TO
formules dans lesquelles wi' = i -f- a', wi" = i + a" et (A, k) la nouvelle origine.
Substituant ces valeurs de a; et de ^ dans l'équation^'— ^px z=: o , qui est celle de la parabole rapportée à ses axes principaux ; chassant les dénominateurs et oidonnant , il viendra
a'^m^y*-^ 7.mm'^px' -f- *xnérn^ ( olk — ^ )^ -|c^ni^xf^ + ladmvfix^y -|- «iW* (A' — *iph ) z= o.
Si Ton observe que les quantités m et wS ne peuvent jama»
■■■»-^=afc- - -• ^ -^
devenjr liuU^, on verra que, pour que réqualion précédente soit de même forme que celle qui est relative aux axes, il faut qu'ion ait
a =: o , m = 1 , dk — 1> 3: o , ** — *ifh =:: 6 5
et alors Féquation de la parabole se réduit à
a'y — 2m'*px'=3 0...(i)
La condition /e'< — aphzz^o ou A* = 2pÂ, fait voir que les coordonnées k eth satisfont à Féquation j'^ = ipx de la parabole , et qu^ainst la nouvelle origine est un point de la courbe.
La relation a'k=p^ donnant a'= fi montre que le nouvel axe
des ordonnées touche la parabole à la nouvelle' origine (167). Enfin la condition a = o , nous apprend que le nouvel axe des abscisses est parallèle à Taxe de la parabole \ il est donc un diamètre de celte courbe (176).
Substituant les valeurs précédentes de m!^ et a'^ dans Péquation (1), on trouvera^'* = a (j? -J- iïh)x'. Supprimant les accens des variables j^ et x'^ en se rappelant toutefois qu^elles se comptent sur des axes obliques \ posant d^aiileurs p^zz-p-^-^h^ on aura , pour Tcquation dé la pai*abole , rapportée à ses axes conjugués , y^ ^^^^
Comme dans cette équation Taxe des x est un diamëàre, puisqu'il divise en deux parties égales toutes les cordes parallèles à son conjugué ; la parabole est dite rapportée à son diamktre. Le coefficient 2p' est le paramhtre^ relatif à ce diamètre. De plus, les coordonnées de la nouvelle origine pouvant avoir telles valeurs qu^on voudra, il s'ensuit que la parabole admet une irrité de s^thnes éPoaes conjugués,
179. Soit r le rajon vecteur mené à la nouvelle origine ( A, k)'^ on a vu (178) que r = 5^ + A. Msisp^ =:p + 2A; donc 2/>' z= 4^. Donc dans la parabole, le paramètre &un diamètre quelconque est quadruple de la distance du foyer à V origine de ce diamètre. Cette propriété subsiste également^ pour Taxe.
180. Remarquons maintenant que V angle des coordonnées étant désigné par (f, toUte équation qui peut se ramener à la forme
. y* = 2p'x, représente une parabole. Soit en effet jr^ zzi ipx une parabole , rapportée à son axe , dans laquelle le paramètre 3p et Tun de ses points (/t, k) soient tels, qu'on ait p ^ 2h znp^
et que la tangente à ce point fasse avec Taxe des x on angle égal à ^ ; il est clair que si Ton désigne tang è par a\ on aura à la fois
¥z=:2ph^ t/hzzip et jp + ^^^y» •" (*) ce qui donne , en posant i -|- V* = W,
Ces valeurs âant nécessairement féelles, il en sera de même de la parabole y^ =: apx.
Gela posé, transformons les coordonnées de cette parabok, de manière que la nouvelle origine étant ( %, ft). Taxe des ordonnées soit la tangente en ce point, Tangle des coordonnées étant égal à Pangle donné 4 , et par conséquent le nouvel axe des X étant parallèle à Pancien. Dans ce cas , puisque les nouveaux axes des x et des y font avec Fancien axe des abscisses , les angles o et I, il est clair qu^on aura a = tang o =i o , 'nC'ziri 1 4" «' = 1 ou m = I , a' r= tang é, m'* = i + a'*, et que par suite, les formules (4^) pour passer d^un. système de coordonnées rectangulaires à un autre, d^rigine différente, deviendront
ar = A + a:' + ^ et j- = A4^^*
Substituant ces valeurs dans j^* = 2/^07, réduisant diaprés les équations (2) ou (3), il viendra , pour Péquation de la parabole, rapportée aux nouveaux axes, ^* = î/^jt'. Or, celle équation coïncide avec la proposée jr* = ^p'o;, car le coefiBcient a/?* est le même , ainsi que Pangle é des coordonnées. Donc Péquadôn j*' = 'i'jfix représente une parabole \ et il en est de même de toute équation réductible à celle formé , par la transformation des coordonnées , telle , par exemple , que y^ J^ Mj^ -^ IS^x -f- P :^ o , qui en y posant
yz=,y* — 5M et x-^-sf •\ r^r^i devient y*=, — Nx^.
