B'-«»A» ®' ^ — AV»-B* W
Prenant dans ces équations, les valeurs des dénominateurs, et substituant dans l'équation (2) de Pkjrperbole, on obtient
équation qui se déduit de l'équation analogue de PelUpse , en changeant B'' en — B'* dans cette dernière»
i3o. Soit s le sinus de l'angle compris par les diamètres con< jugués 2A' et 2B'; il est clair qu'en raisonnant couaùe pour Pdlipse, les équations (1) et (3) donneront
A'' — B''=r A" — B» et A'B'i = AB,
relations fournies par celles analogues de Pelh'pse, en changeant dans ces dernières B' et B'*, respectivement en «^ B' et — - B'\
La seconde de ces relations nous apprend que h^ parallélogramme construit sur deux diamitres conjugids fuelcojdfues de Vkypsrhole, est éguioalent cm rectangle cû^iruit sur les deux axes*
mt n
(^9 ) Quant à Pégalîté A'* — ©'' = A* — B% elle montre que la différence des carrée de tieux diamètres conjugués de Fhyperbole, vaut la différence des carrée des deux axes.
Il n^j a donc que Tliijrperbole ëquilatère qui ttl ses diamètres conjugués égaux ; et tous les siens le sont deux à deux.
i3i. L^équation de l^jperbole, rapportée à ses disffiièlres conjugués 2 A' et aB', étant A'>* — B'V= — A''B'% on tire de cette équation et de la relation (0^ les théorèmes que voici à démontrer, et qui soot analogues à ceux énoncés (89) pour PeUipse :
1 * Chaque diamkire dinee les cordes paraî^les à son eonjuguS en deux parties égales, D^>ù il suit que pour arioh: un diamètre et le centre d^une hyperbole tracée, il suffit de mener tme droite par les milieux de deux cordes parallèles et de répéter cette opé* ration pour deux autres cordes parallèles.
2** Les carrés des ordonnées aux diamhtres conjugués^ sont entre eux comme les produits des distances des pieds de ces ordonnées aux points où Vaxe des abscisses coupe la courbe»
De sorte que pour décrire une hyperbole dont on connaît deux diamètres conjugués et Tangle qu^ils font entre eux, il faut d^abord tracer une hyperbole sur ces diamètres , pris pour axi^s rectangulaires, puis incliner les ordonnées de cette hyperbole sous Fangle donné, sans changer leurs longueurs : les points ainsi obtenus appartiendront à iliyperbole demandée.
3^ I^s tangentes aux extrémOés &un ûiamhtre réel de ThyperhoUj sont parallèles à een conjugué; et réeiprofuement.
^ Deux diùmè'tres eonjugués de f hyperbole, sont toujours parallèles à deux cordes eupplémentisires menées des extrémités du premier axe.
Ce qui donne le moyen, connaissant une hyperbole et se» deux axes , de trouver deux diamètres conjugués , comprenafit entre eux un angle donné..
5" Pour deux cordes supplémentaires ^=r<w7+ô etj-^^a'x J\- 6% menées des extrémités de 2 A', on aura toujours Al^aa' — B" = û ; et réciproquement.
6* La tangente ;r= <3^^ + * ^ ÎTiyperbole, au point (x'^ y% a pour équation
A'yy — B'*a:x"=:.~A'*B'% ou A'*a*~B'»=&%
la valeur de a étant
on: •
7* Si une corde euppUmentaire est paralUîe au âiamhire mené aupoini de tangeneej Vautre corde sera parallèle à la tangente.
On peut donc , sans connaître les axes , mener une tangente à Phjperbole, soit par un point donné sur cette courbe, soit parallèlement à une droite donnée.
8^ Si un diamètre réel de rhjFperbole est parallèle à une corde supplémentaire, son conjugué sera parallèle à Fautre corde, comme étant tous les deux parallèles à la tangente à une extrémité du premier diamètre ( 3* et 7'' ) ^ Pangle entre ces diamètres conjugués ^era donc ie même que cçlui des deux cordes supplémentaires.
