Réciproquement, toute équation de la forme y^:=:^px

4-qx% représêni0 une ieûliàn ûohi^Ue, dont Taxé des x e$tvn diamhtre,

D^abord ta courbe eet une parabole, «» q = o ; car alors son équation devient j-* z= 2jpx ( 180 ). X>a courbe est une ellipse,

lorsque p est potUifet q négatif; car en prenant pr= -r-, ^= -^

— et ar = A -j- -a^^i rëqûatîoii proposée prend la forme A'/* +

B'x'*^: A'B'., et représente une ellipse rapportée à ses diamètres

conjugués 3 A et aB (87). Enfin, la courbe cet une hyperbek,

« p est négatif et q positif; car en faisant |? = — , ^=: — e(

x = A + x',^ l'équation proposée devient A^ -*- B'jp" = — A'B' ; elle représente conséquemroent une hyperbole , rapportée à ses diamètres conjugués 2A et 2B (i35).

Il est clair, dans chacun de ces cas , que si Pangle des coordonnées est droit, la courbe sera rapportée à ses axes priocipaaï.

190. Il est fadle de démontrer que le -trinôme^* — ^px — qx^ est nul,, positif ou négatif, suivant que le point {x^y^ est sur la courbe , au- dehors ou au--dedans ; et réciproquement.

191. Soient (a/, y) et (j^',^") les points où une sécante/ '=.ax-\'b rencontre la section conique y* = apo: + qx^ \ on aura à la fois

y* = ipaf 4- qxf, ... (1)

y"=:2j»x" + îx"% ... (a)

j— y'=«(x-x") et a=^; - (3).

Retranchant (a) de (1) et aysmt égard à (3) , il viendra

Si Ton suppose que les deux points d'intersection (x^)^) et (x'\y) se réunissent en un seul , la sécante^— j^'i:^» (a:— à/' ) sera alors tangente à la seaion conique au point (^x'^ y') : et comme dans ce casj-^::::^ et x'z=zx^^ il viendra

207^' =: ap -f- 2qx"y ou a =^^ — ^ — '

Avec cette valeur, l'équation de la tangente au point (y, j^' ) , se réduit à

jrjr" =p(jc + x'^ + qxx" ... (4)

Prenant dans cette équation , la valeur de 7*1 pour la sfibsti-

:^^Mik«*l' J^r

tuer dans le txinome jr^--^^px — qx* , puis réduisant «an même dénominateur et ayant égard à inéquation (2), on trouvera

y — 2px — qx* = — (a; — x^' )*.

Ainsi pour tout point de la droite (4)i le trinôme^* — :kpx — qx^ est positif; tous les points de cette droite sont donc hors de la courbe proposée, à Pexception du point (2/',^"). De sorte que la droite (4) n'a que le seul point (a:", y) de commun avecla section conique ; elle lui est par conséquent tangente en ce point. £t elle est la seule ; car la valeur de a , qui détermine sa direction est unique.

192. 2>« cardâê qui joignent les pointé de contact de chaque couple de tangentes menées à une' êection conique j par les points d'une droite quelconque ^ se coupent toutee en un même point, situé sur le confugué du diamètre parallèle à cette droite.

Soit y == ^px -f- qx* la section conique , dans laquelle on suppose Taxe des j^ parallèle à la droite proposée (D), ce qui est toujours possible \ Téquation de cette droite sera donc xz=n^ n étant la distance de Porigine au point où la droite coupe Taxe des X. Soit (n, m) un point quelconque de la droite (D) , (:r', y) ei(^a:^\y') les contacts des deux tangentes menées par ce. point à la section conique ; les équations de ces tangentes sont donc fny=p(^n+x') + qnx',

myszp(n'^x")'\'qnx".

L^équation de la corde qui joint les deux contacts , est

yf yll

Substituant dans cette équation, la valeur de ,__ ^p tirée des

deux précédentes ^ on trouvera , réductions faites ,

. mjr::izp(n-\-x)'-]-qnx.

Pour avoir le point P où la corde de contact rencontre Taxe ^cs X , il suffit de poser j^ = o , dans son équation : il viendra alors , pour Tabscisse de Pintersection P ,

— pn

p+qn

Gomme /?, q^ n sont donnés invariables, et que la valeur précédente de X ne dépend pas de Fordonnée m du point de la

droite ( D) , d^où Ton a mené les deux tangentes, il s^ensuit que ppur les deux tangentes tirées d^un autre point de (D ) , la corde de contact passera par le même point P que la précédente. Donc puisque P est situé sur le conjugué du diamètre parallèle à (J)), ii en résulte le théorème énoncé d^abord.

