La valeur à =z~, qui détermine la direction de la tan

gente, étant unique, il s^ensuit que par un point (x^\ y) donné sur la parabo|e, on ne peut mener qu^une seule tangente à cette courbe.

C'est pe qu'on vérifie d'ailleurs en cherchant le point de contact (j:", y) d'une tangente à Ih parabole, menée par un point donné (j?", j*")- I^ans ce cas, les équations de la parabole et de la tangente donnent

^" = ^px^' et yy =: 1? ( x' -f- 0^' ).

Eliminant y de ces équations , l'équation finale fournit

Suivant donc que le point (a:', y^ sera hors de la parabole^ sur cette courbe ou dans son intérieur , les deux valeurs de x^' seront réelles et. inégales , réelles et égales ou imaginaires , et il y aura deux tangentes, une seule ou aucune.

Nous venons de résoudre analjtiquemént le problème de mener une tangente à la parabole : nous verrons bientôt les moyens de construire ce problème.

169. Pour avoir le point ou la tangente rencontre l'axe de$ a;, il faut faire j* = o dans l'équation jy' =;i jp ( a: -f- jt" ) ; ce qui donnera xt=z — x". Ce point T sera donc toujours situé du côté des abscisses négatives, à la distance OT =; OP du sommet O (fig. 23). Par conséquent la soutangente PT ==: 2OP == 20?''^

( 86 ) c^est^ànlire que dam la parabole, tb soutangenie e$i doublent Vahiciiêo 4u point de iangenee. Ceci fournit un moyen très-simple de mener une tangente à cette courbe, quand on connaît le point de contact M, ou seulement son abscisse OP.

170. Nous venons de voir que 0T= OP; mais OF= OG (i6o)î donc TF=PG=MH=MF ; le triangle TFM est donc isocèle et donne Papgle FMT=:FTM=TMH=:SMF'. Ainsi, dan$ laparabçloj les âroiteg menées du point de tangence au/byer et parallèlement à taxe, font avec la tangente des angles égaux; propriété qui devait naturellement résulter de ce que la parabole est une ellipse dont le grand axe est infini , et dont les foyers sont par conséquent infiniment éloignés Pun de Tautre.

171. De là résulte up moyen très-simple de mener une tangente à la parabole par un point extérieur K (fig. a3). De ce point comme centre et d^un rayon égal à RF, soit décrit un arc coupant la directrice aux points H et H' ; soient menées de ces points deux parallèles à Pai^e ; ces parallèles couperont la parabole en M et M', qui seront les points de tangence, et KM, EJVf les tangeptes^emandées.

En effet, par construction KF=:KH; mais d^ailleurs MF=? MH : donc les deui^ triangles KFM et ^MH sont égaux. Par conséquent, l^angle TMF = TMH ==; SMF'; ce qui ej;ige que KM soit tangente au point M (170.). On verra de même que KM' est tangente en M'.

Si le point de tangence devait être très-éloigné et quVn eût besoin seulement de la direction de la tangente, il serait plus commode de mener KS perpendiculaire à FH; KS serait la tangente demandée. ^

Si la tangente devait élre parallèle à une droite donnée , on ferait, au foyer F, Pangle NFM double de Pangle que cette droite forme avec Taxe \ et le point M serait le point de contact; de la tangente cherchée.

1 7^. Il est clair que la normale MN divise en deux parties égales Pangle FWF' formé par les droites menées du peint de tangence au foyer et parallèlement à Taxe.

On trouve bien facilement que Péquation de cette normale est

Si on y prend y nul , on aura , pour la sounormale PN, x •^— x"

=|i; de sorte qae dam la parabole, la sounormaU êst canitante et égale à la moitié du paramètre. Ce qui donne le moyen de mener nne normale, et par suite une tangente, à la parabole, par un point donné sur cette courbe.

173. La tangente T]\( est perpendiculaire au milieu I de FH (171). Mais le sommet O étant au milieu de FG, la droite OI est parallèle à GH, et coïncide avec Taxe des jr. D''où il suit que , dans la parabole j les pieds des perpendiculaires menées du -foyer à toutes les tangentes à cette courbe, appartiennent au second axe principal. Ce qui vient de ce que la parabole est une ellipse dont le centre est à une distance infinie du sommet O ; en sorte que la circonférence décrite de ce centre et d^nn rajon égal à cette distance, coïncide avec Taxe des^ (7 3)*

174* Voici quelques tbéorèmes à démontrer :

I. Si des eztrémitës dWe corde- passant par le fbyer de la parabole, on mène deux tangentes à cette courbe , elles se couperont à angle droit sur la directrice,^

n. Le foy.er est lé sev^ point- du plan de la. parabole, dont la distance à un point quelconque de la courbe, soit une fbnctioQ rationnelle de Tabscisse de ce point.

ni. Si d?uii point du second axe de la parabole, on n^éne une droite au foyer et ime tangente, à la courbe , ces deux droites seront perpendiculaires entre elles.

IV. La plus courte droite menëe de Ia parabole à un point donné sur Taxe, est- ta normale qui passe par ce points

V. Dans h parabole, les carrés des distances dû point d^intersection de deux tangentes à le«rs points de contact, sont entre eux comme les rayons vecteurs menés à, ces deux points, et le produit de.ce$ distances vaut le carré de la droite qui joint Iç foyer au point d^intersectioii dont il s^agit.

175. Daqs la^ parabole, on -appelle diamhtro^ la droite, qui passe par les milieux d^un système de cordes parallèles. Soit j-=ax-\- ôTéquation de l'une quelconque ^e ces cordes. Pour les extrémités de cette corde , son équation et celle de la parabole ^*'=: o^or, admettent les mêmes Valeurs pour x et l^s mêmes yaleurs pour ^. Eliminant x entre ces équations, on aum pour déterminer j<*, ^p 33p

Les racines de cette équation, sont les ordonnées. des extrémités de la corde, et !• ordonnée y du milieu de cette cordt est

égale à la demkommç des mêmes racines, c^est-à-dire à -• Cette

valeur est la même pour le milieu de toute autre corde parallèle à la première , puisqu^alors p ei a restent les mêmes \ donc la droite qui passe par les milieux de toutes les cordes proposées est parallèle à Taxe des xj^ c^est>à-dire que tous les diamètret de la parabole iont paralïèUi à son axe. Ce qui vient d^ailleurs de ce que le centre de cette courbe est situé sur Taxe , à une distance infinie.

176* £t comme en faisant varier a, Fordonnée j^'=-, qui

est aussi celle de l^origine flu diamètre , peut avoir telle valeur on voudra, il s^ensuit que par chaque point de la parabole, en peut mener un diamètre.

Réciproquement , toute parallèle à Vaxe de la parabole est un diantktre. Car elle coïncide avec le diamètre mené par le même point.