De là, si rhjperbole est tracée, on trouvera aisément deux diamètres conjugués, comprenant un angle donné, lesquels seront les axes, quand Pangle sera droit.
i33« Dans Vhyperhole rapportée à ses axes^ les rectangles construits sur les coordonnées des extrémités positives de deux diamètres cor^uguésy sont éqi^alens erdre eux. Soient (x, jr) et (x',^) les extréikiités positives des diamètres conjugués aA'et iW\ les ëqiîations de ces diamé-
^es donneront çvi4emnie|it a ;?=: - çt a' ='^* Substituant ces valeurs
dans la relation A'âa'=s= B^ et dans la seconde relatioifi (3) , puis observant que x''4-j^'=:B'*, on trouvera
Ay — BV» = A'B».
De plus, comme Pextrémité (', jr) appartient à Fbyperbole, on a
Ay— BV = — A»B».
Substituant dans cette équation , les valeurs de A' et B', tirëes des deux équations précédentes, et réduisant, on obtiendra ^r=:»[^« Ce qu^il fiJlait démontrer.
J^u moyen de a>fz=zxfy\ les valeurs que Ton vient de trouver pour A' et B% deviennent ^a-2jp>^> et B«=y' — j-%
relationis fort remarquables.
i33. Le produit des distances du point de tangence à ceux ok la tangente rencontre les axes de V hyperbole^ est égal au carré du demidiamètre B' parallèle à cette tangente ( fîg. 18 ). Car la tangente MTU rencontrant les axes en T et TJ, et le diamètre ONr=:B', conjugué de PM= A^ étant parallèle à MT (i3i, 3°) -, si Ton mène MR parallèle à PP, les triangles MRU et MTP, semblables à ONQ, donneront
«r:»'::MU:B% jr:y::MT:B'.
Multipliant par ordre, et observant que s^zrtx^y^ on trouvera MU XMT = B'*.
i34* Décrivant sur TU comme diamètre, une circonférence rencontrant OM en O et en I, on aura OM X IM =: MU X MT, ou A' X IM
B'* =:B'% ou encore IM=?-— •
De là résulte le moyen de construire les axes de Vhfperbole^ connais^ sont deux diamètres conjugués aA' et aB', ainsi que V angle MON qu*ils font entre eux» Pour cela, sur le premier diamètre OM=?A', on prendra MI = -JT-; par le milieu de 01, on élèvera une perpendiculaire, qui
coupera en Y la parallèle MU à ONczB'^ du centre V et du rayon VQ, on décrira une «jrcQnférenoe, qui coupera MU aux points T et U où cette parallèle rencontre les axes cherchés : menant alors les droites OT et OU, puis MP perpendiculaire à OT) le premier axe a A se construira par |a formule A*= OP X OT. On aurait de même B'= MP X OU.
i35. Zies coordonnSei comprenant un angle ^^ toute équation de la forme My* — N:^* :;^: — P, ( M, N «/ P étant deê nombreg
positifs^ représenta une hyperbole. D^abord 3i Ppn prend les
nombre$ A* et B' tels qu'on ait A'' = ^s et B^*^= rj , cette équation deviendra
Ôr, on peut toujours trouver une hyperbole dont 2A' et tW' soient les diamètres conjugués, comprenant Pàngle é'y car en désignant par s le sinus de cet angle, les axes 2iA et 26 seront donnés' par les rehUous A* — B» = A'* — B'» et AB = A'B'», desquelles on tirç
B»=— KA^"— B'*) + U^% ( A^" — B''/ + A'*B' V ; d^où il est visible que les valeurs de %A el 2B' seront toujours réelles.