L^inverse de ce théorème est également vraie.

Le point P est dit le pâle de la droite (D ) , et celle-d est la polaire du point P. Diaprés la valeur précédente de a;, il est facile de trouver le pôle « lorsque la polaire est donnée \ et réciproquement.

193. Si les côté» Sun angle droit mohile sent continuellement tangens à une section conique , le sommet décrira une circonfi' renée de même centre que la courbe proposée.

Soit (ar'i^) le sommet de Tangle droit proposé; Téqualion de Tun de ses côté^ sera de la forme j* — j^z=a(j; — x^y Ce côté devant être langent à la section conique j-^ = ipx -}- qx\ si Ton désigne par {^/^y) le point de contact, on aura à la fois y— y = a(a:"— a/),

Éliminant j^" et résolvant Péqualion finale, par rapport à x"^ les deux valeurs résultantes seront les abscisses des deux points oii la droite j^' — j^ = a (ar" — a/) peut couper la section co- | nique proposée ; mais puisque cette droite est tangente, les deux points d^intersection coïncident en un seul \ les deux valeurs de Tabscisse x" sont donc égales ; la quantité sous le radical est codséquemment nulle ; ce qui donne

® Tr~t ï~^ I — ïT~î F — ^ ••• l'y*

qxf^'\-^pxf • qx'^^npxf ^ ' .

Chacun des côtés de Pangle droit proposé conduira évidemment à cette équation ; les deux valeurs a' et a" de a, dans cette même équation , appartiennent donc , Tune à «n côté de Pangle droit et Tautre au second côté : et puisque ces deux côtés sont perpendiculaires Tun à Pautre , il est clair qu^en supposant les coordonnées rectangulaires, on aaraa'a"rf- 1 = 0(18), ou aV 3= — 1 . De plus , le produit a' a" des racines de Péquation (1) étant égal au terme indépendant de a, il vient, en chassant le dénominateur ,

qy* + ça/* = ^ :ipx^ — jp' ... (»)

Cette équation entre les coordonnées x', y^ du sommet dé Tangle droit mobile , représente évidemment nne circonférence (3 1 ) , de même centre que Pellipse ou Phyperbole proposée , et dont le rayon est l/( A*+B'), pour Fellipse^ et |/(A'— B*)^ pour Phyperbole, i A et iB désignant les axes de ces deux cour^ bes. Quant à la parabole^ où g = o, le lieu géométrique du sommet de Tangle droit , se réduit k xf-^ — |p et représente la directrice de la courbe. Cette directrice peut être considérée comme une circonférence^ dont le centre, situé à Finfini, coïn-^ cîde avec celui de la parabole.

194. Trcwoér une eowhê telle, que les êUtùneee de chacun dé see pointe à un f oint fixe ¥ et à une drinte donnée D£<, aient le rapport connu m.

Soit placé Taxé des x suivant la perpendiculaire FH, menées de F sur DE 4 et Torigine des coordonnées rectangulaires aii poîpt O, divisant FH en deux parties FO et OH dont m soit le rapport FO l OH; on verra, qu^en désignant FO par d^ réqnation de la courbe cherchée sera

Suivant donc que le rapport m sera plus petit que Punité, plus grand ou égal , la Courbe sera une ellipse , une hyperbole Ou une parabole (189). Or, dans la parabole, où «»= 1, ^d est le paramètre ; donc F est lë foyer et JDE la directrice. Il est clair d^ailleûrs que O est le sommet, dans chacune des trois courbes; et ni 2A désigne le preliiier axe, aB le second et à Pexcentricitéi il est facile de voir qu^ôii aura, i* pour Pellipse, où iit ^ 1 ,

jj^ss; — «. Bi=:-î— K I— ^i»% csn-^ — zzzmlL et dirzA.^-^cx 2* pour l'hyperbole , où wi > 1 ^

d ^ d iy ■ or»

±=— -, B:±:— l/iu* — i, c±r zzzmk et d~c — A.

Et puisque d est la distance du sommet Ô au point F, on voit} que dans les deiix demières^courbes, comme dans la première, le point fixe F est un foyer.

