f- aa'-f- (« + a') cos

. Si les deux droites sont parallèles, «'rr:*, t = tang («' — «) = o et par suite af^=:a^ comme au n° jS.

Si les deu3; droites sont perpendiculaires, Tangle ii' — 4=90" et «=3 ^ang 90° = 00 ; ce qui exige qu'on ait -

1 + ûa'+ (a -|- ^^') cos ô = o , çopdi^ion qui, lorsque 0=90**, se réduit à i-|- fla'=:q, comme au n'* 18.

20. Trouver faire du parallélogramme ABGD, dont le sommet &un angle est à P origine de$ coordonnéee rectangulaires j connaissant éPailleurê les équations yz^BX etyzz: a'x 'des côtés AB et AD qui comprennent cet angle, ainsi que les longueurs A' et B' de ces côtés (fig. 4)- Soient a et «' les angles BAX et DAX ; soit s le sinus de Pangle BAD ou «'-—«. Menant la hauteur DG du parallélogramme ABCD, le triangle rectangle ADO donnera i * « * I B' * DGz=:B'«, et Paire de ce parallélogramme sera AB X DG ou A'B'«. Substituant la valeur de s* trouvée plus haut (17), il viendra

Soient x'^ y les coordonnées du point B et 3f\ y^ celles du point D; on trouve aisément que hJWszzix^y^ — J^-a^'-

a 1 . lies coordonnées étant rectangulaires, la distance P du poùd

(x', y') à la droite y=:z«s.-{-h, sera toujours P z= r •

Soit Eï^ la droite ^=:ax + b,Wle point (o^, y) et M'M = P la perpendiculaire cherchée (fig. 5). L^angle de EF avec AX étant égal à l'angle de AX avec AV, parallèle à EF5 si l'on prend AO rr- 1 , ce qui donne la perpendiculaire OV ma, les deux triangks AOY et IMM' seront semblables ; on aura donc

AO : MM' : ; AV : im', ou i : p : : j/r+^ : îwz=iv[/t+^.

Mais ajant AP' = a::' et I étant un point de la droite proposée EF ' ou j- zn ax -{- b ^ il vient IP'^z ax' -|- b. Donc comme M'P' =zy^ on a IM' z^y — ^ o^c' — b-^ d'où l'on tire

Pj/i + a"=/ — a;ir'— 6 et P = ^

F — ax^ — b

Il est facile de vérifier que si le point (^x^^y) tombait en M", au-dessous de la droite proposée EF, la valeur de P serait ilégative.

On parviendrait d'ailleurs à la formule précédente, ^u moyen de l'équation de la droite donnée, de celle de sa perpendiculaire menée par {x'^y) et de la distance P entre le pied (a7,jr) et le point ( ^i jr') : on aurait alors à combine^ les équaUous

j-m^aj: -f- i, j- — yz=za'(^x — x'),

et on serait ainsi dispensé de construire une figure.

( 13 ) 23. Le petit nombre de principes qui précèsdent, suQit pour résoudre très-simplement tous les problèmes qui ne dépendent que de la ligne droite, sur un plan. On aura, dans la suite, souvent Toccasion d^appliquer ces principes ; nous nous bornerons donc , pour le moment , au théorème que voici :

Si des extrémiUê de la base AB d^un triangle quelconque Â6G, on mené des parallèles aux deus autres côtés j et que par deux points quelconques P et Q, pris à volonté sur ces parallèles, on mène aux mêmes côtés, deux nouvelles ^parallèles, se coupant en D; je dis que les trois droites AQ, BP etDG se rencontreront en un m,éme point ( fîg. 6 ).

Prenons les côtés G A et CB pour les axes des x et des ^ obliques ; faisons CA = a , CB = h , AP zzzp et BQ zr </ : la droite AQ passant par les deux points (a, o) et (— '^, i^), aura pour

équation (i 4) h

y-zz — ; — (x — a\

De même, la droite BP passant par les deux points (o, ^) et (a, — /i), aura pour équation

Enfin, réquation de la droite DG, qui passe par les pointa (o, o) et (— ^ — ^)i sera dé la forme

Pour le point où les deux premières droites se coupent, les x et les j- sont respectivement les mêmes dans les équations de ces droites. Résolvant donc ces deux équations, les valeurs résultantes seront les coordonnées a; et jr du point commun aux deux droites AQ et BP : et puisque ces valeurs satisfont à Féquation de la droite DG, il s^ensuit que le point d^intersection de AQ et BP, se trouve sur DG, .

