Lorsque le corps qui tourne a une massé finie ut

petite cependant pour qu'on puisse la regarder comme concentrée au centre de gravité du corps; si Pon désigne par r U dis-

C 177 ) tance de ce centre à l'axe de rotation , par v la vitesse imprimée, par f la force centrifuge du même centre , c'est-à-dire sa vitesse effective dans le sens de la distance r, et par F la force centrifuge totale ; on aura à la fois

u* ». . « mv*

Fzzirnç et çr= — ^ d'où Fz=

Supposons, par exemple, que le corps pèse 1 kilogramme, d'où mg = 1 , et qu'il décrive un cercle d'un mètre de rayon , avec une vitesse de 4 mètres , comptée sur la circonférence ; on trouvera F= i,64 kilogrammes, environ. Ainsi dans ce cas, le corps tend à tirer le fil ou la verge qui le lie au centre du cercle, avec un effort de i ,64 kilogrammes.

2ii. Considérons, d'après M. Poncelet, une tranche fort mince ABCD (fig. 64), tournant autour d'un point O situé dans son plan , où le rencontre l'axe de rotation qui lui est perpendiculaire. Soit u la vitesse angulaire, r la distance au centre O, d'une petite masse m de cette tranche ; la vitesse réelle de cette masse m sera ru et sa force centrifuge mru* (aïo), dirigée suivant le rayon Ont. Par le centre O, tirons deux droites rectangulaires OX et OY; puis décomposons la force centrifuge mru* en deux autres x et jr dirigées suivant ces deux droites. Ces composantes et leur résultante étant proportionnelles aux côtés Op, Og, et à la diagonale Om du rectangle Opmq, il est clair qu'on aura Om ou r * .Op. • • mru* • x = Op X mu*. On aura de même jr == Oq X mu*. Pour une autre petite masse m\ sa force centrifuge et les composantes x 1 et y de cette force suivant les droites OX et >OY, seraient respectivement roVu 1 , Op f X m'u* et Oq r X m'u*. Continuant cette manière de procéder, toutes les forces centrifuges seront décomposées en deux groupes de forces respectivement situées sur les droites OX et OY, et les résultantes de ces deux groupes seront :

(Op X ** + Op f X *»' + Op" X n/' -\ ) m%

(OqXm+Oq'Xm' + Of X rd 1 ^ )u*.

Or, Op X m + Op f X m r + Op" X ni 1 + ••• i est la somme des momens des masses m, m\ m 11 , ..., qui composent la masse totale M de la tranche, par rapport à Taxe OY; cette somme est donc égale au moment OP X M de la tranche , par rapport au même axe (37). On verra de même que Oq X m + Oq r X irt ^ O^" X m" + . . . = OQ X M. Ainsi lesforces centrifuges

( 178 ) se réduisent aux deux forces OP X Mu* et OQ X Mu* perpendiculaires entre elles, dont la résultante unique, dirigée suivant OG, a pour valeur

f/(OP a + OQ a )MV, ou j/OG 9 • MV, ou enfin OG . Mu*.

Donc la force centrifuge S une tranche tres-mince, tournant autour à 9 un point situé dans son plan, est égale au carré de la vitesse angulaire multiplié par le produit de sa masse et de la distance de son centre de gravité au centre de rotation. On voit de plus que cette force est appliquée au centre de gravité G de la tranche , car elle est dirigée suivant OG.

212. Soit encore un corps de masse M, tournant autour d'un axe A. Concevons ce corps partagé en tranches très-minces , de masses m, m\ m", ..., perpendiculaires à cet axe. Soient rf, d\ d H , ..., les distances de leurs centres de gravité G, G f , G ff , ..., au même axe. Les forces centrifuges partielles , appliquées aux points G, G*, G", ..., seront respectivement dmu*, d f m f u % % dWu*, ..., (su). Toutes ces forces sont perpendiculaires à Taxe A, sans être généralement parallèles entre elles ; elles peuvent ne se réduire qu'à deux forces , non situées dans un même plan ; elles peuvent avoir une résultante unique, qui peut même être nulle; et dans ce dernier cas, il est clair que ces forces n'exercent aucun effort, aucune pression sur Paxe A.

Lorsque tous les centres de gravité des tranches se trouvent sur une même droite D, parallèle à Paxe A de rotation, comme cela peut arriver pour tout corps symétrique par rapport à un axe D, tel que la sphère, le cylindre , le cône, etc. \ les forces centrifuges partielles deviennent toutes parallèles, situées dans le plan de A et 1), et toutes à la même distance R de Paxe de rotation A. Leur résultante, c'est-à-dire la force centrifuge totale, passe donc nécessairement par le centre de gravité du £orps H, et vaut Ru* (m -f- m 1 + m ' f + ••" )i ou MRu*. Ainsi lorsque le corps qui tourne est symétrique par rapport à un ose parallèle à Taxe de rotation, la force centrifuge est la même que si tout» la masse du corps était concentrée au centre de gravité.

Si R = o, c'est-à-dire si le corps tourne autour de son axe de symétrie , la force centrifuge totale sera nulle et n'exercera aucune pression sur l'axe de rotation. Il est clair en effet, que les forces centrifuges partielles seront égales deux à deux, et directement opposées. Dans ce cas , le corps mis une fois en mouve-

ment, se motiverait éternellement autour de son axe de symétrie, si les frotlemens et la résistance de l'air n'existaient pas ; car alprs aucune force centrifuge ne viendrait dévier dans aucun sens la position du corps, par rapport à cet axe. Voilà pourquoi dans les machines tournantes , on choisit autant que possible , pour axe de rotation le plus grand axe de symétrie.

C'est ainsi que les chevaux de bois ou les fauteuils , destinés pour les personnes qui veulent courir la bague, sont disposés symétriquement autour de Taxe vertical de rotation. Et il en résulte que cette machine, mise en mouvement, continue à se mouvoir, sans que les forces centrifuges exercent aucun effort, sur Taxe.

Dans le jeu des toupies et des totons , ces corps tournent autour de leur axe de symétrie, placé dans une position verticale, et continuent à se mouvoir avec régularité , après qu'on leur a donné une première impulsion au moyen d'une corde, d'un fouet, ou simplement en faisant tourner la queue du toton entre le pouce et l'index, puis en abandonnant ce toton à lui-même sur un plan horizontal.

Les lustres sont symétriques par rapport à leur axe de suspension. Voilà pourquoi ils peuvent tourner librement autour de cet axe , sans s'incliner d'un côté plutôt que de l'autre : effets qu'on peut surtout remarquer dans des lustres suspendus à des voûtes fort élevées.

21 3. Quand un corps solide libre prend tin mouvement de rotation, par l'effet d'un choc ou d'une force impulsive, toutes ses parties tournent autour d'un axe fictif passant par le centre de gravité ( 1 76). Cet axe sera permanent si les forces centrifuges qui se développent , se font mutuellement équilibre, comme cela a toujours lieu autour d'un axe de symétrie. Dans le cas contraire, l'axe fictif de rotation n'est qu? instantané ; car il change successivement jusqu'à ce qu'il soit arrivé dans la position où les forces centrifuges se font équilibre.

On appelle axe* principaux d'un corps toutes les droites autour desquelles les forces centrifuges se détruisent deux à deux, et qui peuvent devenir des axes permanens de rotation. La, sphère, le cylindre et l'ellipsoïde de révolution, ont une infinité d'axes principaux ; mais on démontre que dans tous les corps, de quelque figure qu'ils soient, il existe toujours trois droites

( 180 ) convergentes à angles droits, qui jouissent des propriété» des axes principaux de rotation.

Lorsque par l'action d'une force excentrique, un corps a reçu à la fois un mouvement de translation et un mouvement de rotation stable, il se meut dans l'espace , de manière, que Taxe de rotation est transporté parallèlement à lui-même avec le cent» de gravité, qui est l'un de ses points (176). Réciproquement, lorsqu'on voit un corps solide tourner autour d'un axe qui , pendant le mouvement de translation, reste constamment parallèle à lui-même , ou s'écarte très-peu du parallélisme , en faisant de petites oscillations de part et d'autre d'une position moyenne, il faut en conclure que Taxe de rotation est un axe principal, passant par le centre de gravité. C'est ce qui a lieu à l'égard des planètes , comme nous le verrons dans la suite.

ai 4. Les valeurs de la force centrifuge, serrent à expliquer plusieurs effets journaliers très-remarquables. Par exemple, quand on fait mtneger un cheval, l'instructeur placé au centre du cercle que décrit le cheval, retient celui-ci par une longe attachée an bridon, afin de détruire la foret centrifuge que ce mouvement circulaire développe : elle dépend du poicb du cheval et est proportionnelle au carré de sa vitesse (a 10) $ en sorte que l'effort du cheval sur la longe devient 4* 9, •••, fois plus grand, suivant que cet animal va a, 3, ..., plus vite.

Un cheval qui tourne librement dans un cercle, ne s'y tient pas parce que la force centrifuge qui anime à chaque instant toutes de son corps, le pousse à chaque instant hors du cercle et tend à le faire tomber. Pour résister à cet effet de la force centrifuge, le cheval incliné le haut du corps vers le centre du cercle qu'il parcouru Cette inclinaison dok se confondre avec celle de la résultante du poids du cheval et de la force centrifuge, et passer par le milieu de ses pieds, le poids et la force centrifuge étant appliqués au centre de gravité. Cette inclinaison augmente avec la vitesse : aussi est-elle considérable lorsque le cheval est an galop. Afin que le cheval puisse marcher sans trop de difficulté, on incline parfois vers le centre, le chemin circulaire qu'il doit parcourir. La même chose devrait toujours se pratiquer pour les routes à tournans brusques.

H est aisé de voir pourquoi un liquide , qui se meut dans un cylindre à base horizontale, est en moindre quantité au centre que vers les bords; pourquoi la cuisinière, en tournant avec rapidité le panier rempli de la salade qu'elle vient de laver, en fait sortir l'eau, sans que la salade tombe; pourquoi l'ouvrier en frapant'à grands coups de hache ou de marteau, doit faire effort pour retenir son instrument : c'est que sans cela , il lui échapperait par la tangente de Parc décrit.

