Si dans Péquation de la tangente MT au point M, on

fsàt j- = o, on aura Tabscisse x ou OT du point T où cette

A^ droite rencontre Taxe des x ( fig. 1 7 ) , et il viendra OT = — ;

ce qui montre que la tangente ne passe par le centre que quand le point de tangence est à Pinfini. Mais F et F' étant ks foyers.

CT

cxft

on à OF=:OF=ê, FM = ^^ — A et FM=;=^ + A (107)^5 donc

tp=:OF-.ot=.-^=A(«^'a)=^xfm,

De là résulte TF : TF' ; : FM : F'M ç ce qui montre que MT divise Fanglç FMF' en deux parties égales. Ainsi da^ê f hyperbole , Ui droites menéee detfoyeri au pomi de taghgehcey.font mœe la tangente et fh part et Vautre de ^ette ligne, deux amgUe égaux*

D^où il est visible qne la normale MN divisé en deux parties

égahê îê MuppUmeni FMK de V angle formé par ie$ raytmiveù' ieurs menét^au point de langenee,

123. Proposons-nous maintenant de construire une tangente à Thyperbole , par un point donné. Supposons d^abord ce point sur la courbe , en'M ; menons les^ rayons vecteurs FM et F'M ; prenons MH=: MF et tirons MT perpendiculaire à FH; cette perpendiculaire sera la tangente demandée. Car l'es deux triangles rectangles MIF et MIH étant égaux, k droite MÏ divise en deux parties égales Fangle ¥MÈ* des deux rayons vecteurs FM et F'M; donc MT coïncide avec la tangente au point M (122). Il serait d^ailleurs facile de démontrer que tous les points de la droite Mï sont hors de Thyperbole , excepté le poîiit M.

Supposons maintenant que le point donné soit hors de rhyperbole ^ par exemple en* G : de ce point G commecentre et du rayon GF , décrivons tin arc 5 du foyer F' comme centre et avec le premier axe 2Â. pour rayon , décrivons un second arc qui coupera le premier en H et H' : les droites FTEt, F'H', iront couper Fhyperbole aux points de contact des deux tangentes que Ton peut mener à la courbé, par le point G^ dé sorte que M étant Fun de Ces points , GMT sera tangente en M. En effet , par construction, F'JSI— HM=zFH=iA.. Mais M étant sûr l'hyperbole , on a aussi FM-^ FM 1= 2À ; donc MH rz MF. D'ailleurs GF =1^ GH ; donc la droite GMT est perpendiculaire aumilieu de FH; ainsi', d'après le premier cas', die eit tangente en M.

124. Le point I étant le miliett dé Ffit et lé pmntOlë liiilîeii âe FF, il est clair que la droite Oï en la moitié de F^' ou de 12 Â.. Ainsi les pied$ des perpenâicuîàîres- fneniee étimjvyer sur les tangentes à f hyperbole ^uppartieunent à la circonfirenee ayant lé premier axe pour dianûtre.

Menant Oz parallèle à MT, on verra que la %ure OIMs est un parallélogramme^ et qu'ainsi Mzz=z01=:A., D'où il suit que dans t hyperbole (^ comme dans feUipse), la partio éPuU rayoti vecteur comprise entr*e ta tœnyenie et sa parallèle menée par h' centre, est igalë à la moitié du premier aseép

Cette propriété et là précîédèntë donnent- le ihoyeà de àànstruire fhyperhoUf {où felUpsë) dotit on confiait te centhe'Ô^ là, longueur du premier axe 2Â 1 ^^e tangente éi son point de contact M. Car tes perpendiculaires à la tangente-, aux points I et l' où elle est conpée par la circonférence déorite du centre O et

( ee )

da rayon A, passent par les foyers, ainsi que les parallèles menées par M aux droites OI et OI'.

1 25. fl est âcile de voir que Péquation de la normale k Thy-

Les valeurs de lai'souiangenie et de la êoûnormale , sont respectivement, x/^a^A. ^ B»x''

PT-— — etPN-.^.

ii6. Voici quelques théorèmes à démontrer :

I. Si la droîtejr=ax-j-6 est tangente à Phyperbole, on aura toujours

IL Les tangentes aux extrémités d^un même diamètre de Thyperbole, sont parallèles entre elles; «t réciproquement , si deux tangentes à Thyperbole, sont parallèles, la droite qui joint les deux points de contact, passe par le centre*

S suit de là que trois tangentes à Thyperbole ne peuvent jamais être parallèles entre elles.

III. La plus courte distance entre Thyperbole et un point du prolongement du premier axe y est la normale qui passj? par ce point.

