DE—BF

Sous cette forme, elle représente, comme on Pa vu (i4^), une hyperbole rapportée à ses asymptotes.

Il résulte de la discussion précédente, quî^une èquaMen du second degré entre deux variables X et y, ne peut représenter âf autre» courbée que ¥ ellipse (^ au la circonférence^, la parabole et f hyperbole, c^est-à-dire Vune dee eections coniques / et ûous avons vu plus haut (204) à quel caractère on reconnaît chaque espèce de courbe.

ao6. La marche que ni^us venons de suivre est analogue à celle qu^oq trouve pag. 7^6 et suiv. de la Géométrie analytique de M. Biot, 6°^* édition ; cette méthode est aussi très-propre à fournir la construction de la courbe proposée, comme on le verra dans le problème que voici :

Les côtés PQ et PR â^vn angle tracé étant donnés de longueurs ^ fig. ^9 ) , A on dimse chacun de ces câtés en n parties égales, et que Von compte les points de division de P vers R, pour le coté PR^ etdeQ^ vers P, peur le côté PQ; les droites qui joindront les ejetrémités P ^t Q, des deux câtés, aux deux points de division:

âe mhn» rang, »e ceupêroht $ur une courbe, qu^U e^agit êê eonetruire.

Pour cet effet y prenons le sommet P de Tangle ponr origine des coordonnées obliques^ PQ étant Taxe des x et FR Taxe des ^. Soient S et T les t/ièmes points de division des c6tés PQ et PB. ; soient a et & lies longu.eùr8 de ces cotés ; on aura donc,

diaprés renoncé, QS = -a et PTrz -ft. Soit M le point où se

coupent les droites RS et QT, et. soient xeij- les coordonnées PN et NM du point M. Il est clair, par les triangles semblables QMN et QTP, RSP et SMN, qu'on aura

a — ^:«::j*:^* et a — '^a — xla—^alljrib.

Egalant entre elles les valeurs de - , tirées de ces proportions ^ puis chassant les dénominateurs et réduisant , il viendra ay* -f* «*^ + ^'^* — 2a^hjr — 2ah*x-^ (CH^ = o . .. (i )

Cette équation étant indépendante des nombres n et t; , sera vraie quels que soient ces nombres ; elle représente donc le lieu de tous les points d'^intersection M des. droites menées coufor-* mément à Pénoncé. Or, ce lieu est une ellipse, puisque pour Péquation proposée, la quantité B" — 4^^ ^^ négative et se réduit à — 3a' A* (2o4).

Actuellement, pour trouver les moyens de décrire cette ellipse , résolvons Péquation (i) par rapport à j*; nous aurons

hx

z=zb — — ± — 1/4«^ -^ 3a?*-

2a sa

La droite j-^:=è-^ rencontre Taxe des jy au point R et

Taxe des x au point G tel , que PG = aa ; cette droite est donc RG. De plus, d'après les deux valeurs générales de^,.il est clair que RG divise en deux parties égales toutes les coixles de Pellipse cherchée , parallèles à Taxe des ordonnées \ RG est donc un diamètre (89).

D'un autre c6té, dans les points de l'ellipse, où les ordonnées sont tangentes, les deux Valeurs de j^ sont égales ; le radical est donc nul ; ces points appartiennent par conséquent à la droite RG. Effectivement, les coordonnées de ces deux points sont T = o et^ = ^z=PR, x = ^ = Vl et j=:^=IR'. De

sorte que les deux parallèles PK et IK touchent la courbe en RctR'.