Lorsqu'une voiture tourne, c'est-à-dire s'avance en décrivant un arc de cercle, eue éprouve aussi l'action de la force centrifuge qui tend à k renverser. Si la voiture circule sur une route inclinée vers le centre, la

tendance diminue ; et elle augmente au contraire, ai la route descend du côte oppose au centre, et alors il existe le plus grand danger de verser.

La force centrifuge étant en raison inverse du diamètre de Tare par* couru, elle est peu considérable quand ce diamètre est grand) et elle croit d'autant plus que ce diamètre diminue. La force centrifuge est donc considérable dans les tournans fort courts, ceux dont Tare n'a qu'un petit diamètre; il y a conséquemment grand danger de verser; et ce danger augmente comme le carré de la vitesse. Voilà pourquoi les cochers et les cavaliers prudens ne lancent jamais leurs chevaux, dans les tournans fort courts ; et pour peu qu'ils aillent vite, ils ont soin de ralentir le pas quand ils vont tourner.

Le faiseur de tours, qui étonne le vulgaire en se tenant debout sur son cheval au galop, dans une position d'autant plus inclinée que le cheval tourne plus vite ; ne prend cette position que pour n'être pas renversé par la force centrifuge. Il y a une multitude d'autres faits que l'on peut ainsi expliquer ; ce qui ne doit pas surprendre, puisque dès qu'il y a mouvement curviligne, il y a force centrifuge.

C'est encore par l'effet de la force centrifuge que la boue enlevée par les roues de nos voitures, s'en détache et se trouve ensuite lancée avec la vitesse tangentielle acquise» Si les jantes n'étaient pas unies entre elles par des chevilles enfoncées moitié par moitié dans leurs bouts en contact, et par les bandes de fer qui recouvrent les joints, la force centrifuge, qui tenôVsans cesse à les éloigner du centre, les lancerait comme le sable et la boue, quand les roues prendraient une grande vitesse; et il en serait de même des clous, s'ils tenaient peu dans les jantes. C'est -pourquoi il est bon de ne pas faire aller trop vite les voitures, surtout dans un temps de sécheresse.

C'est aussi la force centrifuge qui tend les cordons d'une fronde, et c'est en vertu de la vitesse acquise pendant le mouvement de rotation , que la pierre s'échappe aussitôt qu'on lâche l'un des cordons qui la tenaient. Toute l'adresse du frondeur consiste à bien estimer la tangente qui tend au but qu'il se propose d'atteindre, lequel sera frappé avec une force d'environ 5,o8 kilogrammes, abstraction de la résistance de l'air y si les cordons ayant chacun un mètre de longueur, la pierre pèse a kilo* grammes et que la vitesse soit de 5 mètres.

Les soleils d'artifice présentent aussi un joli exemple de la vitesse centrifuge combinée avec la vitesse de rotation ; et l'on peut remarquer queles flamèches de feu décrivent en l'air des courbes paraboliques.

Du Moment d'inertie.

21 5. Lorsqu'on calcule le mouvement d 1 un corps autour d'un axe fixe , on trouve souvent la somme des produits de chaque molécule de la masse , multipliée par le carré de la distance de cette molécule à Taxe proposé. Cette somme, <rae nous désigne-

rons par I , s'appelle le moment d'inertie du corps , par rapport à Taxe autour duquel il est censé tourner. De sorte que m, *r*, né\ ..., désignant les masses respectives des molécules, et d y «**, d tf , ..., leurs distances à Taxe, on aura, pour le moment d'inertie, I = md* + m' d» + m" à m + etc.

Si Ton suppose le corps homogène , on pourra remplacer les masses des molécules par leurs volumes, qui leur sont proportionnels. De plus, le moment d'inertie I, qu'on désigne aussi par S (ma**), en énonçant somme de md*, ne dépend que de la forme du système et de la position de Taxe ; de sorte que comme il est indépendant du temps, il Test aussi de toute idée de mouvement, bien que le mouvement j conduise ; en un mot, le moment d'inertie est une fonction purement géométrique et essentiellement positive.

216. Remarquons d'abord, que si l'on connaît le moment d'inertie F d'un corps , par rapport à l'axe qui passe par son centre de gravité, il sera facile de trouver le moment d'inertie I de ce corps, par rapport à un axe parallèle au dernier, et réciproquement. En effet, soient m, m\ m", ..., les masses des molécules d'un corps de figure invariable ; soit A un axe perpendiculaire en H à un plan donné P (fig. 65); soient m , « , 7W3, ..., les projections sur ce plan des molécules m, mf, m", ..., et O la projection du centre de gravité du corps. Si nous menons par O un axe À f parallèle à À, et conséquemment perpendiculaire au plan P, il est clair que HO = a sera la dislance entre les deux axes A et A f , et que Hm | = d et Om =. b seront les distances de la molécule m x aux mêmes axes ; et ainsi des autres.

Cela posé, menons les perpendiculaires m t p, mj**, wijj»", ..., sur la droite HOK; les triangles HO»t t , HO#» a , HOwi 3l ,.., donneront : d* = a* + b* — ia • O/*,

d"* = a* + b»* + 2a . Op» ,

etc

Multipliant ces équations respectivement par m,.w f , m", ..., ajoutant et observant que S (m)=M, masse du corps proposé, on aura

I = a*M + I f — la ( m . Op + m 1 • Op' — m" • Op" + etc.). JL*e multiplicateur de 2a désigne la somme algébrique des

momens des molécules du corps proposé , par rapport au plan mené par le centre de gravité de ce corps, perpendiculairement à OI. Or, la somme de ces momens est égale à celui de la masse M du même corps (3^) ; et comme ce dernier moment est nul , il s'ensuit que le multiplicateur de va est nul aussi ; on a donc simplement I = F -f- a*M.

Cette équation nous apprend que le moment à" inertie d'un corps ; par rapport à un ose, est égal au moment £ inertie de ce corps, par rapport à un axe parallèle, mené par le centre de gravité, plus le produit de la masse du même corps multipliée par le carré de la distance entre les deux axes. '

. Ordinairement k* désigne le quotient de F par M, c'est-à-dire que M&* représente le moment d'inertie F, par rapport à Taxe qui renferme le centre de gravité du corps ; et alors on a

Voyons maintenant comment on peut calculer le moment d'inertie de quelques-uns des corps que la géométrie considère. Nous supposerons tous ces corps parfaitement homogènes ; par conséquent les masses pourront être remplacées par les volumes, et réciproquement. De plus , nous ferons usage du principe du n° 198.

217. D'après cela, soient a, b, c, les trois dimensions d?un paralUlipipede rectangle, de masse M, et cherchons son moment â? inertie par rapport à un axe À, parallèle au côté a de la base supérieure, et passant par le milieu de Vautre côté b de cette hase.

Il est clair d'abord que si par l'axe À et le centre du parallélépipède, on fait passer un plan N, ce plan divisera le parallélépipède proposé en deux autres égaux à p ; et que par suite le moment d'inertie cherché vaudra deux Ibis celui de p> Pour trouver ce dernier moment d'inertie , divisons l'arête £6 en un nombre infini n de parties égales à a?, par des plans perpendiculaires à \b , d'où \b = nx, ces plans partageront p en n tranches , ayant chacune pour dimensions a , c et x. Soit t la » e de ces tranches, à partir du plan N; si nous divisons l'arête ou hauteur c en un nombre infini n r de parties égales à 2/, par des plans perpendiculaires à c, la v e tranche t sera partagée en»' parallélépipèdes égaux , ayant chacun pour volume axx? . Soit p 1 le xf ième de ces parallélipipèdes , à partir de la base supérieure \ les distances de pi à cette base et au plan N seront v^x 1

( 184 ) et vx : donc le carré de la distance de jf à Taxe proposé À, sera v**x!? + v * x * \ et P ar su * le ^ e moment d'inertie de //, par rapport au même axe , sera oxjc 1 ( t/'x" + r*x* ) ou

oxx'V* -f- a^vaf.

Prenant successivement t/ = 1, 2, 3, 4i ••"»**', on aura successivement les momens d'inertie des parallélipipèdes qui composent la v* tranche t\ la somme de tous ces momens d'inertie sera donc celui de cette tranche. Donc puisque c = n'x* et que la partie x r est infiniment petite, il viendra, pour le moment d'inertie de /, par rapport à A,

%ac*x + flcxV.

De là si Ton pose v = 1, 2, 3, 4i «-i «1 on aura successivement tous les momens d'inertie des tranches qui composent le parallélipipède p, et leur somme sera le moment d'inertie de jr, par rapport à l'axe À. Observant donc que ±b = na?, et que la partie x est infiniment petite, on trouvera, pour le moment d'inertie de p y % a bc* + iptfc.

Enfin , le double de cette valeur étant le moment d'inertie I du parallélipipède proposé , par rapport à l'axe A , on a

Si l'on veut avoir le moment d'inertie V du parallélipipède rectangle , par rapport à l'axe mené par son centre , parallèlement à l'axe proposé A, il suffira de retrancher de I, le produit de la masse M par le carré de la distance \c des deux axes (2 16); et alors on aura F = ^M ( è* + c* ).

218. Considérons maintenant un corps de révolution autour Sun axe de longueur donnée a, et cherchons son moment <? inertie, par rapport à cet axe. Divisons l'axe a en Un nombre infini n de parties égales à or, d'où a = nx, par des plans perpendiculaires à cet axe ; nous partagerons ainsi le corps proposé en » tranches, toutes de même épaisseur x. Soit t la t>° de ces tranches, à partir de l'extrémité P de a, et soit r* le rayon de celle de ses bases là moins voisine de P ; cette base sera donc à la dislance vx du point P. A cause de l'épaisseur infiniment petite ar, il est clair que la v* tranche t peut être côrisidérée comme un cylindre droit. Divisant le rayon r* en un nombre infini n' de parues égales à x 7 , d'où r*=n l x , \ les distances v t x t et (v 9 -f- 1 ) x 9 de l'axe a aux v* et (*>' -f- i)ièmes points de division , seront les

e les )

rayons des bases de deux cylindres droits, de même hauteur ar, et dont la différence des volumes sera «^(a^-J- ï)^ ,a « Cette différence est donc le volume d'un anneau cylindrique, dont les parties infiniment petites sont tontes à la distance rïx? de Taxe a. Gonséquemment , le moment d'inertie de cet anneau , par rapport à l'axe a , est * X i* k ( 11P + tf* ).