195. La droite DE étant la dhredrice de là parabole précé^ dente, sera aussi appelée, par analogie, la directrice Ats deux autres courbes. Ainsi la directrice d'une section conique est une perpendiculaire au premier axe principal teUe, que les ^tancesr

da fojrcr et de cette perpendieulaire à un point quelconque de la courbe ) sont dans un rapport constant (celui de Tégalité, pour la parabole, et celui de rexcentricité au demi-premier axe, pour FeUipse et Phjperbole ). Il est clair en putre que Thyperbole et Tellipse ont chacune deux directrices.

196. Xa âroU» FR qui joint le foyer "F éPune oeeHan conique mu point R eu une eéeante MN rencontre la directrice voisine BE, itpiie en detue parties égaUe le supplément do ïaiàgU MFN compris par les rayons vecteurs j menés aus points ^intersection de la sécante avec la courbe ( fig. 25).

Menons en effet , NI parallèle à MF et MP, NQ , perpendiculaires à la directrice DE. Les triangles RMP et RNQ étant semblables, aussi bien que RMF et RNI, on aura deux propor* tions qui, à cause du rapport commun RM * RN, donneront

Mp : NQ : : MF : NI, ou mp : mf : : nq : ni. Mais d v«s

la définition de la directrice DE (i^S)^ on a MP ; MF :; NQ : NF; donc NQ : NI :: NQ : NF, «t par suite NI=:NF. Le triangle NIF étant donc isocèle, IL s^ensuit que Pangle NFI = NIF = IFM'. Ce qu'il fallait démontrer.

197. Ce théorème fournit le moyen de tracer la section conique dont on connaît le foyer et trois poii^ts. Effectivement, il en résultera d'abord deux points de la directrice. Connaissant la directrice et le foyer, on aura la direction du premier axe, puis le rapport entre les distances de Fun des trois points au foyer et à la directrice voisine ; d'où Ton déduira Vesphce de courbe demandée, puis son sommet et ses deux axes, lorsqu'elle sera une ellipse ou une hjperbole.

Si elle doit être une parabole, on n'aura besoin, pour la construire, que de connaître son foyer et deux de ses points ; car il en résultera d'abord un point de la directrice ; et la tangente menée par ce point à la circonférence décrite de l'un des points donnés, comme centre, avec la distance de ce point au foyer pour rayon , sera la directrice elle<-niéme.

198. La construction d'une section conique, d'après certaines conditions, est, en général, un problème assez facile à résoudre, au moyeii des propriétés de la courbe. Par exemple, si Von veut décrire la section conique tangent à trois droites données et dont UH foyer soit un point donné; on^ mènera de ce point des perpendiculaires aux droites proposées : si les pieds de ces perpendicu-

laires sont en ligne droite, cette droite sera le second axe d^une parabole (173), bien &cile à tracer, puisqu^on aura sur-lechamp sa directrice. Mais si les trois pieds forment un triangle, le centre et le rayon de la circonférence circonscrite à ce triangle, seront respectivement le centre et le demi-premier axe de Fellipse ou de llijperbole à construire (^3 et ia4)) et on en déduira les données nécessaires à cette construction.

199. Voici encore quelques théorèmes et problèmes à traiter :

I. Si on c6tà de Fangle droit, dont le sommet est au foyer d^mie section conique, passe par le point de tangence, l^autre côté coupera h. tangente sur la directrice. (Ce théorème est déjà énoncé pour ^ellipse, paçe 4a. )

II. Trouver le lieu de tous les sommets des triangles de même base c/, dans chacun desquels un des angles à la base est double de Pautre. ( Ce lieu est une branche d^hyperbole, ayant pour premier axe les deux tiers de c2 et pour centre Tun des points qui diyisènt d en trois parties égales. Cette branche coupe Parc dont desth. corde, ea deux parties doubles Pune de Pauiie, et nssout le probldme de la trisection de Pangle. )

' lil. Les deox droites menées des extrémités d^un diamètre dWe seC'* tion conique aux extrémités de toute oorde parallèle au conjugué de ce diamètre, se coupent sur une autre section conique^ et suivant que la courbe proposée est une ellipse ou une hyperbole, la nouvelle courbe , au contraire, est une hyperbole ou une ellipse* Si la courbe donnée étdt une parabole,. la seconde courbe serait une parabole égale, mais tonmée en sens opposé ; d*où résulte un théorème, que nous laissons à énoncer*

IV. Dana toute section conique j* r=: 2pâf -{- ^«', si pat un point de Paxe desjr et à la distance a/? de Vorigine,'bn m^e une paraOèle à Paze des jr, la portion de celte parallé^, entre Paxe des ordonnées et le prolougement de Pune des deux eoraes 'Sup^épieRtaires menées des extré-< mités du diamètre placé sur Paxe des abscisses, sera égale à lai distance de Porigine aa point où Pautre corde prolongée coupe Paxe des^. (Cette propriété donne le moyen de trouver autant de points qu^on voudra de la section conique proposée. )

y. Trouver sur le plan d^une section conique , un point dont la distance à un point quelconque de la courbe , soit une fonction rationnelle de Pabsdsse de ce dertiier point. (Le point cherché est Pun des foyers.)