Résolvant Téquation (i) par rapport à x et raisonnant comme ponr^, on verra qu^en prenant PHz=:2^z=aPR, la droite RQ sera un diamètre de Pellipse , et que les points où les parallèles à Taxe des abscisses sont tangentes , sont Q et Q^ sur HQ^ les coordonnées du dernier point étant xzzL^a et j*;:=|^=::3PL. De sorte que les parallèles PQ et LK touchent la courbe en Q et Q\ L^ellipse est donc inscrite dans le parallélogramme PIKL. On sait d^ailleurs que si deux diamètres de Tellipse sont tels , que les tangentes aux extrémités de Pun soient parallèles à Pautre , ces deux diamètres sont conjugués (81) ; donc RR' et QQ' sont deux diamètres conjugués de la courbe : on connaît leurs longueurs et Pangle qu^ils font entre eux ; on peut donc en déduire les deun axes, de longueur et de position (88) , et conséquemment décrire Pellipse demandée.

Il est aisé de s^assurer que cette ellipse est inscrite dans le triangle PHG, et touche les càtés , chacun dans son milieu.

307. Si les points de division des côtes PR et PQ, se comptaient à partir du point conamun P, les droites joignant les extrémités R et Q de ces cotés à deux de leurs points de division de mém^ rang, se couperaient sur la diagonale du parallélogramme construit sur les côtés PR, PQ et Pangle compris RPQ, et dont B.Q serait la seconde diagonale. C^est ce qu^on pent aisément vérifia.

308. Remarquons encore que H iêg pointé qui diviêêni le$ côUê PQ et PR en n parties égales chacun, se comptent de Q vers P pour tun et de'P vers R pour Vautre , la droite joignant deux points de division de même rang et la droite joignant les deux points de division étun rang immédiatement- supérieur, se couperont sur une parabole.

Pour le &ire voir, prenons les côtés PQ=a et PR r= h pour axes des coordonnées,' PQ étant celui des abscisses. Soient S et T les V imes points de division des côtés PQ et PR ; on aura

donc QS=;=-a, PS:;r: a et PT±i:-^. Ainsi Péquation de

la droite ÇT se réduit à

n(«--»a;)iy^ + nv5ar =: 1; ( » — » ) ai ... (1) Changeant v en v •}* 1 1 ^^^ ^^^^ équation , on aura celle de

la droite qui joiol les (v «{f- i)iènie8 poîAU de division ^ il viendra donc ^

n(n — V— i)a;^ + n(v-|-i)te=(i;4-i)(«— V — i)aft ... (a)

Pour le point où les deux droites se coupent , les a; et les j sont respectivement les mêmes dans les deux équations précédentes. Si donc on élimine v de ces équations, Téquation résultante renfermera les coordonnées de Pintersection de deux droites consécutives quelconques, menées conformément à Pénoncé, et représentera le lieu de toutes les intersections. Or, pour éliminer vavec plus de facilité, retranchons (a) de (i) ; nous aurons

d^où nous pouvons déduire aisément les valeurs de v et de n — V. Substituant ces valeurs dans Téquation ( i ) et réduisant , on trouvera, pour Téquation du lieu géométrique cherché,

(fl^— hx — o5)*— ^h*x — — ^=: o ;

ce lieu est par conséquent une parabole (t2o4)«

Lorsque n est infini , on est conduit à ce théorème : Si une droite ST rencontrant continuellement deux côtés PQ el PR d^un triangle donné PRQ, se meut de manière à, couper constamment ces deux côtés en parties donnant la proportion QS * SP ; ; PT ; TR ; les intersections successives de chaque position de la droite mobile avec la position immédiatement suivante, décriront unç parabole , à laqueUe la droite mobile restera toujours tangente. De plus, cette parabole, tangente en Q et P aux deux côtés PQ et PR, aura deux diamètres dirigés suivant les prolongemens de deux côtés opposés du parallélogranune dont PQ et PR sont les demi-diagonales*

309. Voici une propriété commune aux courbes du second ordre et de laquelle on a déduit le moyen de les construire :

Si une ëêcHon conique eti coupée far deux droiiee non-paral- Ulee AB et CD \'que Sun poini "P de la première droite AB^ on nùne une sieanie PN parallèle à la eeconde CD et £un point Q de la eeconde, une eSeante ST parallèle à la premûre; lee deux rapporte ?m X PN : PB X PA et QC X QD : QS X QT eeroni égaux et invariablee, queU que soient lee pointe P 0^ Q ( fig. 3o).

