a' sont racines d We même équation du second degré ; ce qui fournira IVquation de la seconde ellipse ^

et de même pour la troisième , etc. On pourra aussi examiner les deux

B^\ hypothèses aa' rsr. — 1 et cuif =r-^ ~ h

IX. Si un angle droit se meut autour de son sommet placé au centre d^une ellipse , les cordes qui joindront les intersections de ses côté^ avec a courbe , seront continuelleptient tangentes au cercle du même centre que Tellipse et ayant pour rayon la perpendiculaire abaissée du centre sur )^ corde qui joint les extrémités de deux demi-axes.

De VHyperbole.

104. Uhyperhole est une courbe plane telle , que la différence des distances de chacun de ses points à deux points fixes F et f\ est çonstampient égale à une droite donnée 2A. Ces deux

pjdÎDts F et F\ sont dits hs foyers de Fhjperbole, et les droites menées des fojers à un point quelconque de la courbe, sont les rayent vecteurs de cette courbe.

io5. Pour construire Phyperbole, on prend une règle F'D, ayant une extrémité percée d^un trou dont le centre soit sur le prolongement de Tune des longues arêtes (fig. i6). On engage dans ce trou , un^ pointe plantée au foyer F', par exemple. A Pautre foyer F est plantée ime pointe, autour de laquelle peut tourner Pextréînité d^un. fil , dont Tautre extrémité est attachée au point D de la règle. La longueur du fil doit être telle, quVn la retranchant de F^D, il reste 2A. Faisant glisser une pointe à tracer M le long du fil , on le force à s^appliquer toujours contre la règle qui tourne autour de F^; et alors, par ce mouvement, la pointe M décrit une portion de Phyperbole demandée. Il est visible , en effet , que dans le mouvement de la règle , on aura toujours F'M— FM=F'MD— FMD=:2A; la pointe M sera donc toujours sur l'hyperbole cherchée, et en tracera une portion d'autant plus grande , que la règle F'D sera plus longue.

Faisant tourner de même la règle autour de F et le fil autour de F', on décrira une autre branche de la même hyperbole. De sorte que cette courbe se compose de deux branches égales et opposées, MBM' et mBW, qui s'étendent indéfiniment dans les deux sens, au-dessus et au-dessous de la droite FF'.

Cette construction montrç d'ailleurs que FB = F'Bf , et que quand le point M est en B , on a 2 A = F'B — FB = F'B — FB' = BB'.

Il est clair, d'après cela, que aA <^FF'. C'est ce qu'on peut voir autrement ^, car appelant M un point quelconque de l'hyperbole, on aura, d'après la définition, F'M — FM= 2A. Mais d^ns le triangle F'MF, on a F'M — FM < FF^ 5 donc aA<FF'.

. 106. On peut aussi décrire l'hyperbole par points, comme il suit : *soit O le milieu de la droite FF, et soient prises les distances OB et OB' égales chacune à A : les points B et B' appartiendrpnt d'abord à la courbe cherchée. Car ayant FB = FO — A et F'B = FO + A, il vient F'B — FB = 2A. De même, FB' — FB' = 2A.

Pour avoir d'autres points , prenons sur le pf'olongement <lc OF, un point quelconque I \ puis des foyers F et F', comme

centres, avec des rajons respectivement égaux à IB et IB% dé* crivons deux arcs se coupant en M et M'; des mêmes centres F, F' et avec les rayons IB^ IB, décrivons deux nouveaux arcs ' se coupant en m et W ; les points M, M' appartiendront à une branche de la courbe, et les points m, m' à Pautre branche. Car puisque FM = IB et FM = IB', on a FM — FM = BB' ;= a A ; donc le point M est à llijperbole demandée ; et il en est de même des points M\ m et m!,

En répétant ces constructions avec des points sur le prolongement de FT \ mais de plus en plus éloignés de F, on obtiendra autant de points qu^il sera nécessaire pour tracer, à la main, la courbe avec qnelqu^exactitude.

107. Maintenant que nous savons tracer llijrperbole et que nous avons une idée exacte de la forme quelle affecte, cherchons aon équation. A cet effet, plaçons Porigine des coordonnées rectangulaires au milieu O de la droite FF', que nous représenterons par 30, et dirigeons Taxe des x suivant cette droite (fig. 16). Soit M un point quelconque de la courbe ; soient a:, j- les coordonnées OP, PM du point M ; enfin, soient r et r' les rajons vecteurs FM et F^M, dont la différence, diaprés la défim'tion, est constanunent égale à la droite donnée aA : on aura d^abord

Ensuite , à cause de FP = <t — x et de FT =z c + x, les triangles FMP, F^MP fournissent

r^=^» + (o--a7)' et r'»=j^ + (é? + x)'.