YI. Trouver le lieu géométrique de tous les milieux d^mie série de cordes parallèles, dans une section conique. (Ce lieu est un diamètre de la courbe. )

VII. Une portion de section conique étaxft tracée sur Un plan , trouver la nature de la courbe.

200. Dans mnê secHon conique, la corde dfmn gegment étani perpendiculaire au premier axe principal^ trouver la mesure du

volume tngenàrè par U detni-iêgment autour Sun axe exiirieur GZ, dani le même plan et parallèle au premier axe OX (fig. 26 et 27).

Soit OMP = S le demi-segment proposé ; plaçons Porigine des coordonnées rectangulaires au sommet O de la courbe et Taxe des x suivant le premier axe principal OX. Soient heik les coordonnées OP et FM du point M. Divisons Pabscisse h en un nombre infini n de parties égales à «, de manière qu^on ait h:=zfu et que « puisse être regardée comme infiniment petite : il est clair que les ordonnées dont les pieds tombent aux points de division de h^ partagent le demi-segment S en trapèzes mixtilignes, tels que HILK, qui, à cause de la hauteur IL ou z infiniment petite , pourront être regardés comme des rectaiigles. Soit I le V ième point de division de A, à partir du sommet O, et soit t^ le vième trapèze HILK; on aura donc Ol=zvz. Soit | d la disunce OC du sommet O à Taxe de rotation GZ et IH=:j-. Le t; ième trapèze t^ pouvant être regardé conune un rectangle, il est visible que le volume décrit par le trapèze, autour de GZ, est la différence des cjrlindres décrits par EFHK et EFIL ; ainsi on a, lorsque Parc du demi-segment S est concave vers Paxe CZ,

vol. t^zzz^id +^)*« — wd*t = t^ . 'xwd + %j^z,

et lorsque Parc du demi-segment est convexe vers le même axe;

vol. t^mwéPx — îr(<I — ^)'4:=ny-aîrrf— «r^V}

ce qui donne, pour les denx cas,

vol. t^z:^t^»airddt:frj'x.

L^éqnâtion commune aux trois sections coniques est (188)

j^ = 2px + qaf.

Pour le point H, où IH =zjr eiOl=zx^=zvz^il vient

Substituant cette valeur de^* dans Pexpression précédente de vol. ty^ on aura

vol. i!y=::/^.î3ri=fc:«-(2pt;z' + jft;*«*).

Prenant successivement 1;=: 1, 2, 3, 4f •••1 ^1 <>^ ^^^^ successivement les volumes décrits autour de CZ par les trapèzes qui composent le demi-segment S ; la somme de ces volumes sera donc celai engendré par ce denû-segoient : observant que

( loi )

^ +■ 'a + ^ + ••• + '» = S ; que iw = A et qae^t étant infini, on a 1 + a + 3 + 4 + ••• + ^ = a^* ( ^* P^^ge aSg) et i* + 2» -j- 3» -|- 4* + • • • + **' =^ î^' î oï* trouvera , réductions faites ,

vol. S =: S • awef =t: flf/i' ( /> + JjfA ) . . . ( 1 )

Cette formule fera connaître la mesure du volume décrit par le demi-segment S de Pellipse , de Phyperbole' ou de la parabole, en y substituant les valeurs de jp et g qui appartiennent à h courbe que Ton considère (i88). Par exemple^ pour la parar bole, où g = o et 'iph = A;*, on trouvera

vol. S=:S''iTdz±i^K'h\

c^est-à-dire que le volume décrit par un demt-iegtkeni de paraboleautour Sun axe extérieur, dan$ le même plan et parallèle à Taxe de la cour*he, lui-même perpendiculaire à la corde de ce eegmentj a pour mesure faire du demi-$egment muWpUée par la circonférence que décrit le sommet, plus ou moins le demi-cylindre dont la hauteur et le rayon de la base sont respectivement f abscisse et f ordonnée qui terminent ce demi-segment; plus si Parc du demisegment est concave et moins s'il est- cmivexe vers faxe de rota" tion»

