L'équation précédente donne

j^ = =±= [/^px.

Ces deux valeurs étant égales et de signes contraires, on voit que h prvmter axe de la parabole éUvise en deux parties égales, toutes les cordes de cette courbe qui sont perpendiculaires au même axe.

Posant xz=o^ pour avoir les points où la courbe coupe Taxe des ordonnées, on aura j'=±==±:o ; les deux points d'intersection . se réunissent donc à Porigine O. Ainsi le second axe de la parabole lui est tangent au sonunet \ et la courbe ne s'étend pas à la gauche de cet axe, comme on le voit d'ailleurs, puisque x négatif donne ^ imaginaire. Et comme x positif donne kj- des valeurs réelles , d'autant plus grandes que x est plus grand luimême, il s'ensuit que la parabole s'étend indéfiniment à la droite de son second axe , symétriquement au-dessus et au-dessous du premier.

162. Remarquons d'aillettrs que dans la parabole ^*=: ipx^ le paramètre 2p peut varier depuis zéro jusqu'à l'infini. Lorsque ce paramètre est nul , ce qui donne / =^ o , qnefque soit jt, la parabole se réduit à son axe. A mesure que le paramètre augmente, la parabole devient de plus en plus ouverte, s'approche de plus en plus de la tangente menée par le sommet, pour la^ quelle ^"= o, et se confond avec cette tangente, lorsque le paramètre ^p devient infini ; car alors , quel que soit ^, on a

toujours a: = î^ = o«

i63. Nous venons de voir que la parabole a pour équation jr* = apar. Réciproquement ,, les coordonnées étant rectangulaires, Umte équation qui peut se ramener à la forme y* = apx , représente une parabole, ayant le sommet à f origine et Vaxe dirigé suivant celui des abscisses (fig. 21).

Prenons en effet, sur l'axe des x et de part et d'autre de l'origine O, les distances OF == OG = 5^, et par le point G, menons DE perpendiculaire k GF^ si M ou (or, j^) est un point de la courbe, on aura évidemment

FM^^j^^ + ix—ipy^npx + x'—px + ip'', d'où FM = a? + Ip. Mais il est visible que la perpendiculaire

«. -d^B^^h-AMa^.

MQ=PG=a: + ^/>; donc MF=MQ. Aînsî la courbe représentée par Féquation y^ = ifx^ et con8é(|aeinment par Péqaa« tion proposée, est telle, que les distances de chacun de ses points à un point fixe F et à une droite donnée DE , sont égales entre elles ; donc cette courbe est une parabole (157), dont F est le fojer, DE la directrice, O le sommet et if le paramètre.

D!aprës cela , si on a Téquation ij^ -^ 3^ -— 8x + 9.== o , et quW passe du système de coordonnées à un autre parallèle, en posant a? = A + a/etj- = A5 +.7^i ^° verra quVn prenant Aâ=§etA( = — |, Féquation proposée se réduit à j^* = 4^^^ cette équation représente donc une parabole, facile à construire.

164* Si Ton coupe la ourfaee convexe Sun cane dhoit parun plan paralUh à une génératrice GH et perpendiculaire au plan conduit euivant cette génératrice et PaseCY du cène, la section résultante sera une parabole ( fig* 22 )•

Soit M un point quelconque de Fintersecdon FNMT. Prenons le point N pour origine et NK pour axe des x. Soient x et^ les coordonnées rectangulaires NP et PM du point M. Puisque PM est aussi perpendiculaire au plan HGI ; en conduisant par la droite MP, un plan perpendiculaire à Taxe GV, ce plan coupera le cône suiyant un cerdè, ajai^t son intersection DS avec HGI pour diamètre. Ôr, M est un point de la circonférence de ce cercle et MP une perpendiculaire au diamètre DS ; donc^' = DP >< PS. Les triangles semblables KNI et PNS donnant KN : r : : Kl : PS , et ayant d^ailleurs PD = HK, il vient

fteprésentant le Coefficient de x par 2^, p sefa donné, et oïl aura, pour tous les points de la courbe indéfinie FNMT, ^=± ipx\ donc cette courbe est une parabole (i63), dont fï est le sommet, NK. Taxe et 2p le paramètre. '

i65. On peut considérer la-parabole comme une ellipse dont le grand axe est infini. Prenons en effet, une ellipse dont OI soit le demi-grand axe A (fig. 21), Porigine des coordonnées rectangulaires étant au sommet O et les x positifs étant comptés suivant OX) Féquation de cette courbé sera

ynz-j^iikkx^x^).

La distance du centre I de cette ellipse au foyer F est IF sa

J/a' — B ; en la retranchant da demi- grand axe A, il restera la distance OF du sommet au foyer le plus proche. Regardons cette distance comme une constante représentée par \f \ nous

aurons .^y^ j/pirË^; d'où -^-kf-)^-.

Substituant cette valeur de B* dans Péquation précédente de Pellipse, elle devient, réductions faites,

Si dans cette équation , on donne successivement à A difTérentes valeurs , f restant toujours le même*, on aura une suite d^ellipses dont les grands axes seront différens , mais qui auront toutes le même foyer F et la méîne distance de ce foyer au sommet de la courbe. Enfin , si l^abscisse x conservant une valeur finie , on suppose A infiniment grand , les termes divisés par A et A' seront infiniment petits et devront être regardés comme nuls \ il viendra donc alors

équation d^une parabole. On passe donc de Pellipse à la parabole, en supposant le grand axe infini. Ce qui peut conduire aux propriétés de là parabole , à Paide de celles de Pellipse.

166. Il est bien facile de s^assurer que, suivant que le point {x^y) est sur la parabole^ au-dehors ou au-dedans, le binôme jr« 2j7ar est nul, positif ou négatif; et réciproquement.

167. Pour trouver Péquation d^une tangente à la parabole, il faut regarder cette droite comme une sécante , dont les points d^intersectiôn (a^, ^') et (x", j^") avec la courbe se réunissent en un seul. Il est clair que Péquation de cette sécante est

. jr— y = a(a? — a:") et a=:^=:^|.

Les deux points (x', y^ et (or", ^') étant sur la parabole, on a

y» = ajij;' et 7-"» z= 1^3^^ 5 d'où a = -^-^^ .

Pour la tangente, les deux points d'intersection (x',^') et (j:", j^')

coïncident et donnent y^'=zy^\ a;' = x" et « = ■—• Par cette

valeur de a on voit qu'au sommet la tangente coïncide avec le second axe \ mais qu'elle ne peut devenir parallèle au prei^er

qne quand y^ est infini. Substituant la valeur a=: •—, on aura, pour Péquatiôn de la tangente à la parabole, jau point {xf\ y)^

V— y = 4,(^ — ar")î à'où jry=:p(^x + x'^)...(i)

Retranchant le double de cette équation de^"*=2/>a;", puis ajoutant de part et d^autre jr*^ on trouvera

Celte équation représente toujours la droite exprimée par Péquatiôn (i). Or pour tout point (x^ y) situé sur la même droite, le binôme^* — :ipx est positif; tous les points de la droite (i) sont donc hors de la parabole, à Pexception du point (:i;", ^'), qui est sur la courbe ; cette droite ( i ) est donc efifectivemeat tangente à la parabole au point ( a:", y^ ).