Prenant successivement t/= i, a, 3, 4* •••» n \ ajoutant et observant que n r x , =zr , t , et que la partie x* est infiniment petite, on trouvera, pour le moment d'inertie de la v 9 tranche /, par rapport à l'aie a, \*r**x.

Cette expression fournit plusieurs conséquences que nous allons développer. D'abord «comme la t>* tranche t peut être prise pour un cercle de rayon r* y et ayant l'épaisseur x infiniment petite de chaque molécule , il est clair que le volume , et conséquemment la masse M de ce cercle, vaut «r^x, et que par suite, le moment d'inertie de ce cercle, par rapport à son centre, est£Mr".

Supposons que le corps proposé soit un segment sphérique de hauteur a , le rayon de la sphère étant désigné par r. Dans ce cas, comme la distance de la v % tranche t à l'extrémité P de l'axe a est vx, d'où r 9 * z=zvx\ir — vx ) = zrvx — © a ,r*, il est clair que le moment d'inertie de la r 4 tranche /, par rapport à a, devient >(4r 9 A* — 4rA* + arV).

Prenant donc successivement vz=z i, a, 3, 4, ••*, » ; ajoutant et observant que a = nx x et que la partie x est infiniment petite, on trouvera que par rapport à sa hauteur a, le moment d'inertie I du segment proposé, ayant ?ra a (r — ^a) pour volume , est I = l* a l (fr* — ar + |a* ).

De là , si le Segment devient la sphère entière, on aura a = ar et I = £*r 5 ou I = M.fr\

Ainsi le moment d'inertie de la Sphère, par rapport à son diamètre, est égal à lu. masse multipliée par les deux cinquièmes du carré de son rayon.

Maintenant , supposons que le corps proposé soit tel que sa base *rr* et les sections perpendiculaires comme elle à l'axe a, soient entre elles comme les puissances m mtt de leurs distances an sommet P. Dans ce cas, on aura

*r* : **** l ; a m ; v m x m ; d'où r" t=z^ Fl x m v m .

( 186 ) Le moment d'inertie de la v % tranche * deviendra donc

d'où Ton déduira , pour le moment d'inertie du corps proposé, par rapport à l'axe a , «or*

Il est facile de voir, par des calculs analogues aux précèdent que le volume du corps proposé ou sa masse M, a pour mesure

M = — —i d'où I = M V , , ' —

m-f-i 7 bm + ï

Pour le cylindre droit, dont a est l'axe , on a m = o et 1 = £Mr\ Pour ce cône droit , m = a et I = ^Mr\ Pour le paraboloïde autour de l'axe des ordonnées, m= 4 et * == $"**• Enfin, pour le paraboloïde autour de l'axe des abscisses, m=ii et I = £Mr\ Ces expressions fournissent autant de théorèmes. Par exemple la première nous apprend que le moment <P inertie de tout cylindre droit, par rapport à ton axe, est égal au demivolume multiplié par le carré du rayon de la base.

219. Considérons encore un corps de révolution autour à 9 un axe de longueur donnée a, et proposons-nous de trouver le moment & inertie de ce corps, par rapport à un axe MN perpendiculaire au premier a ( fig. 66 ).

Supposons que l'axe MN rencontre l'axe SA du corps, à l'une S de ses extrémités. Soit divisé l'axe SA = a en un nombre infini n de parties égales à a?, par des plans perpendiculaires à cet axe ; on partagera ainsi le corps proposé en n tranches, toutes de même épaisseur x. Soit t la v* de ces tranches, à partir de S, et soit j le rayon OB de sa base BGD la plus éloignée du point S \ elle en sera donc à la distance SO = vx. Menant par l'axe SA le plan S AD perpendiculaire au plan MAN, il est clair que ces deux plans divisent la v* tranche t en quatre parties égales , et que le moment d'inertie de cette tranche , par rapport à l'axe MN, vaut 4 fois celui , par rapport au même axe , de la portion ayant pour base le quart de cercle BOD.

Du centre O et du rayon Op = 1 , décrivons le quadran pqr,

4 et divisons-le en un nombre infini n r de parties égales à x? ; les

rayons menés par les points de division, diviseront aussi le

quadran BD en n r parties égales. Par chaque point de division

de ce dernier, menons un plan perpendiculaire au plan S AD et

conséquemment parallèle à MAN ; nous partagerons la portion \t en n r parties qui, à cause des quantités x et x* infiniment petites, pourront être regardées comme des parallélipipèdes rectangles. Or, le t/ième de ces parallélipipèdes, à partir de BO, a pour hauteur ar, et pour base le rectangle HFEI ; son volume est donc x X IH X El. Mais puisque l'angle OEI = BOE a pour mesure Parc < pg = tfa' 1 il s'ensuit que le triangle rectangle OIE donne El •=z:y cos dx* et OI ^zy sin tfx 1 . De même , OH =

^sin(t/+ O^î d?où résulte IH =zy ( cos x 1 — 1) tint/a/ -f*. y sin x f cos dx*. Et puisque Parc x 1 est infiniment petit , on a , en négligeant les infiniment petits du second ordre et des ordres supérieurs, cosj^=i et sinx f =x f ; ce qui donne JH^yx* cos tfxf* Ainsi le volume du t/ième parallélipipède rectangle est y^xx'cos^x 9 . Le carré de sa distance SI à Taxe MN étant »*x* -\~y* sin 9 ffa*, son moment d'inertie, par rapport à cet axe, se réduit à xV^V cos* tfx* + \xy k x? sin 9 a»V.

Il est facile de voir qu'à cause de sin x f =x r et de sin aa^= ix\ on a

ix 1 cos 11) x* = sin ( 20V + x f ) — sin ( ap'a/ — x 1 ) , 4^ cos tyx* = sin ( ^x 9 -f- zx f ) — sin ( tyx 1 - — nx* ).

De plus , on sait que a cos 9 »V = î -f- cos irix* et a sin 9 iv 'x* = î — cos /{v f x r . Avec ces quatre équations, le moment d'inertie 'du p'ième parallélipipède devient

\x v*y* [aa/ + sin ( irfx* + a/ ) — sin ( ida? — a/ )] -f-

è^ 4 [4^' — sm ( fôx* "f" 2a?/ ) H" 8m ( 4^^ — 2:r/ )]•

Prenant successivement z/= î, a, 3, 4i •••, w f , la somme des n 1 valeurs résultantes sera le moment d'inertie du quart de là t>° tranche, /, par rapport à l'axe MN ; et puisque 4 fois ce moment d'inertie est celui V de la v* tranche elle-même , on trouvera

t r = x v 2 y* [anV + sin {in'x 9 + x 1 ) — x*! + \xj [fo'x 9 — sin ( ty% 'x* + aa/ ) — aa^ ] .

Mais n'x 9 = 90 = 5* ; d'où a»V = *\ sin (an'a/ + x 1 ) = — a/ et sin ( fn'x 9 + 2X * ) == a# f • Ainsi en négligeant — ax' à l'égard de *•, il vient

t 1 = arj* 9 a: t>* + \*jrx.

Celte expression fournit plusieurs conséquences. D'abord comme la » e tranche t est un cercle de rayon y et d'une épaisseur infini-

ment petite x, sa masse M = *y*x : donc en prenant la distance SO =zvx=zd, son moment d'inertie, par rapport à Taxe MN, sera *' = M ( <* a + ij-* ).

Supposons le corps proposé tel que sa base «r% perpendiculaire à Taxe a de révolution , et les sections parallèles , soient comme les puissances roièmes de leurs distances à l'extrémité S ;

on aura donc y % z=-j^x m v m . Substituant cette valeur dans /,

puis faisant successivement v s= 1, a, 3, 4i ••• i n i et ajoutant, la somme sera le moment d'inertie I du corps proposé, par rapport à Taxe tangent MN ; on aura donc

wa}r* . vrar*

l = Pm +

m-f-3 * 4( am + 1 )

D'après cette formule , pour le cylindre droit dont a est l'axe et r le rayon de la base , onam=oetI^ fyca r a + jarar* ou I = M (^a* + %? ). Pour le cône droit, m = a et I = ^raV -f- ïï*ar*. Ppur le paraboloîde autour de l'axe des abscisses , mz=z i, et pour le paraboloîde autour de l'axe des ordonnées,

Enfin la valeur précédente de t', conduit, par des calculs analogues, au moment d'inertie de tout segment d'ellipsoïde ou cPhyperboloïde de révolution, autour de l'un des deux axes oA et aB, ce moment étant pris par rapport à Taxe tangent MN. (Voyez le tome I de la Correspondance mathématique et physique, page 33o.)

Mouvement de Rotation et Percussion.

aao. Rotation. Cherchons d'abord le travail des forces qui font tourner un corps solide autour d'un axe fixe À , sans pouvoir le faire glisser dans le sens de cet axe. On peut toujours décomposer les puissances proposées en deux groupes de forces, les unes parallèles et les autres perpendiculaires à l'axe À. Le travail des premières est nul, puisque ne pouvant mouvoir le corps suivant l'axe , il n'y a pas de chemins parcourus par les points d'application , dans le sens de ces forces. Ainsi pour apprécier le travail des puissances proposées , il reste seulement à considérer celui des composantes perpendiculaires à l'axe de rotation.

