TU

pour un parallélogramme , est moindre que — ^ ; ainsi Terreur

qui en résulte sur la mesure du segment S , est moindre que —, ou qu'une quantité infiniment petite , puisque n est infini.

1 5i . Si l'on veut calculer l'aire du segment BMM', formé par l'hyperbole, le prolongement de son premier axe et l'ordonnée MM' parallèle au second , on remarquera que l'aire du triangle OPM ou de son équivalent OCB , est 4m'«. Et comme l'espace

BOM=:BOC + BCrM^OPM=BCPM=~.ir~Y on en déduit

segment BMM'= ^OM' X MM' — ?^^ 1 (

i52. D'après les valeurs précédentes , si l'hjperbole est équilatère , il sera bien facile de calculer le volume décrit autour de J'asjmptote OX , par le segment BCPN ou S. En effet , le v"' parallélogramme QRIM' devenant alors un rectangle, le volume décrit par ce rectangle , autour de OX , aura pour mesure

«rmV(f— l)X-v'

oc/

Prenant successivement v=i, 1,3,4? '-i ^ — ^ i ^^ ^^^ successivement les volumes produits autour de OX par lés n — i rectangles qui composent le segment proposé S ; la somme de tous ces volumes sera donc celui engendré par ce segment; de sorte qu^on aura

vol.S=*iiiV(r— i)(i + i + ^+...+pin)t

ou bien vol. S = irmV f i — -^tri )•

Mais à cause de OP ou x=zmf^^\ û vient

vol. S zz: îtmV (i ]•

Enfin , r= ^e donne r=e^ : et puisque n est infini , on ai - = o , puis ?*== e* i= 1 ; d'^où résulte le volume diérché

vol. S = îrm^(i — -V

Lorsque Fabscisse x est infinie , Paire du segment S est aussi infinie (i5o), tandis que le vdlume décrit par ce segment a la valeur finie vtii.

Quelque singulier que paraisse ce résultat, il n^en est pas moins exact ; mais pour mieux concevoir comment il peut se faire que' Fespace ZBCX , qui est infini en étendue et en surface , engeur dre néanmoins un corps dont le volume est fini , prenons sur Pasymptote OX et à partir de C, des longueurs égales respectivement aux termes de la suite infinie m, 3m, 4^, Sm , i6m, ••• et concevons sur ces longueurs , des rectangles extérieurs à Pespace 2iBCX. Ces rectangles engendreront des cylindres dont les hauteurs croîtront en raison double , tandis que les bases décroîtront en raison quadruple ; ainsi ces grlindres décroitront seulement en raison double. Or, le premier ziz mn \ donc la somme de tous ces cylindres est

'""'C* +l + i + é + cïC'> à^infinî)=!2^rm^ ÎI est évident que le solide engendré par Pespace infini ZBCX

est moindre que tous les cylindres extérieurs, cVst-à-dire

moindre que a^rm ; ce solide a par conséquent un volume fini.

(Voyez les Mélanges d^analyse et de géométrie ^ page 664 \ p»

M# de Stainville. Paris, i8i5).

i53. Deux hyperboles sont Semblables ^ lorsqu'elles ont leurs axes

homologues propùrtionneU* Soietit M et N deiix points qneleonques de la première, M' et N' deux points homologues de la seconde, c^est-à-dire deux points dont lés coordonnées rectangulaires soient respectiyement proportionnelles à celles des deux points M et N. En inscrivant à volonté une ligne brisée dans Parc MN , il est facile de voir cpiW pourra toujours inscrire, dans Parc homologue M'N', nne ligne brisée semblable; de sorte que les arcs homologues MN et M'N' sont semblables (loo). Ainsi les deux hyperboles proposées renferment un même nombre d^arcs homologues semblables ; donc elles sont semblables elles-mêmes.

i54- Puisque dans deux hyperboles semblables, les arcs semblables ne sont que des lignes brisée» semblables, composées d^une infinité de droites homologues, infiniment petites, il s^ensuit, i* que les longueurs de ces arcs sont entre elles comme leurs cordes,- et par conséquent comme les premiers axes \ a*^ que les segmeiiB compris par deux arcs semblables et leurs cordes, sont eux-mêmes semblables et proportionnels aux carrés des premiers ou des seconds axes.

i55. Lorsque deux hyperboles semblables ont le même centre et les premiers axes suivant la même droite^ eUes ont les mêmes a^mptotes; et réciproquement. Car .une asymptote de la première et une asyn;q>tote correspondante on homologue de la seconde, font avec Taxe des s et d^un même côté, des angles égaux dirigés dans le même sens ; donc elles coïncident. La réciproque est évidente *, car deux hyperboles qui ont les mêmes asymptotes, ont nécessairement leurs axes proportionnels.

1 56. Voici plusieurs problèmes et théorèmes sur llijrperbole :

I; Trouver les conditions nécessaires pour qu^une droite ne rencontre rhyperbole qu^en un seul point, eu pour qu^elle ne la rencontre pas*

II. Etant donnés, dans Phyperbole, la direction du premier axe, deux points et un foyer, décrire la courbe*

m. Trouver la courbe passant par les points qui divisent chacune des cordes parallèles au premier axe de Phyperbole, en trois parties égales'.

IV* Si par chaque point d^une tangente à un cercle donné, on élève sur cette tangente, une perpendiculaire égale à la partie extérieure de la sécante menée par ce point et par le centre , le lieu des extrémité de ces perpendiculaires sera une hyperbole.

