COS AI

yerons

tang » = i [*h ± y/p— (4*r + *"')] •

Cette formule fait voir que tant que tyy -f- x % sera une quantité positive plus petite que 4& a ? on pourra atteindre le but avec deux directions différentes. Si le but est à l'horizon, on fera y = o, et s'il est au-dessotv, on prendra y négatif.

Le temps t que le projectile emploie pour parvenir au bot, est donné par l'équation ar=iv cos a, en y substituât au lieu de x la distance Ai but à la batterie.

Enfin, pour trouver la nature de la courbe ADC, rapportons tous sa points à Taxe vertical DE, en faisant MQ = r f et DQ = x f : k cause de AP = AE — MQ et de PM = DE — DQ ,* nous aurons x = a*sin» cos « —y 1 et y = h sin 3 » — xK Substituant ces valeurs dans requit»» (1), il viendra, pour l'équation de la courbe,

jr 1 * = %h cos** • %! ;

cette courbe est donc une parabole, dont 4e paramétre relatif à l'axe est l\h cos'a.

Si la force de la pesanteur «tait •ooftstente et «es directions constamment parallèles ; si enfin l'air n'opposait aucune résistance au mouvement des corps qu'on y lance ; une pierre, une bombe, un volant, en un mot, un corps quelconque, ayant reçu l'impulsion primitive , décrirait une parabole. Mais cVct principalement la résistance de l'air qui change la forme de la courbe décrite : en faisant entrer cette résistance en considération , on trouve que les deux branches de la courbe sont de formes différentes, et que la brandie descendante, beaucoup plus aplatie que l'autre , jouit de la propriété d'avoir une asymptote verticale.

2o3. Le mouvement curviligne qui intéresse plus particulièrement les sciences .physiques., parce qu'il renferme toute la théorie du mouvement des corps célestes, est celui où la force accélératrice qui infléchit à chaque instant le mouvement, est constamment dirigée vers un peint fixe. Cette force est appelée centripede ou centrale; et la droite qui joint à chaque instant le mobile et le point fixe, se .nomme rayon vecteur.

Dans ce cas, quelle que soit la force accélératrice > les am$ décrites autour du point fixe, par le rayon vecteur, sont propor-

ttonneîles aux temps employée à les décrire. D'abord à la courbe décrite par le mobile, on peut substituer un polygone d'une infinité de cotés infiniment petits. Soient AB et BD deux côtés consécutifs de ce polygone , décrits dans des temps infiniment petits , que nous supposerons égaux \ soit aussi G le centre d'action de la force qui sollicite le mobile (fig. 61) : il est clair que pendant qu'il parcourt les côtés AB et BD, le rayon vecteur décrit les aires ABC et BDG \ or je dis que ces aires sont équivalentes.

Car lorsque le mobile est parvenu en B, si la force centrale n'agissait pas sur lui, sa vitesse ne serait changée ni en grandeur, ni en direction ; il continuerait donc à se mouvoir sur le prolongement de AB , et il parcourrait dans le second instant , qu'on suppose égal au premier, une droite BH = AB. Mais au point B , la force dirigée vers G agit sur le mobile ; la vitesse qu'elle lui imprime suivant BG, kri ferait parcourir, s'il était en repos, un certain espace BI, dans le second instant : ainsi le mobile, parvenu au point B, est animé de deux vitesses qui lui feraient parcourir les droites BH et BI, dans le même intervalle de temps, si elles avaient lieu séparément; par conséquent, le côté BD qu'il parcourra dans le second instant, sera la diagonale du parallélogramme BHDI construit sur BH et BL Le triangle BCD est donc équivalent aa triangle BCH, comme ayant même base BG et des hauteurs égales. D'ailleurs, les deux triangles AGB et BGH sont aussi équivalens, comme ayant même hauteur et leurs bases AB , BH , égales : donc les deux triangles AGB , BCD, équivalens au même BCH, sont équivalens entre eux.

Et puisque les aires décrites dans deux instans consécutifs égaux, sont équivalentes, il s'ensuit que les aires dans deux intervalles de temps égaux , sont aussi équivalentes , car on peut partager ces deux intervalles de temps en un même nombre cFinstans égaux : par conséquent aussi , les aires décrites dans des temps quelconques., seront entre elles comme ces temps.