Prenons les droites proposées AB et CD pour axes des x et desjr obliques, O étant Porigine; Péqnation de la section co-

nique étant nécessaûrement du second degré en x et j^ (204)1 sera de la forme .

J^ + «^+ij^' + ^ + ^ + *=o, •.. (i)

a, h^ c^ d^ e étant des nombres donnés, positif ou négatifs. Cette éqaation est la même que celle-ci :

Dans les points A et B, où la ^courbe coupe Vaxe des jr, on a ^ = o ; ce qui donne , pour déterminer les abscisses OB et O A des points d^intersection ,

Désignant par sif et xf' les racines de cette dernière équation , 00

aura a^ == OB, a;" z= — ^ OA, et le trinôme JP* + -r ^ + 3 pren-

dra la forme ( ar — x^) (x— a?"). Si donc x désigne Pabscisse OP, dans Féquation* (a), les valeurs correpondantes àey seront PM et PN, et le dernier terme de cette équation deviendra h X PBxPA. Or, le produit des valeurs de j^, dans Péquation (2), est égal au dernier terme ; ainsi on a PM X PN z= & • PB X PA, ou PM X PN : PB X PA = h. On aurait de même, PTM'X PW : P'B X P'A,

Mainteàsmt, si Ton remarque que Péqoatioa (1) revient à

^* + |(«J"+<')^ + 3(T' + Çr + = «'i on verra, en raisonnant comme pour Péiquation (2), que QS X QT = i-QCxQD,ouqiicQCxQD:QSxQT=rô.Tous

hs rapports PMXPTÎZPBXPA, P'M'xPTS'rPBxFA, QC X QD l QS X^QT , etc. , sonf donc égaux au nombre constant h. Ccqu^il fallait démontrer.

Il est clair que le théorème précédent aurait encore lieu , si les parallèles aux axes étaient tangentes & la courbe.

2iir. De ce théorème, on tire le inojen de faire passer une section conique par cinq points donnés, sommets d^nn pentagone. Proposons-nous, par exemple, âê décrire f ellipse eircaneerite au penÂtgone donné AA'BB'G (fig. 3i).

Supposons le problème résolu , et soit I le point de rencontre des. deux droites A'A et B'B ; par le point G, menons les droites

( no )

G&' et G&, respectivement parallèles anx deux B'B et Â'Âct rencontrant Pellipse demandée en G" et G'. Pour déteiminer ces deux points , le théorème précédent donne

IA.U';IB.IB'::HA..HA':HG.HG"::K.G.KG':RB.RB^ d^où Ton tire

Ces yaleors , faciles à construire « feront connaître les poinu G' et G" de Fellipse cherchée.

Pour avoir le centre , on mènera , par les milieux des cordes parallèles AA' et GG', BB' et GG", les droites GC et £E', qui se couperont an centre O. Ces droites , en effet , seront deux diamètres, car le conjugué du diamètre parallèle à deux cprdes, passe par les milieux de celle*ci (89, 1* )•

Les droites QA et Q'G , moitiés des cordes parallèles AA' et GC, étant deux ordonnées au diamètre CC, il est clair qu^on aura QA^ ^ QC'-^OQ' ^

Q'G*"~OC» — OQ'»'

De là, en posant A» = QA.Q'0, m*z=:OQ.Q'G et «;=: QA* — Q'&'i valeurs doni la construction est fort simple^ il viendra (&»4-m») (A«— wi*)

formule dont la construction est également fort simple.