Prenant successivement la somme et la différence de ces équations, et réduisant, il viendra

r'* + r* = aj-* + ax* + lé" et r'» — r^ == 4ca:.

Or, f^ — r' étant la même chose que (r' — r){r^-f- r), si dans ce produit, on substitue

W— r = aA, on en déduira r' + >" = "r •

Ces deux équations donnent «

ex ex

r'=;= — + A et rr=: — — A.

Substituant ces valeurs dans r^^ -{- i^zzi %jr* -}- ix"^ -{- ac',

C 67 ) d'où Ay + (A'— e*)x»=A»(A' — «•).

Maïs on a va (io5) que aA <^ aç ou A < c ; donc c' — A" est positif. Posons c* — A*z= B*, B sera une quantité donnée et réelle, et nous aurons A' — c* = — B* ; d'où Ton tire

A>-* — BV = — A'B*5 et teOe est Péquatîon la plus simple de l'hyperbole.

Cette équation se déduit de celle de l'ellipse, en changeant, dans cette dernière, B* en — B'ou B en B y — i. Ce changement dans les propriétés de Péllipse , conduira donc à celles de. l'hyperbole. Ainsi ces deux courbes jouissent de propriétés analogues , bien que leurs formes soient très-dijQférentes.

io8. Prenant la valeur de^ dans l'équation précédente de l'hyperbole , on aura

Ces deux valeurs étant égales et de signes contraires, il s'ensuit que pour une même abscisse OP, il y a deux ordonnées égales PM et PM'^ la courbe est donc divisée en deux parties égales par l'axe des x.

Faisant X = o , pour avoir les points où la courbe rencontre l'axe des ^, on aura ^ ^= :d= B [/ — i ; ces deux valeurs étant imaginaires ou impossibles , l%yperbole ne rencontre pas l'axe des ordonnées. Tant qu'on aura ;r<^ A, lés valeurs de ^seront imaginaires et il n'y aura pas de courbe : si l'on prend xz=z:±=. A, ou or = OB et a: r= — OB', il viendra ^ = =±= o ; l'hyperbole rencontre donc l'axe des abscisses aux deux points B et B', qui donnent BB' 1= a A. De plus , x zzi, A représentant une parallèle à l'axe des ordonnées , et les deux valeurs de jr étant alors nulles, les deux points où cette parallèle rencontre Phyperbole , se réuiiissent en un seul en B \ donc cette parallèle BA' est tangente à la courbe au point B. On verra de même que la parallèle xz=: — A ou SS', à l'axe des j^, est tangente à l'hyperbole au point V.

Si l'on prend l'abscisse x positive ou négative, mais numériquement plus grande que A, les deux valeurs de jaseront chaque fois réelles, et d'autant pins grande, que x sera plus grande ellemême ; la courbe s'^end donc indéfiniment à la droite du poin^ B et à la gauche du point B'.

Enfin on voit qae llijrperbole est composée de deux branches égales , opposées et indéfinies , dont la plus petite distance est BB' ou a (car la plus petite abscisse est a:=A ou j:= — Â) ; et en pliant la figure soit suivant Taxe des x^ soit suivant Taxe des^, les quatre parties de la courbe se couvriront parfaitement, et sont égales. Gela résulte aussi de la construction donnée plus haut (io5).

log. Les quantités a A et iB sont dites les asei principaux^ ou simplement les aseê de Phyperbole , bien qu^elle ne détermine que le premier, égal à BB^ par sa rencontre avec Taxe des abscisses \ 2 A est le premier axe , 3B le second et Forigine O le centre de la courbe. Les extrémités B et B' du premier axe , sont les sommets de Phyperbole \ et quand elle est représentée par Féquatîon A'^* — B'a:'z= — A'B', on dit qu^eUe est rapportée à ses axes et an centre.

Lorsque les deux 'axes sont égaux , Phyperbole est dite Squilaâre \ son équation est alors

llijperbole éqnilatère est donc entre les hyperboles , ce que le cercle est entre les ellipses.