204. Réciproquement, si les aires décrites par le rayon vecteur autour du point fixe G, sent proportionnelles aux temps, la force qui infléchit le mouvement du mobile *st dirigée vers ce point fixe C. Car par hypothèse, les aires AGB et BCD, décrites dans deux instans censéootift égaux , sont équivalentes. Mais à cause de BH = AB, le triangle BCH = ABC ; il faut donc que le triangle BCD vale le triangle BCH : et comme ces deux trian- .

gles ont la même base BC, il faut que HD soit parallèle à cette' base. Or, d'après la composition des vitesses , HO est toujours parallèle à la direction de la force qni agit au point B , et qui empêche le mobile de suivre BH : donc la direction de cette force coïncide avec BC, ou avec son prolongement, suivant que la courbe est concave ou convexe vers C. -

2o5. Un autre principe très-important , c'est que si le mebile décrit une ellipse et que la force qui le retient sur cette courbe soit constamment dirigée vers Vun des foyers, cette force agvre en raison inverse du carré de la distance du mobile au centre (Faction. On appelle ellipse une courbe plane qu'on peut obtenir en coupant un cylindre droit par un plan non parallèle à la base. Soit ÂMBL l'ellipse proposée ; G son centre, c'est à-dire le point où son plan rencontre l'axe cC du cylindre (fig. 6a). Si par cet axe , on mène un plan perpendiculaire à l'intersection de ceux de l'ellipse et de la base, et un plan parallèle à cette intersection le premier plan coupera la base suivant le diamètre ah et l'ellipse suivant son grand ose AB, qui est évidemment le plus grand de tous les diamètres de cette courbe : nous le désignerons par ac, et nous aurons A G == GB == a. Quant au second plan , il coupera la base et l'ellipse suivant deux droites Im et LM, parallèles à la même intersection , et conséquemment parallèles et égales* entre elles. La droite LM, que nous désignerons par ai, est le petit axe de l'ellipse , parce que c'est le moindre de ses diamètres , et nous aurons Im = ib ; de sorte que b est le rayon du cercle base du cylindre. Menant les tangentes mr-et $1 à cette base, ces tangentes seront parallèles; les deux plans parallèles Mmr et LZA, tangens an cylindre, couperont donc le plan de l'ellipse, suivant les tangentes MR et LH à cette courbe aux points M et L. De plu», si du point M comme centre et d'un rayon égal à o, on décrit un arc, cet arc coupera AB aux deux foyers S. et S' de l'ellipse ; et il est clair qu'on aura MH = aa« Gar à cause de SM=SL, on a l'angle SMT=SLH=SHL$ d'où SH = SL = SM = a.

Cela posé, la force centrale étant constamment dirigée vers le foyer S , supposons qu'elle ait assujéti le mobile à décrire l'arc infiniment petit MN de l'ellipse, pendant le temps infiniment petit t : alors on pourra regarder les deux droites SU et SN comme parallèles, aussi bien que leurs projection* sm et «t; de plus, la force centrale f pourra être regardée comme cons-

C 173 ) tante v pendant le temps t. Or, il est clair que pendant ce temps elle aura fait décrire au mobile l'espace RN ; ainsi , d'après ce qui précède (179) , on a RN = \<f t*.

Il s'agit de trouver une autre expression de RN. Soit T le temps qu'emploie le mobile à décrire l'ellipse entière et E l'aire de cette ellipse ; nous aurons (ao3) T * / * * E * SMN. La base «4* du cylindre et le secteur $mn étant les projections respectives de l'ellipse et du secteur SMN sur le plan de cette base ; en désignant par v l'angle des deux plans , on aura *b* = E cos v et tmn = SMN cos v : donc

T I 1 1 : *r&* : $mn.