Et comme les signes de ^ et g peuvent être quelconques , il faut en conclure que les droites AP et BQ peuvent être menées indistinctement de part et 4^autre de la base du triangle, sans que lethéorème cesse pour cela d'^avoir lieu»

23. On démontrerait, d^une manière touC-à-faît analogue,, les théorèmes des n^* i25 et 126 de la Géométrie, après avoir établi que tes coordonnées du milieu de la droite qui Joint les

( 14 ) • deux f(rinU ( x', y') et (x", y" ), tant x = |(x' + x* ) «/ y =z

Kj'+y">

34* «$<(' l^on veut trower analytiquement le point également distant 'de tfois droites qui se coupent et forment un triangle^ on verra qn^'ù existe quatre de ces pdinU et qu^ik se trouvent aux inteisectîoiis des bisectrices de deux angles dn triangle avec leurs perpendiculaires aux sommets des mêmes angles. De là , en chercliant le point «paiement éloigné des trois sommets du même triangle, on sera conduit aux propriété» indiquées , page 394 de la Géométrie.

a5* Enfin, voici encore quelques propositions à traiter :

I. Trouver Paire d^un triangle , au mojen des coordonnées des BOatmets de ses angles.

IL Trouver le lieu de tous les points ^plement distalis chacun de deux points donnés.

m. Quel est le lieu de tous les points tels, qu^en menant de chacoiï deux droites à deux points donnés, la difierence des carr^ de ces droites vaille un carré donné c' T

1 Vé Lorsque des extrémités de la base d'un triangle, on mène des droites à deux points semblablement placés sur les deux autres côtés , ces deux droites se coupent sur la droite menée du sommet au milieu de la base.

y. D'un point donné hors d^un angle tracé, mener une sécante telle, que les distances.de ce point aux deux où cette sécante coupe les deux ^côtés de Tangle , aient le rapport donné n«

Equations de la circonférence ^^fe ià tangente,

26. Soient p ci q les coordj^nnées rectangulaires du centre d^un cercle donné , a: et j* celles dW point quelconque de sa circonférence et B. la distance de ces deux, points ou le rayon \ d'après ce qu'on a vu ( 5 ) , il est clair' qu'on aura toujours

Telle est l'équation la plus générale de ïa circonférence : elle renferme trois constantes indéterminées , parce qu'il faut trois conditions pour déterminer le centre et le rayon d'un cercle.

27. Lorsque l'origine est un poitit de la tjf conférence , on a p^ -\* q^ 7:=^^ '^ et IMqualion du cercle devient

j** + j;' — 2pa: — i^îrio.

^ Alors si on y fait j- :r= o , pour avoir les points ou la circonférence coupe l'axe des x, il viendra xiiziô et xzU'ïp^ ainsi les points dUntersection sont l'origine et celui dont l'abscisse 2/1 est double de l'abscisse p du centre. D'où il suit que la perpendicu-

.( 15 ) laire<l^ menée ébi centre' iur la corde 2p, divise cette cord^ en deux parties égales.

•!28. SI Fodgioe est à rextrémîté d^un diamètre, pris poar axc^ des x^ les coordonnées du centre seront nécessairQinent j^rzR et $ = o ; alors Féçoation de la circonférence prend la forme

X* +j^'^= 2llr \

et comme yx* -^y^ exprime la distance du poînt-(j:, ^) de la circonférence à Porîgine des coordonnées ( 5 ) , ou représente une corde, on voit que cette corde est moyenne proportionnelle entre le diamhtre 2R et le segment n adjacent à cette même corde» 39. La même équation prend aussi la forâxe

j*'=2aRx — x^ on*^'=:(2R— a?)ar.

Or, X et 2R — X sont les segmens du diamètre, déterminé» par Tordonnéej^ ; de là résulte donc que si £un povni de la circonférence j on abaisse une perpendieulaire sur le diamètre j cette perpendieula&re sera moyenne proportionnelle entre les deux segmens qu'elle détermine sur ce diamètre.