On peut évidemment considérer le corps proposé comme la somme d'une infinité de surfaces ou portions de surfaces cylin-

( 180 ) driques, de même axe commun A et de même épaisseur chacune que les molécules qui la composent. Soient m, m\ m", ..., les masses de ces portions cylindriques , c'est-à-dire les nombres de points matériels égaux qu'elles renferment respectivement; soient r, r', r", ..., leurs rayons intérieurs, ou les distances de leurs points à l'axe À ; soit enfin P le plan contenant l'axe A et le centre de gravité G du corps. Quelle que soit la résultante R des composantes perpendiculaires à l'axe A de rotation , l'effet que cette résultante produit en agissant continuellement suivant un certain arc , est absolument le même que celui que produiraient des forces/,/',/", ... , appliquées perpendiculairement au plan P, sur les droites matérielles suivant lesquelles ce plan coupe les surfaces a», m', m", ...; et comme ces forces font tourner les masses m, m\ m ff , ..., autour et aux distances r, r\ r", ..., de l'axe A, il s'agit de trouver le travail total des mêmes forces, évidemment parallèles.

Or, observons que le mouvement est uniformément varié, du moins pendant le temps très-petit t\ et qu'ainsi, en désignant par u la vitesse angulaire, c'est-à-dire celle imprimée pendant le temps î , à la distance 1 de l'axe A ; la vitesse imprimée v et le petit chemin ou arc c décrit, à la distance 1, pendant le temps *, seront respectivement vz=.ut et cz={uf (179). Le point d'application de la force/ étant à la distance r de l'axe, sa vitesse sera ru. Mais cette force a pour mesure la masse m multipliée par la vitesse ru (i56); on a donc f=mru. De même, f z=z m'r'u, /" = m n r"u , et ainsi des autres.

L'arc ou le petit chemin que décrit Je point d'application de la force/, pendant le temps *, est évidemment cr\ le travail de cette force/, pendant le même temps, est donc fer ou %mr*v*. De sorte que le travail total fl des forces parallèles /,/%/", ..., pendant le temps t , a pour mesure

è=z\(mr* + m'r r * + m"f Jf * + .-.)v*i ou 1<=zilv\ Tel est donc le travail des forces proposées, pendant le temps l, pour faire tourner le corps solide autour de l'axe A de rotation.

La vitesse imprimée, à la distance 1, pendant le temps f, est désignée par v ; donc les vitesses imprimées aux distances r, r', r", ..., sont n>, ^0, r"*, ...; les produits mr % v % ^ m'r 1 ^*, tti'W, ..., sont donc les forces vives au bout du temps /, des masses m, m', m ff , ... ; c'est pourquoi la somme I» a de tous ces produits, s'appelle la force vive du corps proposé : ainsi la force

( ISO' )

vive d'un corps tournant autour d'un axe fixe, est égale au marnent <£ inertie de ce corps, multiplié par le carré de la vitesse angulaire imprimée pendant un temps très-petit.

De là et de ce que = £lt?*, on voit que le travail des forces qui font tourner un corps autour d'un axe fixe, a pour mesure la moitié de la force vive finale.

11 1 . Le mouvement d'un corps qui tourne autour d'un axe fixe, ne pouvant avoir lieu que dans le sens perpendiculaire à cet axe, et la résultante des composantes qui agissent dans ce sens, n'étant pas nulle, il est visible que le mouvement est uniformément varié ; car cette résultante agit continuellement avec la même intensité, sur le même corps et au même point, et éprouve, par suite, la même résistance à chaque instant. De sorte que v étant la vitesse angulaire imprimée pendant le temps quelconque /, le travail total des forces, pendant ce temps, sera toujours {lv*.

Gela suppose néanmoins que le corps proposé n'avait aucune vitesse acquise avant le temps t. Mais s'il avait eu une vitesse angulaire v 9 avant le temps t ; en désignant par v celle au bout de ce temps ; les quantités de travail immédiatement avant et après, seraient évidemment £lt>" et {lv*. Si donc £ représente Parc ou le chemin décrit par le point d'application de la résultante R, pendant le temps /, le travail développé pendant ce temps sera RE, et on aura

RE = iI(*« — *").

Ainsi le travail développé pendant un certain temps, est la moitié de f accroissement de la force vive pendant àe temps»

m. Maintenant, pour trouver la grandeur et le point d'application de la résultante R des forces parallèles/,/', /", ..., on remarque que ces forces étant de même sens, on a R=/+ /•+/"+••• 5 d'où

R =z ( mr-^mJr 1 -f- m'V + ••• ) m.

Soient d et a les distances respectives de Taxe A de rotation au centre de gravité G et au point d'application O de la résultante R , et soit M la masse du corps : comme les masses sont proportionnelles aux poids , il est visible que dans la valeur de R, la somme multipliée par m, exprime le moment par rapport à l'axe de rotation , du poids M appliqué au centre de gravité G, et que par suite on a R = Mdu.

De plus , le chemin décrit pendant le temps *, par le point d'application de la résultante R, étant oc, le travail de cette résultante, pendant ce temps, est fRattf* Ou ^M.adv*. Or, ce travail a aussi pour valeur ~It>' ; on a donc Mad = I $ d'où à cause de I = M ( <P + *' ) t *1 vient

Cette formule fera connaître la distance de Taxe A au point O où la résultante R est appliquée perpendiculairement sur le plan P; et cette distance a, plus grande que d, étant indépendante de la force R, on voit que quel que soit le mouvement de rotation ; pour un même corps et un même axe A, le point O d? application de la résultante sera toujours le même.

De plus , supposons que le corps étant libre , il tourne autour d'un axe principal fictif, passant par le centre de gravité G , et parallèle à Taxe À de rotation. Il est clair (176) qu'alors la résultante des forces du mouvement sera appliquée perpendiculairement sur la droite qui passe par G, et qui est elle-même perpendiculaire à cet axe principal. Or, si l'on vient à placer l'axe fixe À parallèlement à l'axe principal fictif proposé , le mouvement de rotation sera modifié , mais conservera toujours la même direction perpendiculaire à l'axe À ; la résultante R du mouvement, ainsi modifié, sera donc toujours perpendiculaire à la droite qui passait par le centre de gravité et qui était perpendiculaire à l'axe principal et à l'axe À parallèle, dans le même plan. Ainsi lorsque Vaxe de rotation A est parallèle à un axe principal passant par le centre de gravité, le point d'application O de la résultante R du mouvement, est sur le prolongement de la distance d entre ce centre et Vaxe A. /

Pour montrer comment on peut calculer la distance a de O à Taxe fixe , considérons un marteau dans lequel la tête soit un parallélipipéde rectangle , à base carrée , et le manche un cylindre de rayon 1 et de longueur 100, hors de la tête. Supposons que le poids du manche étant 1, celui de la tête soit 10, le côté de la base de cette tête étant 4* Supposons enfin que l'axe À de rotation soit dirigé suivant un diamètre de la base extrême du cylindre et soit perpendiculaire à la hauteur de la tête, c'està-dire parallèle à un axe principal du marteau*

D'abord les centres de gravité du manche et de la tête sont places l'on au milieu de l'axe 100 et l'autre sur le prolongement de cet axe, à la distance a de l'extrémité voisine ; ainsi la distance d de l'axe au centre de gravité du marteau , donne 1 icZ=: 1070. De plus , d'après ce qui précède

(2i7etaig),on trouve que les momens d'inertie de la tête, du manche et du marteau, par rapport à Taxe A, sont respectivement 104067, 3333 et I =3 107400. D'ailleurs la masse ou poids M = 1 1 ; donc la distance a = 100,4 environ* Ainsi le point O tombe dans la tête du marteau.

223. Percussion. Lorsque tenant une barre, on lui imprime un mouvement de rotation, pour aller choquer avec force un corps très-résistant, cette barre éprouve une réaction qui généralement se fait sentir dans la main. Mais ce qui est bien remarquable, c'est que cette sensation n'a pas lieu pour un certain point où la barre serait choquée. Il importe donc beaucoup de connaître ce point, nommé centre de percussion. Or, ce centre n'est autre chose que le point O à 9 application de la résultante B. des forces qui produisent le mouvement de rotation. Il est visible en effet , que si Ton applique au point O un obstacle iuvincible, la résultante R sera détruite, sans le concours d'aucune autre résistance; par conséquent le mouvement de rotation sera arrêté, sans qu'il en résulte aucune nouvelle pression ou réaction sur l'axe À. Le point O est donc effectivement le centre de perçut' sion, c'est-à-dire le point où il faut choquer le corps proposé, pour qu'il n'en résulte aucune réaction sur l'axe de rotation A.

224* Il est facile de trouver par expérience ce point important , en posant le point de rotation du corps proposé sur on appui fixe A (fig. 67), puis en laissant tomber ce corps sur une pointe B, mobile le long d'un plan horizontal. Lorsque cette pointe atteint une position telle , que le corps , au moment du choc , ne balance pas autour de A , on est sûr que le point par lequel le corps a choqué la pointe B, est le centre de percussion; puisque le choc n'a exercé aucune réaction sur l'axe de rotation.

Pour déterminer par le calcul le centre de percussion, considérons un corps de masse M, dont tous les points soient rapportes à trois plans rectangulaires, par leurs distances à ces plans. Supposons que le corps soit retenu par un axe fixe , coïncidant avec Taxe des z , et tourne autour de cet axe par l'effet d'une force impulsive R=Mv, appliquée . perpendiculairement au plan des xz ; soient x x et z x les coordonnées du point d'application O, dans ce plan. Au lieu de regarder l'axe des z comme fa# y introduisons .des forces propres à les retenir : ces forces , qui seront les percussions exercées sur l'axe , peuvent évidemment toujours se réduire à deux, l'une P parallèle aux x et dont le z égale a, et l'autre Q parallèle aux^ et dont le * sera designé par b. Soient m, mf, m", ..., les masses des molécules aux distances r, r*, r", ..., de l'axe de rotation, et soit u la vitesse angulaire ; la vitesse de la masse m sera ru et la force qui l'anime mru. Soient x et y les coordonnées du point d'application de

force, il est facile de voir que la force mm êtuït parallèle att plan arp, ses composantes parallèles au* x et aux /, sont respectivement et mxu. Opérant la même décomposition pour les forces mV« 4 * u, ..., on formera le tableau que voici :

^Forces • Mv, P, Q, mru, mfrtu^ m^r^ii } etc*

Composantes f aux*... o, P, o, m?-u, myu, m'Jjr/'i*, etc*

parallèles ( auxjr... Mv, o, Q, mxu s mfx i u i mtfx"«, etc.