Menant de s et « les perpendiculaires st et nv sur mr ; comme l'arc imn est infiniment petit, sa flèche, égale à «v, est un infiniment petit du second ordre (Géométrie), de même que nr et rv ; ces lignes sont donc infiniment petites ou nulles à l'égard de l'infiniment petit du premier ordre mr, et on a mr = mv. De plus , tirant par le point v et le centre c une sécante, celle-ci sera égale au diamètre 26, puisque sa partie extérieure peut être ' regardée comme égale à «v; on aura donc mvz=.yib* nv et tmn — \$t • mv = \$t J/ \b • nv. De sorte qu'on aT|/|| *b % l {$t y%b • nv \ d'où l'on tire

r :■<■:: air'* 3 : «p. iw;..(i).

Les droites MH et RN étant parallèles , aussi bien que leurs projections mh et wr, il est facile de voir qu'on a

2a;mA::RN:nr...(2).

Mais les triangles semblables nvr et mlh donnent

mh l 2i ; ; nr * nv ...(3).

De plus , les triangles rectangles semblables ttm et mlh fournissent ib\$t\\mh\ $m. Et comme il est clair que mh * $m II 2a* SMf il vient, en carrant,

a*:sw:ib*:$tK

Multipliant par ordre cette proportion et les deux précédentes (2) et (3), on trouvera

a 3 ; b . sm* :: b* . rn : $e . «»:=£ . sm*. rn.

Substituant cette valeur dans la proportion (1), on en déduira

r:r::2^ 3 :^.sM a .RNi d'où RN = 2^a 3 .J~ a .

( 174 ) Egalant entre elles les deux expressions de RN , on trouvera

Or, a et T* sont deux constantes dans la même ellipse ; par conséquent , la force q> est en raison inverse du carré de la distance SM. ( Cette démonstration est analogue à celle que M. Ampen a donnée, p. 8g du tome ao e des Annales de Mathématiques.)

Des Forces centrifuges.

206. Soit M un point matériel attaché à un point fixe C, par un fil inextensible CM (fig. 63). Supposons qu'on lui imprime une vitesse v quelconque , dans une direction MB perpendiculaire à la longueur du fil ; et pour simplifier * supposons aussi qu'aucune force accélératrice n'agisse sur le mobile. Il est évident que ce point matériel décrira une circonférence ayant G pour centre et la longueur CM du fil pour rayon. Pendant le ' mouvement , le fil retient le mobile et éprouve dans le sens de sa longueur , une certaine tension , qu'on appelle forée centrifuge. En appliquant au mobile une force égale à cette tension, et constamment dirigée vers le centre fixe C, on pourra ensuite considérer le mobile comme absolument libre. C'est donc en vertu de cette force centripède inconnue ç>, combinée avec finipulsion primitive , que le cercle est décrit.

Il est d'abord clair que le mouvement circulaire est uniforme; car les secteurs décrits dans des temps égaux, étant équivalens (?o3), les arcs, c'est-à-dire les chemins parcourus, sont nécessairement égaux. Soit v la vitesse imprimée et r le rayon CM : si le mobile devenait tout à coup libre, il parcourrait uniformément la tangente MB \ et pendant le temps infiniment petit t x il décrirait l'espace MN=z vt. Mais la force centrale p, qui ramène le point sur la circonférence , lui faisant parcourir pendant le temps l, l'espace MH, le mobile décrira la diagonale MI du rectangle MHIN, et le point I sera sur la circonférence. Et comme la perpendiculaire IH est égale à MN ou à itf , on a

vV = MH( 2 r— MH).

D'ailleurs MH , flèche de Parc infiniment petit aMI , est an infiniment petit du second ordre;, donc ir — MH = ar, et il vient simplement vV=ar«MH.

Puisque le mouvement est uniforme, le mobile tend à chaque instant a s'échapper par la tangente avec la vitesse v ; la tension du fil , et par conséquent la force centrale ç , est donc toujours la même. Cette force agit continuellement sur le mobile ; elle a donc pour mesure la vitesse qu'elle imprime pendant la première unité de temps. Par suite, l'espace qu'elle fait décrire pendant le temps t infiniment petit est MH =z ±çt*.

Substituant cette Valeur dans l'équation trouvée plus haut, il

viendra v a

«V 9 r=rp* a : d'où = —

Cette valeur de f est aussi celle de la force centrifuge, puisque celle-ci est égale et contraire, à la force centrale <p.