181 . Les valeurs (3) fournissent le moyen de décrire la parabole j*^ = i^x\ car menant par Porigine la perpendiculaire k sur Paxe des x et par Pextrémité de h une parallèle à\ cet axe, pui^ prenant sur i un point à la distance i de Pextrémité dont il s^agit, ce pmnt sera le sommet et à Paxe de la parabole cherchée ; on tracera, donc facilement cette parabole , puisque son paramètre 2/» est d^aîUeurs connu.
i8i. Lt'^^qaation jr*^=z2ffx Je la parabole^ rapportée à ses axes conjugués, étant de même forme que par rapport à ses axes principaux I, les propriétés indépendantes de l^inclînaison des coordonnées seront communes à Tun et à Pautre système. Ainsi,
1* £^$ carrée des ordannieg au dtatnhtre, sont entre eux comme leg ahscteteê eorrespondanteê. Connaissant donc le paramètre d^un diamètre et Pangle des axes conjugués; il est bien facile de tracer la parabole , en décrivant d^abord une parabole sur ce diamètre, pris pour axe, avec le paramètre donnç, puis en inclinant sous Pangle donné, les ordonnées de cette courbe, sans changer leurs longueurs.
2"* Suivant que le point (x, j-) est sur la parabole, au-dehors ou au-dedans, le binôme^':— ^p'^ ^t nul, positif ou négatif; et réciproquement.
y Lai tangente j^=aj: 4* ^1 *" point (:p", jr")^ a pour équaLtion j^'i^y(j:4-a;'0t 1* valeur de a, qui détermina la direction dé cette tangente, étant a = -^,- On trouve aussi que Téquation de la tangente ^^ ax -^ h^se réduit à nab z:z]f,
4* La soutangente est encore a;r"« c^est~à--dire double de Tabscisse du point de contact. Ce qui fournît un moyen bien simple de, mener un^ tangente à la pardiole, rapportée à son diamètre, par un point (^', jk'^) donné siir cette courbe*
}83. On sçpelle segment parabolique^ la surface comprime entre un arc de parabole et sa corde. Cherchons Faire du segment ABp ( fig. a4 ).*. Pour y parvepîr , circonscrivons-lui lef parallélogramme AI3B.V et par le point de contact B , menons le diamètre BX. Il est. clair que BX et BV sont deux axes conjugués de la parabole ( 1 78 ) et qu'ainsi C est le milieu de AD.
Divisons Parc AOB en une infinité d^lémens infiniment petits, tels que OM, et par chaque point de division, menons une ordonnée aui diamètre BX ; nous partagerons la surface BCAO en une infinité de trapèzes mîxtilignes, tels que MOQN. Puisque Parc MO est infiniment petit, on peut le considérer comme une droite; et si on mène BH parallèle à cette droite, le triangfe BOM sera évidemment la moitié da parallélogramme OMKic. . Soit t le milieu de CM; soient menées Pordonnée IP et la tapgentelT h H esl; visible qu'on aura BT :;;= BP :;?: ^TP : do»c , à cause de la similitude des triangles TB£ et TPI , on aura ausai
BE ou IF=:>IP. Le parallélogramme OMKtf est donc la moitié du trapèze MOQN; par conséquent, le triangle BOM est le quart du trapèze MOQN.
Ainsi chaque triangle élémentaire , du segment B AO , est le quart du Urapèze correspondant, dans la surface BGAO ; donc le segment BAO est lui-même le quart de BCAO. Mais le triangle BCA étant la moitié du parallélogramme *Cy , il est visible que BCAO = JCV + ^B^AO ; d'où Ton tire
BCAO = |CV.
On démontrerait de même que BG3M'=: |GR ; donc le segment ABD =:.|ÂDRy ; c'est-à-dire que Vaire de tout segment parabolique est les deux tiers du parallélogramme circonscrit.
On voit en outre que le segment BAO est le 6"** de BGAY.
184* Dans deux paraboles, rapportées à leurs axes, on appelle potnu homologues deux points de ces CQurbes, dont les abscisses, et par conséquent les ordonnées, sont entre elles comme les paramétres. Les droites homologues sont terminées à des points homologues chacun à chacun ; et il en est de même des arcs homologues,
i85. Toutes les paraboles sont des courbes semblables. Soient MN et M'N' deux arrcs homologues de deux paraboles quelconques : en inscrivant à Tolonté une ligne brisée dans le premier MN , il est facile de démontrer qu^on pourra tobjours inscrire, dans le second M^IS', une ligne brisée semblable ; de sorte que les arcs homologues MN et M^' sont semblables (100). Les deux paraboles proposées renferment donc un même nombre d^arcs homologues semblables ; elles sont par conséquent semblables elles-mêmes,
186. Puisque les arcs homologues de deux paraboles, ne sont que des lignes brisées semblables, composées d^une infinité de droites homologues, infiniment petites, et que par conséquent les segmens terminé ^r ces arcs et leurs cordes, sont eux-mêmes semblables et homologues; il en ràulte que dans deux paraboles quelconques, i** les arcs ou les droites homologues, sont comme les paramétres; 3° les segmens homologues sont comme les carrés des mêmes paramétres.