"^Coordonnées ( les «... x xi o, Oj *, *f, *", etc.

^'application J lesjr... o, o, o, j-, yt r", etc.

suivant (les*... * n a, £, s, 4^, z&, etc.

Comme P et Q sont les résultailtes des forces parallèles aux x et aux j" i pressent Taxe fixe des z , si Ton désigne par uS {py) la somme nvfu tn'yu -f- mttjrMu + ••• , et ainsi des antres H on aura d'abord

P = uS(wi7-) et Q + ttS(mx) = Mt>.

Ensuite, prenant les momens par rapport au plan des xy s il est clair (B^) qu'on trouvera

aP = vS(mfz) et &Q + ttS(»ixc) = Mi;z à .

Enfin, comme Mv est la résultante des forces mru^ mJr^u^ mHr ,f u, ..., qui tendent à faire tourner dans le même sens autour de Taxe des * , et qui peuvent conséquemment être regardées comme parallèles { on a , en prenant les momens par rapport à Taxe des z$

M.vx i z=zuS^mr i ).

Soient X, Y, 2, les coordonnées du centre de gravité G du corps ; les poids étant proportionnels aux masses, il est visible (3^) que S (my) =2 MY et S (mx)=MX. D'ailleurs S (mr*) = Ij moment d'inertie du corps, par rapport à l'axe fixe ; aittsi on a

P = i*MY, Q4-«MX=Mt>, aP = uS(mxz) i

bQ-\-uS(mxz) = M.vz i et 'NLvx^Iu.

Si l'on veut que l'axe de rotation n'éprouve aucune percussion au moment du choc, il faudra que les composantes P et Q de cette percussion soient nulles* et alors le point O d'application de la force Mv sera le centre de percussion. On aura donc, pour déterminer ce point) les équations Yrro, tsX=v, 8(nyrz)^zo % t&(jnxz)t=Mvt i et MXx t ±zI.

La première de ces équations montre que le centre de gravité G dm corps est situé dans le pian des xx i auquel Pimpulsioa Mv est perpendiculaire; la seconde détermine la vitesse angulaire zi^ et prouve que le mouvement est uniforme \ la troisième, qui dépend de la forme du corps et de sa position, par rapport à l'axe fixe, doit être satisfaite, pour qu'il j ait un centre de percussion; enfin, les deux dernières déterminent la position de ce point, sur le plan des xz \ et l'on voit que la valeur de x t n'est autre chose que la formule (e) , trouvée d'une autre manière.

Supposons que l'axe À de rotation soit parallèle a un axe principal À',, passant par le centre de gravite G; la distance des deux axes étant égala à X, on aura ar=X + *, af =X -f- **, xfl =;X -f- * ff , ••• ; et par suite, il viendra S (mxz) = XS (mx) -f- S (msz). Soit ut la vitesse angulaire qui aurait lieu si le corps tournait autour de Taxe principal À', et d la «li**»™» de la molécule m a cet axe; la vitesse de cette molécule sera donc <&, et sa Force centrifuge suivant le prolongement de d % vaudra tndu!* (207). Les coordonnées du point m étant alors s et jr, si Ton décompose la force mduf % en deux autres parallèles aux axes des x et desjr, la première composante sera msut*. Décomposant de la même manière les autres forces centrifuges, on verra que puisque À' est un axe de symétrie du corps proposé, la résultante des forces centrifuges nwi/% mW*, ..., parallèle! aux #, sera nulle (a ta) \ le moment de cette résultante, par rapport au plan des xy, sera donc nul pareillement. Or, ce moment a évidemment pour expression u? 9 S -( msz ) \ il faut donc qu'on ait S ( msz ) == o, aussi bien que S ( mjrx ) = o. Ce qui donne S ( mxz ) r= XS (mz ) = XMZ (37). De là , puisque uX= v et «S {mxz) = Mi/*,, il en résulte x l r= Z. Ainsi lorsque Taxe de rotation À est parallèle à un axe principal À f , l'impulsion Mu est donnée en un point de la perpendiculaire à l'axe A menée par le centre de gravité G ; c'est-à-dire que le centre de percussion O est sur le prolongement de celte perpendiculaire, comme on !• vu plus haut (aaa).

a25. Bien que le choc applique au centre de percussion, n'exerce aucune réaction sur Taxe, on voit néanmoins que dans le temps qui suit, cet axe eàt pressé et tend à prendre un mouvement de translation. Car la rotation fait naître des forces centrifuges, qui ne peuvent se détruire deux 4 deux qu'autour d'un axe principal de rotation , passant par le centre de gravité. Et comme alors d=z o^jonr aurait a=z co 5 le choc n'aurait donc pu se faire au centre de percussion, infiniment éloigné.

L'axe fixe n'étant pas un axe principal de rotation , si l'on veut qu'une force donnée K imprime au corps le plus grand mouvement possible, il faudra appliquer cette force au centre de percussion ; car la force R étant alors entièrement consommée sur le corps, lui imprimera un mouvement de rotation plus grand qu'en tout autre point, où une partie de cette force serait d£-' Unité par taxe. Mais si le corps doit tourner autour de l'un de ses axes principaux, il est clair que le mouvement sera d'autant plus grand , que la force donnée agira plus loin de l'axe. Dans ce cas, cet axe aura éprouvé, au moment du choc, une réaction, qu'il aura fallu détruire ; après quoi le corps tournera antour du même axe , sans le presser.

<î'est par le centre de percussion que h corps doit frapper v

pour que l'effet du Coup soit le plus grand possible; car alors la résultante R de toutes les forces de rotation est entièrement consommée sûr le corps choqué ; ce qui n'arriverait pas si le choc avait lieu dans un autre endroit du corps choquant. Dans lès marteaux , la tête est généralement beaucoup plus massive que le manche; et en les posant par leur tête sur un plan horizontal, ils demeurent ordinairement en équilibre : et comme a>(2, on voit que le centre de percussion se trouve placé près du centre de gravité , dans la tête. La direction du choc passe donc alors par le centre de percussion ; ce qui explique pourquoi il n'en résulte aucune réaction dans la main de l'ouvrier, réaction qu'il est essentiel d'éviter, tant pour diminuer la fatigue, que pour augmenter l'effet utile du coup ; puisque de cette manière la force du choc est entièrement employée à comprimer le corps choqué , supposé invariable de position , ou placé sur un plan très-résistant. Les mêmes observations s'appliquent aux haches , aux pioches , etc

Le forgeron qui veut donner un grand coup , a soin d'élever le marteau au-dessus de sa tête et de lui faire décrire le plus grand arc possible. C'est qu'alors la distance d étant un maximum, et la force musculaire ou accélératrice ayant le temps d'imprimer au marteau une grande vitesse angulaire finale u (i54) ; il est clair que la valeur Mdu de la force R, qui agit au centre de percussion, devient fort grande. En général 4 la force du coup est d'autant plus considérable, que le corps choquant est tombé de plus haut, et qu'il a plus de masse.

aa6. Mouvement sur une poulie. Considérons le mouvement de deux poids P et Q, unis par un cordon de soie, passe sur la gorge d'une poulie CFB, mobile sans frottement autour de son axe horizontal (fig. 68). Le cordon pouvant être regardé comme sans pesanteur, soient m et m' les masses dont les poids sont P et Q. Supposons que le mouvement ak lieu par le seul excès du poids P sur le poids Q ; la force motrice constante sera donc P — Q ou (m — m f )g. Soit v le petit accroissement de vitesse , pendant le temps très-petit t et g 1 la mesure de la force accélératrice , que l'on peut regarder comme constante pendant ce temps. Alors si e désigne le chemin décrit pendant le temps t y en vertu de l'accroissement v de vitesse pendant ce temps , on aura (17g). vtrzgU et e-=l\tft % z=.\vt.

Soit r*S le moment d'inertie de la poulie, par rapport à son

axe, soit r son rayon et u l'accroissement de la vitesse angulaire pendant le temps t\ Paccroissement v de la vitesse des masses m et m', et des points à la circonférence, sera vz=iur. Soit I le moment d'inertie du système, par rapport à Taxe de la poulie; il est clair que I = (m-|-m f -j-S)r*; <^ ou

Iu* = (m + m' + S)t;\

La force motrice (m — m 9 ) g étant dans un plan perpendiculaire à Taxe de rotation, Paccroissement de son travail pendant le temps /, est \\u* (220) ; mais e étant Paccroissement du chemin parcouru , pendant le temps *, il s'ensuit que Paccroissement du travail de la force (m — n/)g est aussi (m — m f )ge \ il faut donc qu'on ait ( m m i ) ge — ^ M ».

Substituant les valeurs de * et u , on trouvera

v = — r— 7-7-5^1 d'où g= ,"">, -1/'" (0'

Quelle que soit la force accélératrice du système, puisque Paccroissement v de vitesse , c'est-à-dire la vitesse v que cette force imprime pendant le temps infiniment petit *, qui suit un temps quelconque, est toujours la même, pourvu que la durée infiniment petite t soit aussi la même, il s'ensuit que la force accélératrice proposée est constante, comme on pouvait d'ailleurs le prévoir. De sorte que les équations (1) sont celles du mouvement sur la poulie proposée , à partir du repos. Et la première de ces équations conduit à trouver quel doit être le rapport des deux poids P et Q, pour que le premier dorme au second la plue grande quantité de mouvement postible.

Les pressions exercées sur L'axe de la poulie par les forces centrifuges de ses différens points, se détruisent nécessairement deux à deux, à cause de la symétrie par rapport à lui ; la charge totale C que cet axe éprouve pendant le mouvement, se compose donc seulement du poids R de la poulie et des tensions inégales des deux cordons. Or, il est clair que ces tensions ont pour mesures respectives les forces perdues par les masses m et m'« c'est-à-dire P — mv et Q — niv\ ainsi on a

C = R-fP + Q — (m-f-m')v;

ce qui montre, comme on devait bien s'y attendre, que cette charge est toujours moindre que dans le cas de l'équilibre, où alors v sr o.