1 10. Connaissant le premier axe BB' et les foyers F, F', rien n^est plus facile que de construire le second axe âB ; car ayant B' = tf* — A' 1= OF* — OB', si du sommet B comme centre et d^un rayon égal à OF, on décrit un arc coupant Paxe des ordonnées aux points G et G^ on aura 2B = GG^

Si Pon veut trouver les deux foyers, connaissant les deux axes BB' et GG', on observera que c* = A' + B" = OB* + OC% et alors décrivant du centre O et avec le rayon GB , un arc , cet arc coupera Paxe des x aux deux foyers F et F'.

111. Toute équation de la forme My" — Nx' = — P, M, N et P étant des nombres positifs j et les coordonnées étant rectangulaires, représente une hyperbole. D^abord en multipliant les deux

membres de cette équation, par rjr^j, puis posant A' =rT et B'

zzi^^ on aura

^ Ay*— BV = — A'B'...(i)

Dans cette équation A et B sont connus. Prenant sur Paxe des a?, de part et d^autre de Porigine O, deux points F et F', tels que OF = 0F' = c (fig. 16) et qu'on ait £?' =: A» + B*;

désignant par à et à^ les distances FM et F^, do point M ou (x, y) de la courbe (i) aux deux F et F'; on aura évidemment

dr=^ + (c — ar)' et (î'*=^' + (é? + ar)\

Développant et observant que jr' = -ji B' et c' = A' -j-

B*, on verra, en opérant comme pour Pellipse (56) , que

iï;=^ — A et rf'r=^ + Ai d'où li' — i=3A.

Ainsi la courbe représentée par Féquation ( i ) et eonséquemment par Péquation proposée M^-' — Njt'zt — P, est telle que la dififérence des distances de chacun de ses points aux deux F et Y\ est constamment égale à 3A ; donc cette courbe est une hyperbole (io4), dont 2 A et aB sont les axes et F, F' les foyers.

D'après cela , si on avait | j-' — \y — 20: + ^ — |a:' z± o , rien ne serait plus facile que de tracer la courbe représentée par cette équatiop , après en avoir chassé les premières puissances de X et de j-, en y faisant a: =z A -|- j;' et j^ = A +^.

112. Si fon coupe les deux nappes vpposies Sun 66ne droit, par un plan perpendiculaire au plan HCIN' conduit suivant Va^e VCV, ^intersection FNMT sera une hyperbole (fîg. l'J^i^^

Les deux surfaces convexes pouvant être prolongées à Finfini, il est clair que le plan coupant rencontre HI€N' suivant la droite RNN' et les surfaces convexes suivant une courbe composée de deux branches infinies, telles <jue FNT* Plaçons l'origine au milieu O de la droite NN' = 2A , et l'axe des pc suivant cette droite. Soit M un point quelconque de la courbe , et MP^rj*, OP =2 X , lés coordonnées rectangulaires de ce point ; nous aurons ÎÎP rrar — A et NT = ;r -j- A. Menons suivant la droite -MP, perpendiculaire au plan HIC, un plan perpendiculaire à l'axe CV ; ce plan coupera le cône suivant mi cercle , ayant DS pour diamètre. Mais M étant un point de la circonférence de ce cercle; et MP, perpendiculaire au plan HIC, étant aussi perpendiculaire au diamètre DS, il vienl^'m PSxPD. D'ailleurs, les triangles HN^K et DN'P sont semblables , de même que KIN et PNS ; on a donc

KN':a:+À::KH:DP et KN:;r — A:;KI;PS.

Substituant les valeurs de DP'et PS , tirées de ces proportions, dans l'expression de ^', où aura , pour tous les points de la courbe, /

^ HK • Kl - ^ A* ^

Pour avoir les disUmces de Torigine aux points où la courbe coupe Taxe des coordonnées , il faut faire xzzzo dans son équation: ce qui donnera

^~ KN'.KN Donc ces distances sont imaginaires : si on les représente

chacune par B y — i , B sera connu, et Péqoation de la courbe proposée deviendra

Ay— BV = — A"B'.

cette courbe est par conséquent une hjrperbole ( 1 1 1), doqt xA, 2B sont les axes, N et W les sommets et O le centre,

1 1 3. Il est aisé maintenant de tirer de Péquation de Phyperbole , les diverses propriétés de cette courbe , lesquelles , comme on a vu (107)1 sont analogues à celles de Pellipse.

D^abord en résolvant Péquation A^* — B*a:*:=: — A'B', par rapport à j**, on verra que dans Phyperbole , les carrés des ordoqn^es sont entre eux comme les produits des distances des pie\]s ae ces ordonnées, aux sommets de la courbe.

Ensuite , il est facile de voir que la double ordonnée qui passe

par un foyer, vaut -^. Onlanonunej^arant^/^.- c^est une troi-

sième proportionnelle aux deux axes 2 A et aB.