3o. £n^ , si Porigîne des coordonnées rectangulaires est au centre, p et g seront nuls ; et Péquation (1) deviendra

Cette équation est la plus simple de la circonférence :. aussi estr ce celle qu^on emploie le plusiréquemmentr

Par ce qui' précède, on Toit que les coordonnées ;;tr et ^ étani rectangulaires, Péquation. de la circonférence est toujours dd second degré et.ne comienlt pak le produit xjr.

3i. Réciproquement, les coordonnées x et j étant rectangulaires ^ toute équation qui ne contient pas le produit xy^ mais renferme les carrés Tl eiy^^ avec des coejjiciens égaux et de même signCy représente unb circonférence^ Car cette équation peut toujours se ramener à la jË^rme (a; — i>)' "t-(^ — 5f)*=i:R*. C'est ainsi , par ei^mple, que Péquation

Aar* 4. A^*4. Rar 4. Cj^ + D =ro,

devient (^+l)V(/+^yz±5l±S^:^.

Cette équation est celle de la circonférence, dont les coordon^ nées du centre et le rayon , sont respectivement (26)

Il est aîsë, diaprés cela^ de trouver le œntre et le rajron def la circonférence représentée par Tcquation

32. L^équation de la circonférence nous a déjà donné plilsieufs propriétés de cette ligne; et elle doit les fournir toutes^ puisqa^elle la représente complètement. Yojons , par exemple , si les deux droites menées des extrémités d^un diamètre à un même point de la courbe, sont perpendiculaires Tune à Tautre (fig. 7).

D^abord Péquation de la droite BM étant de la forme yznax •{- ft f la condition de passer par le point B ou ( — B. , o), donnera o =; — aR-f-^. Retranchant cette équation de la précédente, on aura, pour Péquation de la droite BM ,

De même, Péquation de la droite CM sera

D^ailleiirs, Péquation de la circonférence est

Les deux droites devant se couper en M sur la circonférence, les coordonnées du point d^intersection , sont respectivement \çi& mêmes dans les trois équations précédentes. Si donc on prend les valeurs de x et de y^ dans les deux premières , et qu^on substitue dans la troisième , celle-ci sera satisfaite , et on aura ainsi, réductions faites,

La dernière équation donne d^abord ad '\-\'zii.o\ ce qur prouve que les droites menées des extrémités d^un diamètre à un même point de là circonférence , sont perpendiculaires Pùne à Pautre (18). La même équation fournit ensuite aa' =1: o ; d^où a r=o et a'=r:^, ou bien dt=.o et a=£. Cela signifie qae, si Pune des deux droites est menée suivant Paxe des x, PaùCre aura telle direction qu^on voudra;

Il est visible , en effet ^ que dans cette dernière supposition ^ les deux droites se coupent toujours sur la cîi^onférénce , conformément à llijrpothèse; mais cette seconde solution ne fournit aucune propriété, et on aurait pu se dispenser d^y. avoir égard.

B.eiiiar<pioiis qiie si, dfns le produit des deux prei^ières équations propos<Ses, on substitue la valeur de aa! tirée de W-|- i =o, on résoudra le problème où il finit trouver le lieu des sommets de tous les angles droits, dont les côtés passent constamment par deux poin^ donnés.

33. Cherchons actuellement les relations nécessaires pour que deux circonférences se coupent ou se touchent. Prenons |K>nr axe des x la droite d qui joint les deux centres, Torigine des coordonnées rectangulaires étant au centre du plus grand des deux cercles et Tabscisse positive du second centre étant la droite d elle-même : il est clair que les équations des deux circonférences sont respectivement

x«+^=R« et (a: — d)*-4-^»==R'».