( 107 ) Si l'on ne voulait pas avoir égard à Phtero'e de la pôufie , il faudrait faire S ^r o, dans les formules précédente*. Mais alors là vitesse v deviendrait plus grande \ ce qui ne doit pas 1 étonner, puisque la gravité, bien que détruite par Taxe, emploi* cependant une partie de son action sur les masses m et m i po*f vaincre Finertie de la potlie : kt diminution de k vitesse Y ^tfand on a égard à cette inerte, vient donc de fe quantité **S ; et yoifii pourquoi cette quantité a été nommée moment d'inertie.

Lorsque la poulie a très-peu de masse, comme on peut toujours le faire, la quantité S est fort petite ; et en la négligeant, Terreur qui en résulte sur la vitesse v % peut être considérée comme nulle \ on a donc alors

Four évaluer l'erreur commise en supposant S = o, soit a Taxe ou l'épaisseur de la poulie entièrement massive : on a va que r*S = frat* oa S ==: frar*. Sia=i o*,oô& et r= o*, 1 , il viendra S = 0,000078 etc. , valeur négligeable, Séïea* à* ±= 11 et m'= 10; pour *= 1, on aura, en négftgeafit S, vas o m f 467o895 , et en conservant S , v s= o m , 4670837 : l'erreur n'est donc pas de o m ,ooooo6 , et serait beaucoup moindre, si la poulie était évidée, comme cela se pratique ordinairement..

327. Athood, physicien anglais, a fait usage des formules précédent tes, pour vérifier les lois du mouvement d'un corps qui tombe du repos v dans le ride. A cet effet, il s'est servi d'une machine qui porte deux poids P et Q, unis par un cordon passant sur une poulie, évidée dé manière qu'ayant três^reu de masse, Son poids passe par son axe; H a de plus rend» cette machine susceptible d'une grande précision, \° en faisant porter l'axe de la poulie sur des rouleaux mobiles, afin d'en diminuer le frottement; a en suspendant les poids P et Q à un fil de soie tarés-fin v pour que celui des deux corps ayant de son côté une plus grande longueur de cordon , n'ait pas son poids sensiblement augmenté ; 3° en ajoutant au système une horloge sonnant les secondes; 4° enfin, en faisant porter cet appareil sut un pied divisé en parties égales.

La machine d' Athood sert à plusieurs expériences intéressantes, etentre antres, à déterminer la valeur de la gravité dans chaque tien. D'abord si on suspend deux poids égaux, mais qu'on charge l'un d'un petit poids additionnel, qu'ensuite, à l'aide d'un arrêt attache au support, on» enlève ce petit poids à un instant déterminé de la chute, le mouvement devra continuer uniformément avec lia vitesse acquise, puisque les deux poids égaux se feront équilibre; on pourra donc ainsi créer un mouvement physique propre à donner une idée exacte de ù vitesse d* corps %

et modifier cette vitesse à son gré. De plus, si on prend les masses m et m' trés-peu différentes, les valeurs (a) de la vitesse v et dé la hauteur e de la chute, seront d'autant moindres que ces masses elles-mêmes seront plus grandes ; la chute sera donc aussi lente qu'on voudra , et on pourra en évaluer la quantité à chaque instant, avec d'autant plus de précision, que la lenteur du mouvement rendra pour ainsi dire nulle la résistance de l'air. L'expérience faisant ainsi connaître, avec beaucoup d'exactitude, les quantités e et «, et connaissant déjà d'ailleurs les poids de m et m', la seconde équation (a) servira à calculer la valeur de £, qui sera d'autant plus exacte, que le mouvement sera moins rapide.

228. Pression et percussion. Maintenant, si au lieu d'abandonner simplement les masses m et m f à la gravité) on imprimait à »i, de haut en bas, la vitesse verticale «, m étant d'ailleurs moindre que m! ; il est clair qu'on ajouterait ainsi au système une nouvelle force motrice mu, Communiquant aux deux masses m et m\ la vitesse commune ;r, et conséquemment la quantité de mouvement (m + wi') x% égale à la première mu \ d'où xz=.

■ ; » Et comme alors la vitesse v, fournie par la première

équation (2), est négative, puisque m<^m\ on aura, pour k vitesse v du système , au bout du temps t,

wn-r(m^- rn)gt

Gomme t est d'abord très-petit , on voit que la partie positive de v surpassera la partie négative pendant un certain temps, et que pendant ce temps, l'impulsion u l'emportera sur l'action de la pesanteur. Si donc on place d'abord le poids Q sur un plan horizontal, P entraînera Q pendant quelques instans, quelque grand d'ailleurs que m! puisse être à l'égard de m. On voit ainsi qu'il n'y a pas d'impulsion, si petite qu'elle soit, qui ne puisse vaincre le poids d'un corps.

Cela suppose néanmoins que le corps m ait acquis instantanément toute sa vitesse u \ tandis qu'en réalité, il faut toujours un certain temps, quoique souvent très-petit, à la force du choc pour produire son effet. Il peut donc arriver que la masse ni soit assez grande pour que le produit (ra f — m)gt surpasse, même dès le premier instant , qui n'est pas nul , la quantité de mouvement imprimée à m pendant cet instant.

Toutefois, comme le choc développe, dans un temps très-r court, une infinité de pressions fort grandes qui s'ajoutent en se succédant <f u P e manière continue, et que le poids est une prei-

•ion constante, détruite et renouvelée à chaque instant; on Voit qu'on ne saurait comparer le choc à la pression, parce que celle* ci est comme infiniment petite à l'égard de l'autre. C'est pour .cela qu'un clou entre assez avant dans un corps, lorsqu'on en frappe la tête , tandis qu'un poids , même assez considérable-, pose sur elle et sans choc, ne produit rien.

En général , on ne saurait mesurer par des poids , l'effet d'un corps en mouvement sur un autre corps qu'il rencontre. C'est que ces deux choses sont (out-à-fait distinctes et ne peuvent se rapporter à la même unité de mesure , Tune ayant un élément, la vitesse acquise , que l'autre n'a pas.

239. 11 faut cependant observer que la pression et la percussion peu* Tent se comparer, quand il s'agît seulement de la compression qui en résulte sur le corps : alors il est clair que le poids, après un temps plus ou moins long , produit un effet analogue a celui du choc ; parce ojie Je poids a aussi exercé une infinité de pressions, dont chacune a produit son effet particulier Renfoncement* XI peut même arriver que la compression soit beaucoup plus grande par un poids que par un choc ; et l'expérience a prouvé que la pression doit être préférée à la percussion, quand il s'agit d'aplanir et d'étendre les substances métalliques ductiles; mais alors ces substances doivent être placées entre les cylindres d'un laminoir.

La pression avec frottement doit encore être préférée, lorsqu'il s'agit de pulvériser des substances, et quand il faut cte'tacher do là surface de certains corps des particules de matières qui lui sont adhérentes. G'ett ainsi que, pour la moulure dés grains, les anciens ont obtenu un avantagé immense, lorsqu'ils ont abandonné les mortiers à pilons, pour adopter les meules horizontales superposées, dont l'une immobile et l'autre tournante, H en résulte un mouvement continue et uniforme, n'occasionnant aucune perte de travail ni de temps, et communiquant aux substances soumises au frottement, une force centrifuge qui les expulse hors de là machine, dés qu'elles sont séparées ou pulvérisées, et facilite ainsi l'introduction de nouvelles substances, lesquelles, à leur tour, éprouvent l'action des surfaces frottantes. On peut d'ailleurs régler convenablement la pression, en écartant ou en rapprochant les meules; et tels sont les avantages des moulins sur les mortiers à pilons..

On voit combien la pression peut être utile; mais iT est .plusieurs circonstances où la percussion est indispensable pour produire l'effet desîrét Cest ce qui a lieu, par exemple, lorsqu'il faut introduire un corps dans un autre qui se laisse pénétrer, tel qu'un clou dans un mur. Pour entrer dans le mur, le clou doit vaincre la cohésion et le frottement progressif qu'il éprouve à mesure qu'il s'avance ; et ces deux résistances croissantes, finissent bientôt par surpasser une pression même très-grande. VoilJ pourquoi un poids placé sur la tête du clou, ne produit presque rien, par la percussion réitérée du marteau, le clou peut toujours être?

introduit, aussi loin qu'on le veut; d'abord à cause de la faculté qu'a le moteur d'accumuler dans le marteau, en vertu de sa force musculaire, une grande quantité* de mouvement $ et ensuite, parce que chaque coej» de marteau produit deux eflets , l'un de faire entrer le clou dans la cavité formée par sa pointe dans le mur, et l'autre de comprimer le don ea augmentant pour un instant sa grosseur an dépend de sa longueur. Cette petite augmentation de grosseur tend à agrandir la cavité' formée dans le mur ; et aussitôt que la percussion cesse, le clou, en vertu de son élasticité, reprend sa première figure. De sorte que comme le mur n'est que très-imparfaitement élastique, il y a un vide entre lui et le don; et le coup de marteau suivant n'a* pour ainsi dire d'autre résistance à vaincre que celle qui s'oppose à la marche de la pointe du don*

C'est aussi pour produire un vide qui permette d'arracher aisément aa pieu fixé fortement dans le terrain, qu'on k frappe de diffiarens côtéi, ou qu'on exerce de fortes percussions sur sa téfte»

On voit d'ailleurs qu'un corps ne peut 4tre introduit dans un antft, à moins qu/il ne soit plus ô)pr et plus élastique q^e ce dernier^

Dp Choc des Corps.

a3o. Tons les corps sont plus ou moins ctympressibhs et phi ou moins élastiques. On sait que X&lasHcitl d'un corps est h force de ressort avec laquelle il tend à reprendre sa figure priaiitive, lorsque la cause qui Ta comprimé ou déformé cesse d'agir* Un corps est f<$rfaijenwnt êfatique* quand il reprend exactement sa première forme. L'air et les gaz sont très-co m pres s ible* et parfaitement élastiques. Il est des corps très-compressibles, qui n'ont presque pas d'élasticité; d'autres très-élastiques, qui ne peuvent être comprimés que d'une petite quantité; enfin , il en est qui sont à la fois très-peu compressibles et dénués d'élasticité, comme les boules de terre glaise,,

Lorsqu'un corps élastique vient frapper on pkua- fixe, dam une direction perpendiculaire à ce plan , i| se comprime conte le plan , c'est-à-dire son diamètre perpendiculaire diminue successivement , tandis que chaque section parallèle s'élargit ; le mobile perd alors graduellement sa vitesse, et la compression cesse aussitôt que cette vitesse est détruite ; à cet instant le corps commence à retourner vers sa première forme; son diamètre perpendiculaire augmente, et chaque section parallèle an plan fixe se rétrécit : pendant ce retour, la vitesse qu'il a perdue , lui est restituée en sens contraire et par les mêmes degrés qu'elle lui a été enlevée \ de manière que si l'élasticité est supposée par-

faite, le corps reprend exactement une vitesse égale et contraire à sa vitesse primitive. Ainsi l'effet général de l'élasticité est de rendre aux corps une vitesse égale et contraire à celle que la compression leur a fait perdre. Pour que la restitution soit com-i plète » il faut non-seulement que le corps soit parfaitement élas-i tique, mais aussi que la compression soit instantanée : autrement* des molécules reviendraient déjà à leurs positions primitives, avant que la compression ne fut effectuée entièrement.

