Voici quelques théorèmes et problèmes sur la parabole

I. Dans deux paraboles ayant le même sommet et le même axe, les tangentes en deux points homologues sont parallèles.

II. Si Ton divise en trois parties égales chacune des cordeift perpendiculaires à Taxe de la parabole, les points de division seront sur une parabole, de mên^e axe et de même sommet que la première , divisant ,en trois parties équivalentes, tout segment de cette première terminé par Tune -des cordée proposées.

m. Les milieux des ordonna de la parabole sont à une autre parabole, ayant même axe et même sommet que la premi<ire, et divisant en deux portions équivalentes, tout scgm^ent de cette première, terminé par Tare , Tabscisse et Pordonnée. v

rV. Trouver les conditions nécessaires pour qu^une droite coupe la, parabole en un seul point*

V. Une parabole étant tracée, détehniner, i** son axe; 7? un système d'^ax.es conjugués, faisant entre eux un angle donné ; 3® enfin, le para* mètre à Taxe ou à un diamètre quelconque donné.

VI. Si âî^vaa. point pris sur Taxe de la parabole, on mène deux rayons à la courbe , on formera un secteur que Ton demande de partager en deux parties proportionnelles à deux nombres doni^és, par une droite tirée du point proposé. (Cette droite rencontre la parabole au point où passe une hyperboje équilatère, dont une asymptote est dirigée suivant Taxe de la paralxde propràée. )

De l'équation commune aux sections coniques et de quelques propriétés résultantes.

188. Les équations de Pellipâe et de Phjperbole, rapportées aux centres et aux diamètres conjugués 2Â. et 2B (qui pourraient être les axes) , sont

Ay + Vx* = A'B' et Ay — B V = — A'B\

Si on transporte Taxe des ordonnées parallèlement à Im-méme, de manière que Porigine soit à Textrémité ( — A , o) du diamètre ^ 2A, suivant lequel est dirigé Taxe des x ; il est clair que le nouvel axe desj^ sera tangent à la courbe (89 et i3i), que de plus Tordonnéej^ restera toujours la même, mais que Pabscisse x deviendra X — A^ on aura donc alors, pour les équations des deux

courbes ,

, aB» B» , ^ , aB* , B« ,

y-^a:--^x^etjr=--x+j-x\

Ces deux équations et celle jr^zn npx de la parabole, mon^ tient que Taxe des x étant un diamètre et Taxe des^ tangent à Porigine, Péquation de toute section conique est de la forme

y =z 2px -J- qx\

équation dans laquelle on a, pour la parabole, ^ = ; pour Tel- B» B* B* B'

lipse, l'=x«* î=""ïîî P^^^ l'hyperbole, P^—-^ et î= j;-