Ponr les points où les deux circonférences se coupent, les x et les ^ sont respectivement les mêmes dans les équations précédentes; de sorte, qu^en résolvant ces équations, on trouvera, ponr les coordonnées des points d^intersection ,

r==fc -i|/(^+R+R') (rf+R— R') (d+R'— R) (R-+-R'— dj.

i» On voit qu^il y a deux points dUntersection , pour lesquels x n^a qn^une seule valeur \ ce qui prouve que la droite qui joint les deux points de rencontre est perpendiculaire à la droite qui joint les deux centres* De plus , comme les deux valeurs dey sont égales et de signes contraires, la première droite est divisée en deux parties égales par la seconde,

a* R étant le plus grand rayon , les deux premiers facteurs sous le radical de j^ sont positiû \ donc si les deux autres £icteurs sont positifs aussi^ c^est-à-dire si Von a en même temps ^2 ^ R H- R' et t£^ R — R', les deux valeurs dej^ seront réelles et les deux circonférences se couperont en deux points* Doi|c , lorsque la distance des centres de deux cercles est moindre que la somme de leurs rayons^ mtUs,plus grande que leur d^érence^ les deux circonférences se coupent»

Les deux valeurs dey seraient encore réelles, si Ton pouvait avoir en même temps R^ci+R' et ^^R-|-R'* ^^ ces inégalités sont impossibles \ car dés que R^€£+R', à plus forte raison R4-R'^<2«

3^ Lersqa^on a d'^K --f- R', Pun des deux derniers facteurs sous le tzn dical dey est négatif, tandis que les trois autres sont poûti& \ doncalois les deux valeurs dey sont imaginaires et les deux cetdes ne se coupent pas. n en serait de même si Ton avait <2^R-— R^

4^ Si <2==R-}-R') l€ dernier facteur sous le radical de y sera nul^ les deux valeurs se réduiront à une seule o, et par conséquent les deux circonférences n^auront qu^im seul point de commun , placé sur la distance

des centres. H en serait encore de même si Ton avait dz=^ — R'«

5^ Réciproquement , dès que les deux circonférences n^ont qu'un seul

poinl de oomoinii , les deaz yaleun itx^ réiniieiit à nne sevde ; ce qui ne peat arriver qo^'autant quelles sont nulles toutes les deux, et par suite qu^autant que Pun des deux derniers fiicteurs sous le radical est zëro. On a donc^=:o et <2=:R -f-R', ou <2;=R-— R' ; ainsi ^fuand deux circon- /erenees se touchent , le point d9 contact est placé sur la distance des centres , et cette distance vaut la somme ou la différence des rayons •

^ Enfin, si <2=o et R^R', les deux valeurs de^ sont imaginaires; mais si <2 = o et R := R') jr et j^ sont indéterminés : aussi les circonférences sont-elles intérieures Tune à Tautre , dans le premier cas , et coïncident dans le second.

34* Examinons maintenant les propriétib qui résultent de rintersection d^une circonférence par une droite ou plusieurs. Soient ar\ yf les coordonnées d'un point donné sur le plan dW cercle. L^origine des coordonnées rectan|;ulaires étant au centre , les équations de la circonférence et d^uœ sécante menée par le point ( '', ^ ) ) seront respectivement

x»-|-^*=:R» tly^y*=a{x^x^).

Soit z la distance du point ( x^^i ) à Vun des points d^intersection de la sécante avec la circonférence; pour ce point dUntersection , les x et les y seront respectivement les miémes dans les deux' équations précédentes et dans celle^ :

Prenant donc les valeurs de x et de^ dans la seconde et la troisième

équation ; puis substituant dans la première , après avoir posé l/^i^-a» £=m ; observent d^ailleurs que si d désigne la distance du point (xf^yf) à rorig;ine, on a €p=:x'» 4-J^'*» on obtiendra

jB»-j- — (x'-|-«iy')«+a» — R»=:o... (1).

Cette équation n^ayant que deux racines , il s^ensuit qn^une droite ne peut jamais couper la circonférence qu^en deux points. Soient s' et z^f les deux valeurs de z ; on aura , diaprés la composition des équations,

^J^JI^-Uxf + ayl), m

zV'=a»^R«.

Le produit x'z" étant indépendant de la valeur de a , qui détermine la direction de la sécante , <m voit que si par le même point (j:',^), on mène une antre sécante et qu^on désigiie par v% v^^ les distances de ce point aux deux points d'intersection , on trouvera pareillement Mfft/^z=z C23..IV*: donc z'«"3=t/i;'^, elconséqpemment

Cette proportion a lieu ^1" lorsque le point ( xf^yf ) est dans Tintérieur du cercle ; ^^ lorsqu^il est au-dchprs ; 3* lorsqu^étant au-debors , on a vf=vff* De là résultent donc les trois théorèmes qu^on démontre en géométrie.