S'il est question, par exemple, d'un corps pesant, abandonné li lui-même et tombant dans le vide, d'une certaine hauteur * sur un plan horizontal : la compression, produite par le choc, lui enlèvera d'abord toute la vitesse acquise pendant sa chute ; ensuite l'élasticité parfaite lui rendant une vitesse égale et contraire , le corps remontera à la hauteur d'où il est tombé (184), puis il retombera et remontera à la même hauteur, et ainsi éternellement, si le choc n'altère pas l'élasticité dont le corps est doué. Dans le corps d'une élasticité imparfaite, la vitesse rendue sera plus petite que la vitesse perdue; par conséquent, le mobile remontera à une hauteur plus petite que celle de sa chute ; d'où résulte un moyeu fort simple de comparer entre eux les degrés d'élasticité des différens corps.

Maintenant , pour apprécier le choc des corps solides, on considère d'abord ceux qui n'ont point d'élasticité et ensuite ceux parfaitement élastiques ; ce qui conduit a évaluer, par approximation, l'effet du choc des corps imparfaitement élastiques, que la nature nous présente. De plus , pour simplifier la question , on examine d'abord le choc central de deux sphères homogènes, dont tous les points se meuvent suivant des droites parallèles à celles que leurs centres décrivent, avec de certaines vitesses, données avant le choc et inconnues après \ et on cherche les expressions numériques de ces dernières.

23 1 . Corps non élastiques. Soient deux sphères homogènes, dénuées d'élasticité, se mouvant sur la même droite et dans le même sens. Il est clair qu'à la rencontre de ces deux sphères, la, vitesse du corps choquant diminuera et celle du corps choqué augmentera, jusqu'à ce que ces deux vitesses soient devenues égales : alors les deux mobiles auront atteint le maximum de la compression qui a toujours lieu , même entre )es corps les plus durs ; les deux sphères cesseront donc d'agir l'une sur l'autre : et comme on les» suppose dénuées d'élasticité, elles continueront

k se mouvoir avec une vitesse commune, en se touchant continuellement, comme si elles ne faisaient qu'un seul corps.

Soit u la vitesse commune ; soit m la masse du choquant et v sa vitesse avant le choc ; ni la masse du choque et v* sa vitesse avant le choc : il est évident qu'on peut considérer le choquant, à Piratant du choc, comme ayant les deux vitesses u et v— *, dans le même sens ; car v = u + (v — **)• ^ e m ^ me i * cause de v r =zu — (u — V), on peut considérer le choqué, à l'instant du choc , comme ayant la vitesse u dans le sens du choquant et la vitesse u — v* dans le sens contraire ; car la différence de ces deux vitesses est v f dans le sens positif au choc. Mais par la supposition , les corps ne doivent conserver que la vitesse commune U après le choc ; il faut donc que les forces qui produisent les vitesses contraires v — u et u— v f , se détruisent; ce qui exige que ces deux forces soient égales. Or, ces mêmes forces ont pour mesures m(v — u) et *»'(« — */), (i56); on a donc

fc m(v.— tft)z=m'(is — v*); d'où urz ■ / ■■ w - »'(4

Si le choqué allait en sens contraire du choquant, que non* supposons avoir la plus grande vitesse, 1/ deviendrait -— 1/ dans la formule précédente ; on aurait donc, pour le cas où les mobiles vont l'un contre l'autre ,

mv -•— m'v' *~ m + m' *

comme on peut d'ailleurs le vérifier, en observant qu'ici la résultante des deux forces mv et m f v r est égale à leur différence, et que cette résultante communique la vitesse u à la masse m-f-W.

Multipliant les deux membres de cette dernière formule par m', il sera facile de trouver le rapport qui doit exister entre les masses m et m' de deux corps, allant l'un. contre l'autre, pour que le plus grand m communique au plus petit m f , par le choc , la plus grande quantité de mouvement possible.

• aSa. Lorsque le corps choqué est en repos, sa vitesse v* avant le choc est nulle ; et il vient pour la vitesse commune, après h

choc, mv

' Si la masse choquée m f est extrêmement grande par rapport à la masse m choquante, l'expression de u devient extrêmement petite ; de sorte que la vitesse commune est comme nulle. C'est ce qui a lien , par exemple, lorsqu'un corps de petites dimensions

vient frapper contre nn rocher. On peut cependant s'apercevoir quelquefois que le mouvement de la masse choquée n'est pas absolument nul; car, par exemple, lorsqu'on jette une pierre , même assez légère, contre le tronc d'un gros arbre, on voit souvent les feuilles prendre un petit mouvement.

a33. Nous pouvons aisément apprécier la force $ inertie, au moyen de la formule précédente, qui donne mvz=:mu~\~m f H. Car le choqué m! étant en repos, le corps m, qui avait la quantité de mouvement mv ou mu 4~ m'u, perd par le choc, la quantité de mouvement m f u, puisque celle qui lui reste est mu. Or, m' acquiert précisément la force m'u qu'il a fait perdre à m. Cette perte de force, dans le corps w, annonce que le corps m f a opposé une résistance au mouvement, et cela indépendamment de Ja pesanteur ou de tout autre obstacle. Ainsi tout corps jouit de la propriété de résister au mouvement , comme le veut l'inertie (6), et c'est en résistant qu'il en reçoit : de plus, il en reçoit autant qu'il en fait perdre, parce que la réaction est toujours égale et contraire à l'action (19). En un mot, la résistance qu'un corps oppose au mouvement est due à l'inertie de la matière, et se trouve représentée , dans le cas actuel , par m f u. D'où il suit que la /crée <P inertie est proportionnelle à la masse , et far conséquent au poids du corps, bien qu'elle soit indépendante de la gravité*

a34« Garnot a fait voir le premier que si le mouvement f un système de corps non élastiques, éprouve un changement brusque, il en résulte une diminution dans la somme des forées vives de tous ces corps, et par conséquent dans la quantité de travail. Pour vérifier ce principe dans le choc de deux corps dénués d'élasticité, il suffit- d'observer que la formule (jï) donne a (m + m 1 ) v* = a (mv *|~ m'v f )u. Retranchant chacune de ces deux expressions égales hors de la même quantité mv % + «V + (m -f»W)u', puis décomposant en facteurs, on trouvera

mv*+ m'v 1 *— (m + m*) **= m (v -~- u)*+ m'(« — vf.

' Observant que v — u est la vitesse perdue par le corps m, tandis que u — v' est la vitesse gagnée par le corps m\ on verra que dans le choc de deux corps non élastiques, la force vive perdue est égale à la somme des forces vives relatives aux vitesses perdues ou gagnées.

235. Cette perte de force vive représente la quantité de travail peur produire le changement de formes qui 'résulte du choc des,

deux corps proposés. En effet, les chemins décrits pendant le temps très-petit t du choc, par les centres des corps m et m', en vertu des vitesses u — u et u — «/, Puue perdue et l'autre gagnée, sont évidemment proportionnels à ces vitesses, et peuvent être représentés par elles. D'après cela, le corps m ayant perd* la force m(v — si), le travail consommé par le choc de ce corps, a pour mesure m(u— *)\ De même, le travail consommé par le choc du corps «t'est m'(u-— v')\ Le travail total # employé au changement de formes qui résulte du choc, est donc effectivement m(v — tf)* + ro'(i«-~v')* = #.

Mais ce qui est bien remarquable, c'est que h travail total pour produire le changement ou la compression qui résulte du choc de deux corps non élastiques* est un minimum. Résolvant, en effet, Péquation précédente, par rapport à v, on trouvera, pour le minimum de ,

mv + rnfv* mm f * »^

et la valeur de u est précisément la formule (d).

Si le corps m va contre le corps m, il suffira de changer v* en — v 4 , dans les deux formules précédentes. Enfin, pour remplacer les masses m et vf par les poids V et P\ on observera que Vz=mg et P*= m'y.

Si Ton admettait à priori le principe de la moindre action (166}, les calculs que nous tenons d*eflectuer % conduiraient immédiatement aux formules du choc des corps non élastiques, qui sont ainsi une vérmcktioa de ce principe. Aussi lVt-oi* appliqué d'abord à ta recherche des formules relatives an choc des corps.

236. Coups élastiques. Considérons maintenant le choc de deux corps élastique*, ayant les masses m et s**, animées des vitesses v et v\ dans le même sens 5 m poursuit W\ et lorsque ces mobiles se rencontrent, ce qui suppose u> s/, ils se pressent mutuellement ,. jusqu'à ee qu'ils aient acquis une- vitesse commune u. Alors m a perdu la vitesse v — t* T puisque v =f — (y — m), et m' a gagné la vitesse u — t/, puisque u =sV+ (u — t/). Dans cet état, les corps ayant atteint le maximum de compression , ne se pressent plus, et la force de ressort n'est pas encore mise en jeu* De sorte que tout se passe comme si les corps n'avaient pas d'élasticité ; et il est clair que la vitesse commua* u est donnée par la formule (4).