Connaissant les axes aA et aB, on pourra tracer l%3rperbole { et cette hyperbole , rapportée à ses diamètres conjugués lA' et aB', sera représentée, comme on l'a vu (1 29), par l'équation (4) et cops^quemment par l'équation proposée M^* — Nj:*=: — P;
i36. Lorsque les deux diamètres conju^^és aV et nB' sont donnés, ainsi que Pangle compris 6, on peut calculer les longueurs des deux axes, ipar les formides qae Fon vient d^obtenir*^ mais ces fommles sput cgmr
pUquëes et difficiles à construire ; il importe «lonc de déterminer la position des axes, sans faire usage de leurs yaleucs. Or, « étant Tangle comfris entre A et A', Fangle entre A et Basera 9 -|- « ; ainsi dans les formules 3), on a tang *=a et tang (ô+*)=:a'. Divisant donc ces deux formules Tune par Tautre, après y ayoir substitué k^aa" au lieu de B'; réduisant d^ailleurs, aii moyen des principes de la trigonométrie, on obtiendra ^ B'«sinad
**''^^*""A'»— B'»cÔ8aS' formule gui s^appliquera à Fellipse, en y changeant B" en •— W*,
137. LVquatîon de ITiyperbole prend une forme très-simple, lorsqu'on choisit ses asymptotes pour axes des coordonnées. En eflfet, comme alors les a et a\ qui déterminent les nouveaux axes des ^' et des y, à Pëgard du premier axe 2 A de la courbe ,
B fi
ont reçpectivemem pour v^teurs -a == tt- t et V = ^Z u 5) ; d'où
m*= 1 + «• = —jT- = ^*S l'ëquatson {tt) du ti* 1 27, qui est celle de l'hyperbole rapportée aux nouveaux axes, se réduit à
Dans celte forme nouvelle de Péquatipn de l'hyperbole, on reconnaît aisément la propriété caractéristique des asymptotes de s'approcher sans cesse de la coiàrbe 5 car^' devient nuL dès que 3^ est infini , et réciproquement.
• i38. Le parallélogramme conetruit eur les ooorâennées ffun point quelcçnque de ^hyperbole, rapportée à se* aeympiotee, est équivalent au losange ayfuni pour diagon^le^ les deux demt-(^e^ de la courbe (fig. 19). '
Soient OW et OP les aaymptote? , x:'jest-à-dire les nouveaux • axes des x' et des j^; soient B et B' les sommets de la courbe ; x'^y les coordonnées du point M et OpMQ le parallâogr^nme construit sur ces coordonnées. Par le$ sommets B et ^' menoiui des parallèles aux asymptotes 5 d'après la construcdon de ces L'goçs, la perpendicplaire ^H == le d^çil-second »%id B= OC ; là figure OBHG est donc un rectangle.. Pe plps, conmie l'angle BOH=BOD'=: OBD, le côté OD=BD et le parallélogramme ODBI)' est up losange, dan$ lequel les di^onale^s OB = A PD'= BH = B ; de sorte qu'on a 4OI) ■ =z V + B*.
Cela posé , soit « le siiins de l'angle QOP ; nous avons vu (20) que les akes des paraliéiogram^kes QPMQ el ODilD' qui
ont Pangle camaïun QOP, sont respectivement ^rV'f et OD-
OD' f » z^ OD' • M =3 -^-j- — » #. Ainsi diaprés Téquation ( ^ ) de
Thyperbole, ees deux aires sont équivalentes. Mais il est visible d^ailleurs que Taire du losange ODBD' est \kR \ donc
]3g. Divisant cette équation par celle de Tb/perbole, on aura aAB
formule que Pon obtiendrait d^aillenrs en $ubstituan| les valeurti précédentes de a et q! dans Pexpression de $^ trouvée au n* 17.