Maintenant , supposons que les deux valeurs a' et Jf de t , dans Pëquation (i), soient ^ales : dans ce cas , la droite jr — jt :=; a (x — xf) sera tangente à la circonférence , puisque ses deux points d^intersection avec cette courbe, se réuniront en un seul ; on aura donc alors z'-{-2"== !uf, zU^f = «'', et ensuite

,f — fî±^ et 2'= =i= l/éP— R».

'^ Si donc le point ( x\ jr')est hors du cercle , on aura <2 ^ R et les denx

valeurs de x' seront réelles et égales ; on peut donc , par un point hort

du cercle , mener à la circonférence ^ deux tangentes égales fintre elles»

Si le point {xf^yf) était dans Pintérieur du cercle, c^est-à-dire si Ton avait cJ^R; z' serait imaginaire et il n^y aurait point de tangente; ce qui est d^ailleurs évident.

Enfin , si le point ( x', yf) est sur la circonférence ; en désignant par x"et^"ses coordonnées, on aurax'=.x",^'=y" et jc''*+^'''=R"5 et comme alors i2=R , il vient z'=: o et <x" + ajr" = o ;. d'où a = — *

xff

—--• Cette valeur de a étant unique , on voit que par un point (x", y^' )

donné sur la circonférence , on ne peut mener qu'une seule tangente â cette ligne. De là on iireyy'^ -^xx^f = R' pour Téquatiôu de la tangente ; mais nous allons chercher cette équation d'une autre manière.

35. Proposons-nous de trouver réctuatîon d'une droite (D) perpendiculaire à Pextrémité (^oc^\y^^ du tayon R. D'abord Téquation de ce rayon est de la forme jr =z clx 5 et puisque le point (a;", ^') appartient à la fois au même rayon et à la circonférence 3^ 4".7^'= ^*i on a à la fois

y = a'x" et y + y " = R\

L^équation de la droite (B), passant par le point (j?", J^'), est de la forme ^ .— y/> — /» r^ t^\*

la condition d'être perpendiculaire au rayon R, donne oa'-f- t

=:o: d'où à cause de cJ'=.—r,^ il vient « = — —• Substituant ' y" xf'

celte valenr dans l'équation de (D) et réduisant d'après la relation xf^ -J'.y^'* = ^*i ^^ trouvera l'équation cherchée

j-y + xxf^ — R*.

Maintenant pour montrer que la droite (D) représentée par cette équation^ est tout entière hors du cercle, retranchons le double de la même équation hors de celle-ci : x"'+^''*=:R*; nous aurons y/« a^y f -j. cf^^ axjc" = — R'

Cette soustraction n'ayant pas changé les valeurs des coor-

-^^"^ — 'tÊÊr--,-"^ ., ^m^tJtk

données x et^ d'un point quelconque de la droite (D), Téquation résultante représente toujours la même droite. Soit d la distance du point (a:,^) au centre; on aura a:* -|-^* = ^^ Ajoutant cette équation à la précédente , il viendra

Cette équation représente enoore la même droite (D). Or, le premier membre étant toujours positif, quel que soit le poiat ( x, ^) de cette droite , la distance à de ce point au centre sera toujours plus grande que le rayon R ; tous les points de (D) sont donc hors du cercle, à Pexception du point (a^',^'), qui est sur la circonférence ; la droite (D) n^a donc que le seul point (:r", ^') de commun avec cette courbe : donc elle lui est tangente en ce point.

On voit ainsi que la perpendiculaire à V extrémités (x'', j" ) <f un rayon e$t tangente à la circonférence, L''équation de cette tangente est j-y -f- ar:r"=: R', et sa direction est déterminée

par «=:— ^,.

36. Vojons maintenant comment on peut mener une tangente à la circonférence, par un point donné (^, ^). Soit d la distance de ce point à Forigine ou au centre ; on aura d^abord

De plus, le point de contact cherché (a?", y^^ étant sur la circonférence , on a

Enfin, la tangente ^^" + xx"= R", devant passer par le point i^\y)^ pour lequel xtzzx' ^Xy-rz^y^ il vient

yy'+icV'=R\..(3)

Résolvant les deux dernières équations , par rapport à x" et à y\ on aura les coordonnées du point de contact cherché ; et les valeurs résultantes montreront de plus dans quels cas il j aura deux tangentes , une seule ou aucune.