aoi . Supposons qne le demi-segment dont Parc est concave et le demi-segment dont Parc est convexe vers Taxe €Z, aient le même sommet O et la même abscisse h.\ la distance (2^sera la même, pour tous les deux ; et si Ton prend le signe -{-, puis le signe — , dans la formule (i},, les valeurs résultantes exprimeront les volumes décrits par le premier et le second demi-segment ; la sonune de ces volumes sera pav conséquent celui décrit par le segment entier 2S ; ainsi on aura

vol. aS ;;;;= aS • 24rdL

D^a& il suit que 2» volume engendré par un segment de section conique, autour i^un axe extérieur, dans le même plan et perpendiculaire à la corde du segment, elle-^même perpendiculaire au premier axe principal, a pour mesure Faire, de ce segment muhtipjiée par la cireonjph'ence que décrit le sommet de la courbe. Par exemple , si le segment devient PeDipse entière «AB , le grand sae 2Â étant parallèle à Taxe de rotation, on aura, pouc le volume de Vanneau applati engendré, 2«-^ABdfb

3^oa. Pour Vellifs&ide allongé que produit la demi-ellipse S

autour de son grand axe lA, on a <l=o, ^ = 2A, ji = — ---,

5^=: — , et la formule (i) donne

vol, S = firAB*.

D^où Ton voit que Pellipsoïde allongé a pour mesure les quatre itère du cylindre dont la hauteur et le rayon de la base, sont respectivement le demi-grand et le demi-petit aae de Pellipse génératrice.

Raisonnant comme pour la formule (i), on. verra que Vellipsoîde applati^ engendré par la révolution d^une demi-ellipse, autour de son petit axe stB, a pour mesure fxA*B. De sorte que Pellipsoïde applati est plus grand que rellipsoïde allongé. • ao3. La formule (i) conduit aussi à la mesure du corps décrit par un secteur de section conique, ou par un segment à deux bases. Enfin on a ce théorème, que neus laissons à démontrer :

La corde d''un segment de parabole étant perpendiculaire à son axe, Tanneau engendré par ce segment, autour d^un axe extérieur, dans le même plan et parallèle à la corde, a pour volume Taire de oe segment multipliée par la circonférence que décrit le sommet, plus ou moins les quatre cinquièmes du cylindre produit autour de la tangente au sommet, par le rectangle circonscrit au segment proposé ; plus si Tare du segment est convexe et moins s*il est concave vers Taxe de rotation.

Nous laissons aussi à résoudre ce problème : On veut construire un vase cylindrique d^argent fin, à base elliptique, et surmonté d*un couvercle dont Pintérieur soit égal au demi-ellipsoïde allongé décrit par cette base. La capacité intérieure, tant du vase que du couvercle, sera de 4 litres et Tépaisseur aura pprtout un millimètre. Comme on désire ménager autant qu'ail se pourra la matière , on demande quelles devront être les dimensions du vase à construire, pour que la quantité d^argent em^ ployé soit un minimum ?

Des courbes que peut représenter une équation du second degré, à deux variables, et de quelques probièmes qui en dépendent!

2o4* Les courbes dont les équations sont du second degré, s^appellent aussi courbes du second ordre. Pour trouver ces courbes , considérons Péquation la plus générale du second degré à deux variables x et j*, savoir

A^ + Borr-f Ca:*+Dj + Er-}-F = o, ... (i)

l^angle des coordonnées x et j* étant quelconques. Supposons dV

bord que A ne soît pas nul , c^est-à-dire que Péquation renferme au moins le carré j^'. Dans ce cas , en résolvant Téqùation par rapport à j* et posant, pour abréger,

il viendra

7=^^=±=J^J/(B*— 4AC)ar*+2(BD— 2AE)x+D'— 4AF.

Ainsi, pour la même abscisse x^ Tordonnée j* aura deut valeurs et déterminera deux points de la ligné représentée par Féquation proposée , en supposant toutefois que cette équation ne soit pas impossible.

Pour trouver ces deux points, il faut d^abord construire la droite que représente l'éqnation (a). Or, soient OX et OY le& axes des x et des ^, O étant Toxigine (%. 'iS^y^ et supposons tous les nombres A, B, D, positifs (les raisonnemens «ers^nt les mêmes , si un ou plusieurs de ces nombres étaient négatifs ). Il est clair que la droite (3) coupe les axes des x et des jr en des

points éloignés de Porigine O d»s distances -*^ -= et •<— -^« La

seconde notant pas infinie , représentons-la par OG. Quant à la .première , si elle était infinie , c^est-à-dire si B était nul , la droite (a) serait parallèle â Taxe des x et pourrait aisément so construire \ mais supposons que cette première distance ait une valeur finie et soit égale à OH ;.la dni^ite HGX' sera donc celle que représente Péquation (a).