Soit T le temps employé par le mobile à parcourir la circonférence entière 2*r. Comme ce mouvement est uniforme, la

vitesse v zzz — • Substituant cette valeur dans celle de ^ , on trouve 4»y

^ Ta ' '

207. Tout corps qui tourne, développe en chacun de ses points, par le seul fait de sa rotation, une force centrifuge qui, dirigée suivant les divers rayons, tend à disperser les molécules de ce corps; et si l'adhérence était tout-à-fait détruite, on verrait toutes les parties se projetter en divergeant, par l'effet de la force centrifuge et de la force tangentielle , c'est-à-dire de la force mesurée par la vitesse qui a lieu suivant la tangente au cercle qu'elle décrit. Remarquons de plus, que quand un corps tourne autour d'un axe fixe , ses divers points sont animés de vitesses différentes. Or, il est clair que la vitesse de l'un suffit pour déterminer celles de tous les autres \ car soit u la vitesse du point a l'unité de distance de l'axe , et soit T le temps d'une révolution : on aura évidemment u=-=?- Cette vitesse est donc facile

à calculer ; et c'est pourquoi on l'emploie pour déterminer les autres vitesses : on rappelle vitesse angulaire. Soient v et v r les vitesses des points aux distances r et r 9 de l'axe, f et <p r les forces

centrifuges de ces points ; il est clair qu'on aura v =r — m ur

et v 1 = ur*\ d'où ç r= ru* et qt := r'u*. Ainsi on à f l <p' H r • r* *• v ; u f $ c'est-à-dire que les forées centrifuges des divers point* <Fun corps tournant autour d'un axe , sont entre elles

( 176 ) comme les distances de ces point* au mémo axe, ou comme Us vitesses de ces points,

208. Supposons que r soit le rayon terrestre à l'équateur, et H celai du point ayant a pour latitude : on aura H=:r cos «. Soit a" la valeur de la force centrifuge a', estimée suivant le prolongement du rayon H\

il est aisé de voir que a/' = a / cos» ou crue t^irr — • Substituant cette

^ ^ cos»

valeur dans 9 • •' : • r l r*, on en déduira •" =• cos**. Ainsi ^oiir <Zeox points quelconques de la surface de la terre , les forces centrifuges, estimées suivant les rayons de ces points, sont proportionnelles aux carrés des cosinus des latitudes des mêmes points,

La force centrifuge estimée suivant les prolongemens des rayons de II terre, est directement opposée à l'action de la gravité, et diminue soa effet. Or, à l'équateur, le rayon r= 63^6466 métrés. Et comme la révolution diurne de la terre se fiait en 01,997269 et que le jour est composé de 86400", il s'ensuit que le temps de la révolution de la terre est T— 86i64' f • Substituant cette valeur, ainsi que celles de r et de r, dans ers

-— , on trouvera, pour la mesure de la force centrifuge à Peqnateor,

t =5 0,0339 métrés.

Soit g la pesanteur observée à l'équateur, laquelle vaut 9,78 métra, et G la gravité qui aurait lieu si la terre était immobile : il est évident que^nsG— a ou que G =£-j- 0=9,81 3g mètres. Cette valeur 009-

parée à celle de t>, donne a =£-— G, environ. Mais # = — ; et si la

terre allait a fois plus vite, la force centrifuge à l'équateur serait alors

e j = « a e =2 -5- G. Si donc a* = 289 ou a == 17, c'est-à-dire si la terre

allait 1 7 fois plus vite, on aurait p % =G, et les corps cesseraient de peser à l'équateur. Enfin, si le mouvement de la terre devenait encore plus grand, les particules matérielles s'écarteraient indéfiniment, et le globe se détruirait.

209. Nous avons trouvé la force centrifuge dans le cercle; mais lorsque la courbe décrite par le point matériel , est différente d'une circonférence, la force centrifuge est êgatè où carré dé la vitesse, au point de la ligne décrite, divisé par le rayon d* cercle oscillateur en ce point. Car à chaque instant et pendant un intervalle de temps infiniment petit, le mobile peut être censé se mouvoir circulairement autour du centre de ce cercle, et avoir par conséquent la force centrifuge qui convient à ce mouvement circulaire.