1 14* Toute droite xdJOM. menée par le centre O e$t terminSe départ et £ autre à ^hyperbole, eneet un diamètre, parce qu'elle est divisée par* ce centre en deux parties égales (fig. 16). Eu effet, les équations de la droite m'OM et de Phyperbole , étant

jr = a3: et A^— BV=:— A'B*;

si on élimine j^ de ces équations , Péquation finale donnera les abscisses des intersections de la droite m'OM et de Phyperbole : on aura AB

Ces deux valeurs étant égales et de signes contraires , si Pune est OP, Pautre sera OP' = OP ; et les deux triangles rectangles OPM et OPW seront égaux ; donc OMzz Om'.

ti5« Pour que le diamètre soit réel^ il faut qu^on ait B'^

a* A* : si B* était moindre que a*À*, les valeurs de x seraient impossibles , aussi bien que celles de ^ ; le diamètre o^existerait donc pas , ou serait imagùuur». Enfin , si B* = a'A^, les valeurs de j: et de^ seront infinies, et le diamètre lui-même aura une

longueur infinie.

Dans ce cas , o = =±=- ,' et les droites^ z= - a;, ^ = — -a:,

ne rencontrent Phyperbole qu^à une distance infinie : on les appelle oiymptotes de la courbe ; pour les construire , il suffit de mener à BB' et par le sommet B , une perpendiculaire , sur laquelle on prendra les longueurs BR et BR' , égales chacune au demi-second axe B : OR et OR' seront les directions des deux asymptotes cherchées.

Soient j^ et^ les ordonnées de ITijrperbole et d^une asymptote, qui répondent à la même abscisse x\ ,on aura donc , B*j:« -,, ,, B«x» ,, , / B«

Par ces valeurs , il est clair qu^à mesure que Fabscisse x augmente , les ordonnées j-^ y augmentent aussi , et leur différence diminue ; la courbe approche donc de plus en plus de Tasymptote ; enfin , si x est infinie , il en sera de même de^,^' ■ et la différence y — y' sera nulle. D'où il suit que ht (Hymptotet de Vhyperholey à partir eu centre O, vont continuellement en^ t* approchant de cette courbe, $an$ néanmoins p&uooir ia r0^éon-^ trer, autre part qu^à Vinfinù Et c'est de là que ces droites ont reçu le nom à'^asymptote»

Il est clair que les asymptotes de Thyperbole séparent ses dia^ mètres réels de ses diamètres imaginaires; et que si une eilipse et une hyperbole ont le même centre et les mêmes axes, les diamètres égaux de la première formeront, étant prolongés, le& asymptotes de la seconde.

ii6. ZéO premier axe de thypcrhoU est le plus petit de tous ses diamètres. Car soit d un demi-diamètre et (x^y) son extrémilé,) on aura à la fois , .

y—~—B^e%d^=y-^x^;,à'ohéPr:z^^^x^~^\

On voit que d sera le moindre possible quand Fabscisse -x aura sa moindre valeur A ; ce qui donne i2=z A.

Il est aisé de voir aussi qu'une ligne droite ne peut couper Thyperbole en plus de deux points.

^^ii*»™"*»

1 17. Lorsque deux êroiies y=ax -^-h et y rra'x + !>' ***" nées des extrimUés du premier axe, se coupent sur f hyperbole , on a toujours A'aa' — B' =z o ; et réciproquement. Même démonstration qu^au n** 6a. Gela résulte d^ailleurs de ce qpie B', pour l'ellipse , devient — B' pour l'hyperbole. .

Les deux droites précédentes sont des cordes suppUmentatret de l'hyperbole, parce qu'on appelle ainsi deux droites qui, partant des extrémités d'un même diamètre , se coupent sur la courbe.

118. Suivant qu'un point (x, y} est sur t hyperbole , au-dehors ou au'dedans, le trinôme A^* — B'x' + A'B' est nul, positif ou négatif; et réciproquement. On sait déjà que ce trinôme est nul pour tout point (j^i^) sur l'hyperbole. Mais l'abscisse a: restant la même , si le point (x, jr) est au-dehors ou au-dedans de l'hyperbole , Tordonnée j" sera j5lus grande on plus petite que sur la courbe ; le trinôme sera donc plus grand ou plus petit que zéro ^ il sera par conséquent positif ou négatif»

