I/4AC — B

Les équations (1) feront connattre les axes de Pellipse représentée par Péquation proposée. (On en déduirait aussi les axes de l^jperbole représentée par cette même équation, si B*— 4AG était positif.)

a 1 3. Déterminer felUpêe de la plus grande êurface gv(en peut tnecrire dam un triangle donnim

Soient met n deux côtés du triangle donné et v Pangle compris. Soit A^ + Bx^+<lr*+i=o,

Péquation de Pellipse cherchée, rapportée à des axes obliqaes parallèles aux côtés m et n , eC comprenant entre eux , coùséquemment , un angle égal à v. Portons Porigine au point qâ se coupent les côtés m et n , en laissant tonjotcrs les axes parallèles à eux-mêmes ; soient j? ,^ les coordonnées du centre de Pellipse, par rapport aux nouveaux axes ; a:', j^ les nouvelles coordodnées et xf\ y^ les anciennes ; on aura donc 3:*=:* +4;'' ^y^f -j-^\ ou xf^zzixf^^x tX.y^zny^^y. Substituant ces valcnrs dans Ay*+Ba?'y +Gi?"* +1=0, il viendra , pour Péqoa tion de Pellipse , rapportée aux nouveaux axes ^

A^ B , G, étant des coelQSciens qui , avec x tij^ forment les inconnues du problème.

Il faut dVbord exprimer que Pellipse touche les côtes m et Tt^

qui sont ici les axes des x^ et des^. Pour cela, faisons d^abord

j-' z=io dans son équation , et exprimons que les valeurs qui en

résultent pour x', sont égales \ nous trouverons , pour Tabscisse

:r, du point de contact avec le côté m , x^zzzx-^- -j^y ^ avec la condition ( b' — 4AC )^» = 4C .. . ( i )

Si dans Téquation de Pellipse on &it x'=:o et qu^on exprime que les valeurs qui en résultent pour^' sont égales, on trouvera, pour Pordonnéey, du point de contact avec le côté n, x^z=.y

A — - x , avec la condition

(B* — 4AC)x'=t=4A...(a).

LVquation du troisième côté ifx triangle projposé est^=-^

— ar* + n , ou

ffi ^y — j.^ ^ ^ (jjiJ — x) -j- n3^ + nij^ — mn =z o*

Pour le point de contact de ce côté avec Pellipse, les équations de ces deux lignes admettent les mêmes valeurs pour o^ et les mêmes valeurs pour j^' : de {dus, les deux valeurs qui en résultent pour x^ se réduisent à une seule, 'de même que les deux valeurs qui en résultent pour ^ : on a donc , pour les coordonnées x^ et j''^ du point de contact avec le troisième côté ,

^3 — ^-t a(An«— Bm/i + Cm») '

•^*~-r "* a(A»*— Btoh + Cto*) ^

avec |a condition ( B' — 4^^) C '*^ + '"^ — nmy — • ^kn -|- 4Binn — 4Cw»*r=:o, laquelle, si Pon en retranche les produite respectifs des équations (i) et (a) par m' et w', se réduit à (B*

— 4^^)(^^J^ — 2n-i: — ^my '\- fnnl'\- ^zno \ ou bien, en posant D = ixj- — 'jmx — 2mj- -J- mn , cette condition prend

la forme (B'— 4AC) D=— 4B •.. (5) .1

Retranchant du carré de cette équation , 4 f<)îs le produit det cq|is|tioB$ (i) et (a), et réduisant ,^ otn obtiendra

(4AC— B*) (4ry--D")= i6.

Prenant dans cette équation la valeur de 4AC — B' et substituant celte valeur dans E= ^ , E désifi:nant Taire de