i4o. l^orsque Phyperbole est équilatère, $'=i\ : le losange ODBD' devient un carré , et reste toujours équivalent au rectangle des ^coordonnées. Le grand losange BGB'&, quadruple de ODBÏ>^ se nomme làpm$$4mP0 de Vhjpevbole : ç^est le demirectangle des axes %k'et aB*
i/fif Pour plus de simplicité « nops supprimerons les accens des variables x' et jr', en nbus rappelant qu^étant comptées sur les asymptotes , elles sont en général obliques. De plus , nous poserons Â* -:J- B' =: 4H' ; et alors , Téquation de Tbjperbole ^ rapportée à ses asymptotes ^ sera xjr =^ ^*,
]42. Récipripqiiement^ ioiUe èqwition de la forme xy:;?H% rej^rèsenie une hyperbole, rapportée à »s$ asympioteei Car soit ^ Pangle des coordonnées proposées ; il est chk qu^on peut toujours trouver une hyperbole dont Pangle des asymptotes étant égal à et son s^us désigné par #, ce sinus et les axes %^ et iR satisfassent aux relations
A' + B'=4H' et #;:^--4^^ ' ^ A»-|-B»
Ces équations , en effet , fourqissent
A4.B=52Hj/r+7et A — B:;5 2H^^i — *,
formules qui donneront toujours poiir A et B des valeurs réelleii.
Connaissant aipsi les deux aiçes 2A et 2B , on connaîtrai aussi leurs directions , car le premier 2 A divise en deux parties égales Pangle des asymptotes , cVst>à>dire Pangle $ des axes des coordonnées ; lliyperbcde pourra donc être construite (io5). Or, si Ton rapporte cette hyperbole à ses asymptotes, on trouvera, comme on Pa vu (iSj)^ ar^- — J(A*4-B*) ou ar^=H% c'est-
à-dire réquadon proposée, Tangle des asymptotes étant I. Cette équation représente donc une hyperbole, rapportée à ses asymptotes \ ce quMl pliait démontrer.
143. Pour avoir Péquatîon de. la tangente à Thyperbole xy =irH*, nous considérerons cette tangente , comme une sécante dont les points d^intersection ( ^,^ ) et ( x", y* ) avec la courbe se réunissent en un seul. LVquation de cette sécante sera
On a d'ailleurs a:y=H* et a^y'szH'j d'où/=:î^'.
Substituant cette valeur et réduisant, on aura, pour Péquation de la sécante ,
Maintenant, si le second point d'intersection {x^ij^) coïncide avec- le premier, ce qui donne j^m^" et a:' = x", la sécante proposée sera tangente au point ( a:'', jr" ) et aura pour
144. ^^ faisant j^zi:o dans cette équation, on aura Fabscisse X du point T où la tangente rencontre Taxe des abscisses , et x — a:" sera la valeur de la soùtangente PT ; il viendra donc PT = a:r" = OP 5 c'est-à-dire que , lorsque VhyperhoU est rapportée à ses asymptotes, la soùtangente, pour chaque point, est égale à V abscisse qui lui correspond.
Si donc par le point M de l'hyperbole , on veut M mené? une tangente , il faudra prendre sur l'asymptote OX^ et à partir dti pied de l'ordonnée PM , la distance PT = OP ; et TMR sera la tangente demandée.
145. Les triangles TOR et TPM étant semblables , û en^ résulte TM=z:MR. La portion de la tangente, entre lés asymptotes, est donc divisée en deux parties égales par le point de eentUet'^
146. Soit une droite IF coupant l'hyperbole en G et G' et les asymptotes en I et I' ; je dis que IG = FG'. D'abord on peut toujours mener une tangente RMT parallèle à la droite IF ( 1 3i , 7'). Et puisque le point de contact M est le milieu de RT, la droite OMlVi' divise la parallèle IF à RT, en deux parties égales au point M'. D'ailleurs le conjugué du diamètre OM est parai*
lèle à RT (i3i « 3*); il est donc aussi parallèle h la corde GG' ; oelle-ci est dooc divisée en deux parties égales , en M', par le diamètre OM ( i3t , i"*). De sorte qu'ayant à la fois M'I=M'r et M'G = M'G\ il vient lGz=zV&, Donc , $i une droite ooupè ^hyperbole et see asymptotes, les parties de cette droite comprises entre les asymptotes et la courbe, sont* égales entre elles*
i47* Cette propriété fournit un moyen bien simple de construire rhyperbole, connaissant un de ses points et ses deux asymp» totes. On mènera par ce point G une droite quelconque IGF, terminée en I et V aux asymptotes OX' et OY' ; on prendra }'G' = IG, et le point G/ appartiendra à Phyperbole* On trouvera donc ainsi autant de points qu'on voudra de la courbe. Pour éviter la confusion d'un grand nombre de droites, tirées d'un même point , on pourra faire servir quelques-uns des points 4éjà déterminés , à en trouver d'autres.