IV. L^origine étant au sommet ( — Â , o ) et les coordonnées parallèles aux axes aA et aB, Thyperbole est représentée par Ay— B*x» = — aAB'jT, et sa tangente au point («",jr" ), par A^jry"— B»jcx"s=: — AB«

V. Dans Thyperbole , le demi-second axe B est moyen proportionnel^ 1^ entre les distances des deux foyers à la tangente; a® entre les ordonnées de la tangente qui ont leurs pieds aux sommets de la courbe ; 3* entre les distances d^un foyer aux deux sommets ; 4° enfin entre la normale et la perpendiculaire menée du centre sur la tangente.

VI. Le sommet d^un angle droit mobile , dont les côtés sont contînnellement tangens à Thyperbole, décrit une circonfélrence de même

centre et ayant l^A' — B» pour rayon.

Vn. La portion d^une tangente à Phyperbole, comprise entre les perpendiculaires aux extrémités du premier axe , est le diamètre d^une circonférence qui passe par les deux foyers.

Tous ces théorèmes suont analogues à ceux énoncés pour Tellipse (77) et s^en déduisent en y changeant B> en — B*.

VUI. Les droites qui vont dW même point quelconque de Thyperbole équilatére aux extrémités dW même diamètre réel (ou trcauverse)^ font des angles égausravec Tune quelconque des deux asymptotes. (On démontrera dHibord que pour les droites proposées , les a et of sont tds, qu^on a loiqoun aJtf = 1, etc. )

( 67 ) 12*]. On appelle dianùires conjugués i

diamètres tels , qa^en 1^ prenant pour a

Téquation de la courbe conserve la mém'

axes rectangulaires.

Pour trouver ces diamètres , prenons le

à passer d^un système d^axes rectangulai

de même origine (45) , savoir ;

ax'

mm m m

formules dans lesquelles wi* =ri -|- «* et fn!^=z i +a". Substituant ces valeurs de x et dejr dans Péquatîon A^* — B^x^ zin — À'B*, qui est celle de rh3rpèrbole rapportée à ses axes et au centre, on trouvera

Pour que cette équation soit de même forme que celle qui est relative aux axes aA et 2B , il faut qu^elle ne contienne pas le produit a^y des nouvelles coordonnées \ il faut donc profiter de Findéterihination de a et a! pour faire disparaître ce terme , en rendant son coefficient nul \ ce qui donne la condition

AW — B'zro^ ...(1) -

et Péquation de là courbe devient , en y supprimant les accens des coordonnées obliques x' etjr\^

La condition (1) qui existe entre les inconnues a et a! -étant du premier degré , admet une infinité de valeurs réelles pour ces inconnues ; il y a donc une infinité de systèmes d^axes de coordonnées, pour lesquels Téquation de Phyperbole né contient que les carrés j-3, x^ des variables, -avec un terme constant. Mais pas un seul de ces systèmes, autre que celui des axes, ne sera rectangulaire , puisqù'alôrs on devrait avoir aa^-^-i^zo^ ce qui réduit la relation (1) à A' -^ ^' = ^^ chose évidemment impossible.

ï2i8. Nous avons vu (1 15) que les diamètres dirigés suivant les droite» j^=aa: etj'=^a!x ne sont réels, c'est-à-dire ne rencontrent Phyperbole , qu'autant que B* > A'a' et B* > a'' A', ou B >^ Aa et B>> a'k. Mais ces inégalités ne sauraient existef en même temps , pout les diamètres conjugués ; car d'après la

^"felation (i),siB^aA^on aura B ^ a'A, et réciproquement.

^ Lthyperbole ne roncontce donc jamais à la fois ses diamètres conjugués.

Supposons qu^elle coupe Taxe des x ; alors on aura B >> <iA cl B < o'A. Faisant j^ = o et a? = o , dans Téquation (2), on aurales distances de Porigine aux points où Thyperbole rencontre les axes des x et des jr obliques : en désignant ces distances par A' et D , la première étant comptée sur Taxe des abscisses et la seconde sur Taxe des ordonnées^ on trouvera

Gomme B >> aA el B-<< Ao^, on voit que la distance A' est réelle et la distance D imaginaire, comme cela doit être, puisque la courbe ne rencontre pas Taxe des j^. Cependant on a coutume de prendre, sur Paxet des j^, deux points G et G' éloignés chacun de l'origine d'une distance B' telle, qu'on ait B'*=-r— D*. Alors 2 A' et 2B^ sont appelés les éUamkireê conjugués de l'hjperbole , bien que le premier 2 A' soit le seul terminé à la courbe : 2 A' est le ^r^mt^r, diamètre conjugué et 2B' le second.