Le diamètre OC' étant ainsi connu ^ on trouvera son conjugué BIM? ou 2A\ au moyen de réq[uation A''^ OQ' -f OC^ QA' =: A'** OC*, de laquelle on tire la formule, facile à construire,

"CQ.QC

Enfin , connaissant les deux diamètvea conjugués CC et MM', ainsi que Tangle COMciiCQA qu^ils font entre eux, on construira Pellipse , soit comme il a été dit ( 89, 2"* ), soit en déterminant d^abord les deux axes, de grandeur «t de position (88).

Il suit de cette solutioti, qu^uue ellipse est complètement dé** teiminée , dès qu^elle doit passer par dnq points donnés. Mais le problème serait impossible , si tmis de ces points étaient en

ligne droite ^ et si les cinq points étaient les sommets d\in pentagone régulier , Pellipse demandée serait une circonférence.

211. En généra], une section conique pouvant être construite, |

lorsqu^on connaît les cinq coefficicns de son équation j-' -[- axj- ^

-|- bx^ 4*^^"f'^'f"*^^^î ®^ ^^^' 9"® ^owr dSterminer une \

courbe du second degré, il faut généralement cinq conditionê ou %

cinq données, lesquelles se réduisent à quatre pour la parabole

et f hyperbole équilatere, et à trois pour la circonférence; car

Fégalité des deux axes , dans Phjperbole équilatère , fait déjà

une donnée ; et pour la para}>ole , on a toujours la condition a*

— 4^^= ^ (^^4)' QusQt ^ ^ circonférence, elle est bien fournie

par la seule égalité des deux axes de Pellipse ; mais cette égalité

£u8ant coïncider les deax foyers avec le centre , équivaut à deux

conditions distinctes.

D^aillenrs , on a vu (197) que TelUpse et lliyperbole sont déterminées, dès qu^on a un foyer avec trois autres données, et que la parabole peut se construire, quand on a son foyer et deux de ses autres élémens. Il s^ensuit donc que la connaissance d^un foyer équivaut à deux des conditions nécessaires à la constrnction d^ toute section conique.

a 12. Trouver Paire de fellipàe représentée par V équation Ay' -[-Bxy+Cx* + S=o, fangU des coordonnées étant désigné far y.

D^abord puisque Téquation précédente représente une ellipse, la quantité B' — 4'^G est négative (204). De plus, l^origine est au centre ; car si («, /8) est un point de la courbe, ( — «, — ^) en sera un autre \ et il est facile de voir que la droite joignant œs deux points , passe par Porigine et se trouve divisée en deux parties égales \ par cette origine, laquelle conséquemment est le centre de Tellipse.

Soit j^ ^zzpx Téquation de Tun des diamètres de Tellipse proposée et (2 la demi-longueur de ce diamètre \ J, x eiy sont donc les c6iés d'^un triangle dont Tangle entre x et j^ vaut 180° •^-•t;, et il est clair (G. 38i ) qu'ion aura d*=.r*+j*'-f-2a^ cos v. De sorte que pour Fextrémité (ar,^) de d^ les valeurs des coor- n données x eljr sont respectivement les mêmes dans les trois j équations Ar'+B;e^+(ir' + S=o,

jT'zz.px et <f zir x* -f-^* + 2x7^ ces V. • Eliminant x et y de ces équations, on trouvera

Dans cette équation ^deip sont variables \ et comme la plu^ grande et la plus petite valeur du diamètre ad, sont l^one le grand et iWtre le petit axe de Tellipse proposée (60^, il faut d^abord trouver celte plus grande et cette plus petite valeur. Or, résolvant Téquation finale précédente par rapport à p , puis observant que le maximum et le minimum de d doivent rendre nulle la quantité sous le radical (Milanges t algèbre, page Sg), on aura, pour déterminer ce maximum et ce minimumi Fëqua-

«ion j4 4S(Bc<»i;— a— C) - , 4Sî»in»i;

^•^ ?ACllBr — ^ + 4ÂC=F=^-

Désignant donc par « le maximum de d et par b le minimum t ia et 2& seront les deux axes de Pellipse proposée, et il viendra, d'^après la OMnposition des équations ,