Mais il sera beaucoup plus simple de déduire des trois équa-^ tions précédentes, le moyen de construire la taàigente menée par le point ( x\ y ) hors du cercle. Or, ajoutant la seconde équation au quart de la première et retranchant la troisième, on

trouvera (y'-.i//+(x"--ix7=K."(4) ^

Les coordonnées x" tx. y" n^ayant pas changé de valeurs^ elles appartiennent, dans cette équation, au même point que dans les équations proposées. Mais il est visible que la nouvelle équation représente une circonférence, dont \y et \x' sont^les coordonnée^ du centre (a6) ; conséquemment ce centre est le milieu de la distance .<Z. £t comme le rayon est |c2, on voit que cette circonférence est décrite sur la distance à^ prise pour diamètre. D^ailleurs, les coordonnées x" ^Ky" àsï. point de contact cherché , doivent satisfaire à Péquation (4) ; ce point appartient donc à la nouvelle circonférence : déjà il appartient à la proposée \ il se trouve donc aux intersections de ces deux courbes. De sorte que si Ton joint par des droites ces d/eux points d^intersection au point donné ( x\ j^' ) , on aura les deux tangentes que Ton peut mener à la circonférence , par un point situé hors du cercle \ et telle est précisément la construction prescrite en géométrie pour mener une tangente à la circonférence , d^ua point donné hors de cette courbe.

37. Un cercle, dent O e^U centre, et un point P Stant donnée sur un plan, trouver le lieu des intersections des tangentes aux points ou la circonférence est coupée par une droite quelconque menée du point P .

Plaçons Torigine des coordonnées rectangulaires au <:entre O et Taxe des x suivant la droite d qui joint ce centre au point P^ Soient (^x\y} et (^'^ J*") les points ou la droite tirée de P coupe la circonférence ] Féquation de cette droite sera done

Et puisqpie le point P ou ((2, o) se trouve sur la même droite

on a yf yff ^ ,. yf «// Jf

—y—Z^^fd-^x')i d'où 2L-4 = J1.

Les tangentes menées aux points ( af^ y) et ( a;", y^ ) , ont respectivement pour équations

yy + xx' = R\

y-y' + xx^'zizR^.

Pour le point dHntersection de ces tangentes , les x et les y sont respectivement les mêmes dans leurs équations. Retranchant la seconde de ces équations de la première, puis remplaçant^

dans Péquation résultante , la fraetîon ^,^„ i par sa valeur trouvée pins haut, et réduisant, il viendra

y-y J^ X3if':=ièx\ d'où R'=:;d!r cl scziz-x'

Cette valeur de x étant constamment la même , quelle que soit la sécante menée de P, c'est-à-dire quelle que soit l'ordonnée jTy représente évidenmient une parallèle à l'axe des x* ^ suivant que d sera ]> on <^ R , c^est-à-dire suivant que le point F sera au-dehors ou dans l'intérieur du cercle , cette parallèle , au contraire, coupera le cercle, ou lui sera extérieure.

Il résulte donc des calculs précédens , que n $vn point niuS dans h plan éPun eereUj an nùns autant de êScantes qt^on vourdra, les points de rencontre des deux tangentes aux interseetians de chaque sécante, seront tous siur une perpendiculaire à la droite qui Joint le centre du cercle au point proposa,

38. On peut donc dire que la sécante pivote sur le point P, quand le point de rencontre des deux tangentes correspondantes parcourt la perpendiculaire P', dont on vient de parler. Pour exprimer plus brièvement ce fait, on a donné au point P, un nom qui signifie pivot de rotation \ il s'appelle pâle de la perpendiculaire P', et celle-ci est dite la polaire du point P. Rien n'est plus Êicile que de trouver le pôle, lorsque la polaire est donnée, et réciproquement ; il suffit pour cela , de déterminer d ou a: dans dxzzzB.*,^

Soit P'' le point où la perpendiculaire P' ^encontre la droite <7, c'est-à-dire l'extrémité de l'abscisse x^ on a nommé pâles conjugués d'un cercle, deux points P et P" en ligne droite avec son centre, de manière que le rajon R soit moyen proportionnel entre leurs distances det xkce centre. D'où il suit que le sommet d'un angle circonscrit au cercle et le milieu de la corde qui joint les deux contacts, sont deux pôles conjugués l'un de l'autre.