V. Si dW foyer de Phyperbole, on mène une perpendiculaire à une asymptote, les distances du pied de cette perpendiculaire au centre et au foyer proposé, vaudront respectivement le demi-premier axe et lé demisecond*

VI. Tracer l^typerbole, i* dès que Ton connaît un foyer, une asymptote et le premier axe ou le rapport des deux axes ; a® lorsque Ton connaît un foyer et les directions du premier axe et d We asymptote* ( Le» solutions dépendent du théorème Y* )

Vn. Si par un point quelconque de Phyperbok, on mène une paoradU lèle à la droite d qui joint^ les extrémités de deox diamètres coiyugués,

h diffiSrence des carres des dist&nces da poiat proposé à cenx oïl la parallèle ooiipe ces deux diamètres, sera ëgale an çurë de la droite dm

VllI. G>mmeiit tracer les bords d\uie allëe dVn parterre, pour que cette allée paraisse avoir partout b m^me largeur à un œil placé verticalement au-dessus de la droite qui divise en deux parties égales la même ailée, dans le sens de sa longueur f On admet que deux droites pasraissem é^ës, dés qu^elles sont vues sous des adgles égaux.

Ut. Le lieu de tous les centres d^e gravité des triangles de même surface et de même angle au sommet, est une hyperbole, dont les asymptotes sont les deux côt<b du sommet commun aux triangles.

X. Le lieu de tous les milieux des segmeos quUnterceptent deux axe» rectangulaires, sur les droites tîre'es d^un point donné dans le même plan, est une hyperbole équilatére, dont le centre est' au milieu de la droite qui joint le point donné à rprigifle des axes proposés. ( Ces deux axes pourraient être obliques. }

' De la Parabole.

iSy, La parahole est une courbe plane teHe, que les distance» de Pun quelconque de ses points à un point fixe F et à une droite donnée DE, sont égale» entre elles. Le point fixe F est dit k foyer. àe la parabole, la droite donnée DE en est la éUrecirice^ et la distance du foyer à un point de la courbe est le rayon vecteur de cette courbe^

i58. Diaprés cette définîtioa, pour constiuire la pâfrabole, le loyer F et la directriee D£ étant donnés^ on prend une équerre ABC (fig. 21)^ on attache en C et en Fies extrémités d'no fil ^ dont la longueur est égale au côté AC de Pangte droit de l'équerre \ on applique Fautre côté AB contre la directrice , qui sera^ si Pou veut, une règle tenue immobile ; puis on lait glisser Péqiierre suivant, la directrice, ayant som de tenir le fil toujours tendu au moyen d'^un crayon ou stylé qui s^appuie cons,tanunent sur le côté'AC La trace de ce style sera la parabole demandée.

f^fectivenent, à cause de la Ugae GmF=GA, on ama tou< jours fFtr z:z ntÊL. •

Le côté AC de Féquerre étant parvenu sur la perpendiculaire FG, menée du foyer à la directrice, donnera le point O où celle perpendiculaire est coupée par la courbe. Ce point O est appelé le sommet de la parrabole et la pçi;pendiculaire OFX, à la directrice , est; VasMt de la courbe.*

Renversant Péquerre autour deP«te GX' et Gonânuaiu le niioii-

. i&ti.

vement suivant la directrice, on décrira la seconde portion OV de la parabole , égale à la première OV .

Par ce procédé on obtient une portion VOV de la courbe, et cette portion est d^autant plus grande, que le cÀté ÂC de i^équerre est plus grand lui-même.

iSg. On peut aussi décrire la parabole par points. Soit toujours F le fojer et DE la directrice. Menons FG perpendiculaire à DE, et prenons le milieu O de la distance FG du foyer à la directrice; ce milieu O sera évidemment le sommet de la parabole . Pour avoir d^autrés points , prenons sur la perpendiculaire GFX , et à partir du point G , une distance quelconque GP, plus grande que GO ; puis du foyer F comme centre et du rayon GP, décrivons un arc ; cet arc coupera la perpendiculaire tirée de P sur GP, afux deux points M et M', qui seront à la parabole cherchée.

Menant en effet, MQ perpendiculaire à la directrice, on aura MQ = GP = FM ; le point M est donc à égales distances du foyer F et de la directrice \ il r appartient conséquemment à la parabole. Il en est de même du point M'. On voit que par cette construction , on trouvera autant de points qu^on voudra, de la courbe à décrire ^ et ces points seront deux à deux de part et d^autre et à égales distances de Taxe OX.

160. Cherchons actuellement Téquation de la parabole. Désignons^par p la distance FG du foyer F à la directrice DE, puis plaçons Torigine des coordonnées rectangulaires au milieu O de ^ cette distance et dirigeons Taxe des x suivant FG. Soit M un point quelconque de la courbe , a; et j* les coordonnées OP et OM de ce point, et r le rayon vecteur FM = MQ =î:^GP : il est clair qu'on aura d'abord r = a: + ii'*

Ensuite , le triangle rectangle PMP donne

Substituant la valeur précédente de r, développant et réduisant, il viendra yi --. ^^^^^

Telle est Téquation de la parabole rapportée à ses axeg principaux OX et OY, bien que le premier OX soit seul un axe de la courbe : aussi le nomme«t-on premier axe ou simplement Vaxe de la parabole. Le coefficient 2p est le paramètre : c'est la dou<

ble distance du foyer à la directrice, ou encore la double ordonnée qui passe par le foyer.