1 ig. La tangente à l'hyperbole n'étant qu'une sécante , dont les deux points d'intersection avec la courbe, se réunissent en un seul , il est clair qu'en opérant comme pour l'ellipse , on trouvera que la tangente j^ = iw: -J- ô , à l'hyperbole , au point (jx:"^j'^)i a pour équation

Ayy — B*xa:" = ■— A'B% ... (1)

et que la direction de cette tangente est donnée par la valeur

a ziz ■

Ay

' Tout cela résulte encore de ce que B', pour l'ellipse, devient -— ^*, pour l'hyperbole. Mais on ne peut plus vérifier, comme dans l'ellipse, que la droite représentée par l'équation (1), n'a que le seul point (x'^ y) de commun avec l'hyperbole. Toid alors comment il faut procéder :

Prenons la valeur dej- dans l'équation (1) et snbstituoils cette valeur dans le trinôme A*j** — B'j;* + A*B* ; en réduisant au même dénominateur A'j<^'', puis en remettant au numérateur, au lieu de Ay^, sa valeur By* — A*B*, tirée de Péquation de l'hyperbole , nous aurons

Le second membre de cette égalité sera toujours positif; il en

sera donc de même du trinôme A*^* ^ — B'^c* + A*B", pour tous les'poînts (a?, j*) de la droite (i) ;, tous ces points, à Pexception du point (x", j"), sont par conséquent hors de Thyperbole (i i8). Ainsi la droite (i) n'a que le seul point (x", j-") de commun arec Thyperbole \ donc elle lui est tangente en ce points

120. La valeur de a^ qui détermine la direction de la tangente, étant unique, il s'ensuit que par un point (Jî",'j^')^ donné sur Phyperbole, on ne peut mener qu'une seule tangente à cette courbe.

C'est ce qu'on vérifie d'ailleurs en cherchant le point de contact (x"^ y^ d'une tangente à l'hyperbole, menée par un point C^^y) donné. Dans ce cas, les équatiçns de l'hyperbole et de la tangente, sont :

Ay^ — BV'» = — A'B% Ayy — B Va/' = — A'B\

Eliminant j^' de ces équations, on trouvera, pour x",

~ B?x"— AV"

Par cette formule et le principe du n** 1 18, il est visible que, suivant que le point (:c', ^) est hors de l'hyperbole, sur cette courbé oii dans l'intérieur, x" et^' ont deux valeurs réelles, une seule, ou deux valeurs imaginaires; donc â y a deux tangentes , une seule ou aucune.

121. La valeur précédente de a/', peut aussi s'écrire comme il suit :

Aj^l/ 1 -f-

ar"

Ay*--BV^\

Cela posé, 1" lorsque le point {pcf^ y) sera entre la courbe et une asymptote, dont l'équation est k^ziz'Bx (ii5), on aura A^'<^.Ba^; la fraction sous le radical sera négative; donc la quantité affectée du double signe =b: sera moindre que Aj*\ et à plus forte raison , moindre que Bar' ; donc , puisque Ay <^ B V*, les deux valeurs de 3^ seront positives. De sorte que par un pûintfris entre f hyperbole et une asymptote j onpeuttoujoure mener deus tangentes à une même hranehe.

a* Si le point {x'^ y) est entre les asymptotes , on aura Ây ^ Bx!\ le numérafeor de x" aura, donc deux valeurs de signes

( 64 ) opposes : et comtne alors le dénominateiir est négatif, il sVnsuît que x^* anra nne valeur positive et une négative. Donc il j aura une tangente à une branche et une à Fautre.

3* Enfin, si le point (jxf^ y) est sur une asymptote, on ann A^.= B'j:, et les deux valeurs de x" deviendront x" = J et jp^'^z: OD. Opérant pour faire disparsutre le facteur commun aux deux termes de or'^ la première valeur de cette abscisse devient

x" = -^,(^* + B*). Quant à la seconde valeur, elle reste

toujours infinie. Ainsi, par un point pris sur une asymptote, on ne peut mener qu^une seule tangente à Thyperbole.

n j a bien , si Ton veut , une seconde tangente ; mais son point de contact avec la courbe est infiniment éloigné. Efièctivement, ce point étant sur l%jperbole et son abscisse x" étant

/infinie, son ordonnée^' est aussi infinie et se réduit à^'zz— -*•

Et conmie la valeur de a ,' qui convient à la tangente , est a :=

•jrrjf^ ^^ y substituant la valeur qu^on vient de trouver pour j^',

on aura ^ ==t* Or, cette valeur détermine la direction d^une

asymptote \ donc la seconde tangente qui nous occupe, coï^dde avec cette asymptote.