39. On appelle axe radical de deux cercles, une droite telle, qu'en menant de l'un quelconque de ses points , des tangentes aux deux circonférences , ces tangentes sont égales entre elles. Voyons s'il peut exister une telle droite. Soit d la distance des centres des deux cercles proposés ; R et R' leurs rayons. Plaçons l'origine des coordonnées rectangulaires au centre du premier cercle et l'axe des x suivant la droite d. Soit (x', y) un point

tel , quVn menant de ce point des tangentes aux deux circonférences, les longueurs de ces tangentes, depuis le point {pcf^y) jusqu^aux deux contacts , soient égales chacone à c ^ il est visible .que les distances de (â;', ^) à Porigine et au centre du second cercle, forment deux triangles rectangles, ayant Tuii B. et <^ pour côtés de Fangle droit, et Fautre R' et ci on a par conséquent

Retranchant la seconde de ces équations de la. première, on aura

art * ' ad

Cette équation représente une droite <?, parallèle ^ Taxe des ordonnées ; car elle reste la même , quelle que soit la longueur c des deux tangentes égales menées du point ( x', j*' ) , cVst>àdire quel que soit ce point, et par conséquent son ordonnée j^. De plus , comme cette équation est unique et qu^elle est vraie , quelles que Soient les trois quantités R, R' et <2, il s^ensuit que deux cercles ont toujours et n^ont jamais qu^un seul axe radical , tel que nous Pavons défini : c^est la droite <f perpendiculaire à la distance d des centres et éloignée du premier de la distance rr', que nous venons dé calculer. II est bien facile, diaprés cette valeur, de construire Taxe radical de deux cercles donnés.

4o. Il résulte aussi de la valeur précédente àe x^^ i* que si deux cercles se coupent, leur axe radical est dirigé suivant la corde conunune ; a** que si deux cercles se touchent , intérieurement ou extérieurement, leur axe radical est la tangente commune au point qu^ils ont de commun ; 3^ ertfin , que la différence des carrés des rayons de deux cercles , est égale à la différence des carrés des distances de leurs centres au point où Taxe radical coupe la droite qui joint ces deux centres. Ce point est dit le centre radical des deux cercles proposés.

4i • Let osée radicaux de trois cercles quelconques , pris deux à deux, se coupent toujours en un même point , appeU centre radical de ces cercles.

Supposons d^abord que les trois cercles proposés A , B , G , ne se coupent pas, ou du moins que Pun d^eux ne coupe pas les deux autres \ soit P le point de rencontre de Paxe radical des deux cercles A et B, avec Paxe radical des deux cercles A et C ;

fi

■ I riM -î-

dû point P menons les tangentes A', B', G', aux cercles À, B, G. Puisqae P appartient à Taxe radical des deux cercles A et B, les tangentes A' et B' sont égales (Sg). De même, puisque P appartient à Taxe radical des deux cercles A et C , les tangentes A' et O sont égales. Donc les tangentes B' et G', égales à la même A', sont égales entre elles, et par conséquent P est uni point de Taxe radical d^s deux cercles B et G : donc enlSn les trois axes radicaux se rencontrent au même point P.

Supposons actuellement que les trois cercles J^^ B, G se coupent ; soient R, R\ K" leurs rayons ^ les équations de ces cercles seront respectivement

(a;^)» + (^^)« = R« ou A'' = o, (a:— /)» + (^— j/^^zR'» ou B"=zo, (^x—yfj + (^— î'7=R"' ou G" = o.

Les équations des cordes conmiunes à ces troi^ cercles, c^està-dire de leurs axes radicaux , sont respectivement

A"— B''=:o, A"— G'' = o et B''~G'' = o.

Or, pour le point P d^intersection des deux premiers axes, les j? et les^ sont respectivement les mêmes dans leurs équations; donc, puisqu^en retranchant la première de ces équations de la seconde, on obtient B" — G" = o, c^est-à-^ire Péquation du troisième axe radical, il s^ensuit que le point P tombe aussi sur cet axe.