Gela posé, soit OP une absciisse de la ligne (1); Pordonnée correspondante de la droite (a) sera — PP'. Et puisqu^à cette ordonnée, il faut ajouter et retrancber le terme irrationnel de j^, pour avoir les valeurs de l'ordonnée de là ligne (1) qui répondent à Pabscisse OP ; on voit que si Ton prend les droites P'M et P'M' égales chacune au terme contenant le radical, M et M' seront deux points de la ligne (1) cherchée.

Transformons actuellement les coordonnées , et prenons GX' et GY pour les nouveaux axes des x' et des j-', G étant la nouvelle origine. Les anciennes coordonnées étant OP = x.el PM = r, les nouvelles seront GP'=; or' et P'M= r'. S^ donc oa

observe que PF = --x r ^ et que ks triangles GOH et

PHP' sont semblable», on trouvera

..«^rAUir

Substituant ces valeurs dans celle de y fournie par réqaalion (i), réduisant et élevant au carré, on vçfra que la ligne (i) est représentée par Péquatîon

4Ay'=(B'^4AC)vV-2(BP^iAE)v:ip'+D'--4A.F...(3).

Si donc B* — 4^^ ^^^ ^^ i ^ ^^ ^"^^^ qu^en passant à des coordonnées parallèles, Féquation {\) pourrait se ramener à la forme ^* = opj;, et représenterait une parabole (i8o)« Il est ^cile de voir d^aîlleurs que cette parabole se réduirait à deux droites pagrallèles à Taxe des ^, ou à cet ai^e lui^piéme , ou à ^eux droites imagîpaîres , si BD — 2Â]S étant nul, on ayait eu p^ilme tepips D* r- 4"^^ positif, nul ou négatif.

Admettons que B* — 4^^ ne soit pas nul : dans ce cas, si nous transportons Porigiqe sur GX^ de O en I, de manière quV>n ait

^y__ BD— aAE ^* — (B»— 4AC)t;^

le nouvel axe des abscisses étant toujours dirigé suivant GX' et )e nouvel axe des ordonnées étant parallèle à GY; il est visible que la nouvelle prdonnée sera toujours P'M ou j^', et que si l'on désigne par a:" la nouvelle abscisse IP', on aura

BD-aAE

Substituant celte valeur dans Péquation (3) et réduisant, on frouvera, pour représenter la ligne (i), Téquation

4Ay'=(»'^4AC)«;V"-^^^|g^+D'-4AF...(4)

Suivant donc que B* tt- 4^.0 sera^ négatif ou positif, celle (équation pourra évidemment preqdre la forme M;^'-|-Nx'=rP ou Mj^* — Na:' = P, Met N étapt depx nombres positife*, ainsi ré<pation(4) et conséquemment Féquation (i), représentera une ellipse (87), ou nne hyperbole (i35), rapportée à des diapiètres conjugués.

L^ellipse se réduirait même à un |^oint , ou bien serait impossible, si P était nul ou négatif, tandis que Fhjperbole se réduirait à deux droites , si Ton avait P = o.

On voit que féçpUitian(^i)r$pri80nt0 tme parabole, une elUftt

( 106 ) ofi unB kifperèoU, êiUpant que la quantité B'-*- 4AC eit nulle, nêgaUoe ou poêUive, Et cela serait encore si l^une des quantités B, G, D, E, était nuUe^ on s^il y en avait plusieurs égales à zéro. ao5. Maintenant, pour connaître toutes les courbes représen* tées par Péquation (1)1 il ne nous reste plus qn^à examiner le cas où A et G s6nt nuls en même temps. Dans ce cas , B' — 4^G étant positif, Téquation représentera sans doute une hyperbole. Or, c^est ce qui a lieu en effet; car Péquation du second degré devenant alors Bxj^+Bj^+E:^ + F^o,

on peut la mettre sous la forme

Et si roo passe à un système; de coordonnées parallèles , en

posant D . E

x^x'^^ et r=y-B.

— g- et — g seront Pabsdsse et Fordonnée de Porigine des nouvelles coordonnées x'eiy^ei Féquation proposée deviendra