Et comme l'angle des asymptotes peut se construire, dès que l'on connaît le rapport des axes ( ii5), il résulte encore de la propriété précédente , le moyen de tracer Vhyperbole, dont on connaît deux points, une asymptote et le rapport des axes prin^ cipaux.
i48* -Z^ portion de la tangente, comprise entre les deux asymptotes, est égale en longueur au conjugué du diamètre mené au point de tangence. D'abord TR étant tangente en M, l'aire du triangle TRO est double de celle du parallélogramme OPMQ, et vaut par conséquent AB (i38). Soit la demi-tangente MT=z:m et le demi-diamètre OM = A' \ l'angle OMR est évidemment égal à celui que le diamètre 2A! fait avec son conjugué 2B'. Si donc on désigne par s le sinus de cetangle, l'aire du parallélogramme construit sur les jdemi-dîamètres conjugués A' et B', sera A'B't = AB (i3o), et l'aire du parallélogramme construit sur A' et m, vaudra A'ms. Ce parallélogramme , double du triangle OMT , vaut le bîangle OTR ou AB ^ donc A'B'sz±khns , et par suite B' zzim.
149- On voit de plus , qa^en menant du centre de Vhyperbole,^ une parallèle à la tangente à une extrémité Sun diamètre 2A\ la portion de cette parallèle entre les parallèles aux asymptotes tirées de la même extrémité , exprime en grandeur et en direction le conjugué OkW du ^^mktre proposé.
Pe là résulte le moyen de trouver le conjugué d'un diamètre
aura donc
( '8 ) donné , connaissant les asymptotes ; et aussi de tracer les asyraptotes , connaissant deux diamètres conjugués , en longueurs et en directions.
1 5o. L'hfperboJe étant rapporUe à Met oiifmptctesj OX et OY^ trâuter faire S du êegment BCPM , eempriê entre la courbe, une aeymptete et lee deux erdennéee BC et HP (fig* 30).
L^équation de Phyperbole rapportée à ses asymptotes étant de la forme xjr^:^m^^ les coordonnées du sommet B seront BC=z; OC = m. Soient x etjr les coordonnées du point M , de manière que OP ^:|7 et PM =^- Appelons e la valeur que Ton trouve
en supposant n infini , dans le développement de T 1 -f- ~ j î on
Le nom))re infini n étant supposé entier, la formule de Newton donnera, pour le développement de la valeur de e^
Le nombre n étant infini , il est clair que le quotient - est infiniment petit, et doit être considéré comme nul; il vient donc
«=5 2 H 1 — âH — 5-: H — m + ^^î
• 3 a-3 a. 3. 4 a.3.4»5 ce qui donne , à moins dW dibillionîème près ,
«=a,7i8a8i8a8455 d^oà Ton a trouvé pour le logarithme ordinaire de « ,
1 e n; o,4^2g44^ 1 9<>« Gela posé, prenons sur CP n points (en y comprenant C et P) tels , que leurs distances au point O forment une progression géométrique croissante, dont m soit le premier terme et Ç/e zrr la raison, n étant toujours infini. Les ordonnées menées par pes n points divisent lé segment BCPM en n-^ 1 trapèzes mixtilignes. Soit QRnT le t;""* de ces trapèzes, à partir du point G ) à cause de n infini , il est clair que la raison r diffère infiniment peu de Punité , et que par conséquent les abscisses OG et OR sont p^esquVgales, ainsi que les ordonnées QN et RI; la figure QRIN est donc un parallélogramme. Si donc on désigne par «
ifliaa.i^^BaɫM
le sînuft de Pangle YOP, on aura , pour Paire du paraliélogramme , QRIN =i X QR X QN.
Or, par constmction OQ=»i.r*'"' et ORznwi.r*'; donc