Mais à cause de l'élasticité, dès que la compression cesse* 1a

restitution s'opère, et les parties comprimées reviennent à leur premier état, avec une force égale à celle de la compression, si les corps sont parfaitement élastiques, comme nous le supposons. Ainsi le corps m sera poussé par l'élasticité de m, dans le sens {Le la tendance commune , de manière à gagner de nouveau la vitesse u — 1>', tandis que le corps m sera repoussé en arrière par l'élasticité de m', et perdra encore la vitesse v — u ; d'où il suit que m aura perdu la vitesse a ( v — m) et m' aura gagné la vitesse a ( u — v) : donc en désignant par x et x 1 les vitesses de m et m\ après le choc, on aura

a? = » — a(» — u) ou x = 2tt — 1>, j/=s i/-f- a ( t* — v') ou a/z=at* — v\ Sur quoi on peut observer que si l'élasticité était imparfaite , les valeurs de x et x 1 seraient v — (i -\-n) (v— u) et u'+ (* + **) (a— v'), #1 estant une fraction comprise entre © et 1.

Puisque la valeur de u est donnée par la formule (d) , si on la substitue dans celles de x et x', on trouvera

__(*» — m*) v + 9mM

3? »—— — ■ — — — — m-J- ni

Ces formules donneront celles relatives au cas où m! va contre m , en y changeant v' en — t/, On voit par l'expression précédente de ar, que le corps choquant m continue son mouvement, reste en repos ou revient sur lui-même , suivant qu'on a mv -|amV >, = ou < m'v.

Si les deux masses m et m' sont égales, les deux corps échangent leurs vitesses et continuent à se mouvoir chacun dans le sens qu'il avait d'abord. Car s'ils vont dans le même sens, tnsn m' donnera x=v' et x'=zv : s'ils vont l'un contre l'autre, c'està-dire si la vitesse de m' est — v\ m =2 m' donnera x = — • »' et a/=».

Lorsque les mobiles vont l'un contre l'autre , si m=3m\ on a x=o et x'zzz iv \ et si «wrwV, il vient #=— -t> et a?':z: (t/) ; c'est-à-dire que les deux mobiles reviennent sur euxmêmes , en conservant les mêmes vitesses.

337. Supposons à présent le corps m' en repos ou v'zzo\ les formules (*) donneront alors

(m — nû)v , onw e ^

Tant que m sera plus grand que m', la valetif.de ;T sera fjosilive et le choqué se mouvera dans le sens du choquant. Qoaift à la vitesse de celui-ci, elle dépend du rapport de m à nl\ et suivant que m = 3m' ou m = m', on a x = ^r', ou x = o et x = 9. De sorte que dans ce dernier cas , le choquant reste en repos et donne sa vitesse au choqué. Cet effet se présente souvent au jeu de billard , où la bille choquante reste à la place de la bille choquée.

Quand la masse m' en repos est plus grande que l'autre m, celle-ci revient toujours sur elle-même ; car, par exemple m'^t 2m, donne xzzz — \v et x , z=z\v. Si la masse m' est infinie à lVgard de m, il vient xz=z — v et x' = o : le corps choquant perdra donc toute sa vitesse et retournera ensuite sur ses pu avec une vitesse égale.

238. Il est bien remarquable que la vitesse relative dé ieus corps parfaitement élastiques, soit la même avant et après h choc. Car si m et m' vont dans le même sens , la vitesse avec Ifquelle le choquant s'approche du choqué , est v — v', avant lé choc ; tandis qu'après , le choqué s'éloigne du choquant avec h vitesse ( 2w — v' ) — ( %u — » v ) , c'est-à-dire encore v — v'. Si les corps vont en sens opposés, ils s'approchent avec la vitesse t>+ vi avant le choc ; et après, le choqué s'éloigne du choquant avec la vitesse relative 2tt + v 9 — (aw — r), ou encore v-\-v\ comme avant.

23g. Le principe connu en mécanique sous le nom àe pria* cipe de la conservation des forces vives, consiste en ce que, maU gré les changement brusques de mouvement dans un système de corps parfaitement élastiques, la somme des forcée vives est le même avant et après le choc. C'est ce qu'on peut aisément vérifier pour les deux corps m et m', que nous avons considérés

jusqu'à présent \ car ayant à la fois

* mv 4- m'i/

X — 21* V. X'ZZ12U — v et utn — ^s

. m-\*mf *

si Ton substitue ces valeurs dans mx* + mfxf % % on trouvera»

réductions faites ,

mx* + mfx h ^n mv* -f- mv*.

Ce principe cesse d'exister, si les corps sont soumis à des forces accélératrices, telles que les frottemens contre des obstacles fixes ou dans des milieux résistans. Dans ce cas, la force yive varie à chaque instant : on* démontre qu'elle atteint son maximum toutes les fois que le système passe par une position dans laquelle il serait en équilibre subie, s'il y était

place inuneVliatement sans vitesse acquise; elle est au contraire H un minimum toutes les fois que le système passe pair une position d'équilibre instantané» r

î$o. On peut aussi observer que le changement qui a lieu pat U choc de deux corps élastiques, provient étùn travail total minimum. Car raisonnant comme plus haut (*3!>), on aura, pour Pexpressîon du travail I consommé par le choc,

m(> — xf + **'(** — vy = è.

Substituant à x 9 sa valeur x -}-, vr—v\ et résolvant l'équation résultante, par rapport à jr, il viendra, pour le minimum de #,

(m — mf) u -+• am r v f M . Amm f , % .

*— JjuZ •»- | = ~rr^ (•""•'/•

m -f- nv m -f- nv '

Cette valeur de x étant précisément la première formule (e) % il en résulte le théorème énoncé.

a4'« Le choc des corps élastiques et celui des corps dénués d'élasticité, onf une propriété commune qui n'est qu'an cas particulier du principe de la conservation du mouvement du centre de granité. Ce grand principe de mécanique consiste en ce que V action réciproque des différons corps tun mime système, qui agissent les uns sur les autres, soit en se choquant, soit de toute autre manière, n'altère pas le mouvement du centre de gravité. &u. système entier* ■ t \ ...

Pour vérifier ce théorème sur le choc des deux corps m et m' t soit A un point de la droite, que ces corps décrivent et vers lequel ils tendent. Supposons que les centres de gravité de m et m', et celui de leur système, soient éloignés de A des distances as % 5, C) à l'origine. du mouvement, et des distances a', b*, e>, après un temps quelconque t. Comme les poids sont proportionnels aux masses, il est clair (38) qu'on aura successivement (m +#w) c == ma + m'b et (m -f- m') c'— ma' + wi'i'$ d'où l'on tire

Les mouveraens étant uniformes , si l'on désigne par v , tf, y % les vitesses, avant le choc, des corps m et m 1 et du centre de gravité de leur système, et par x, x\ *, les vitesses après le choc; on aura évidemment, dans le premier cas, a~a'zzzvt, & -— - 6' = t/f , et c — f? ~yt \ d'où en substituant

(m-^m f )jr — mv-i-m f v* ... (i); et dans le second, a — a'zzixt^ h — Vznx't et c — c 1 r= zt\ d'où

( m + m* ) * = mx -j- m'x 1 . . . (a).

D'après les équations (1) et (2), si les corps m et ml sont dénués d'élasticité, leur vitesse commune u après le choc, donnera x^zxfz=LUt\ (a3i), Qm + tn')z st(ift4" m r )» = »w + inV rï(«+ m f )^; d'ouj"^:* } de sorte que les vitesses do centre de gravité seront les mêmes ayant et après le choc. Mais si les corps m et m! sont parfaitement élastiques $ dès que le choc leur aura donné le maximum de compression, ils auront une vitesse commune *, et il viendra, comme on Pa vu (236), x—iu—t et x'zzizu — v*\ d'où (m*|-tf4 f )s=£2(m + i»')tt-— •«»— tn t v r z=zmv<\-m t v f '£z(m-{-m f )y>\ ce qui donné encore jr~i. Le choc des deux corps ne change donc pas la vitesse du centre de gravité de leur système»

?£i. Pour vérifier par expérience, quelques-uns des nombres fournis par les chocs de deux corps, on attache à une barre horizontale ou à un point fixe, des fils de même longueur buxqoejs on suspend des hontes de terre glaise, pour le choc des corps durs ou dénués d'élasticité , et des billes d'ivoïr pour celui de* corps élastiques. On place vis-à-vis ces boules, et à peu de distance, un arc de cercle gradué, de manière qu'en partant du point le plus bas, où sera le zéro de VScheïïe, les cordes des ara croissent comme les nombres 1, 2, 3, 4î 5, etc.' Alors, si Ton élève deux boules, Tune à 10 degrés et l'autre à 6„ par exemple, les vitesses de ces boules, au zéro, c'est-à-dire à la fin des chutes , seront comme les nombres 10 et 6.

En général, les vitesses acquises au %Sro de VêcheUé > sont entre elles comme les cordes des aras parcourus» Car soient v et t/ les vitesses à la fin des chutes par les arcs EB et Dfi (fig. 69); comme ces vitesses sont les mêmes que celles acquises par la chute libre suivant les verticales CB et FB, on a v* ^z 2y • CB et i/'=2y • FB. Substituant les valeurs de CB et FB, tirées des équations BE* = BG . CB et BD a rr BG • FB , on en déduira

v* : v» :: be s : bd% ou » : j :: be : bd. ce ^n «wt démontrer.

Si l'on veut trouver l'angle BAEiT a «crus leqctel il faut élever le pendule AE=r, pour qu'il arrive en B avec la titésse *

donnée ; on aura à la fois 1 * cos a 1 1 r l ÀC et AC zzzr 1

d'où l'on tire v% **

cosasri— -— -•

Exprimant r et g en décimètres, et mettant dans cette formule,

C 209 ) nutcessiveteent pour è les nombres ï, 2, 3, 4i &> etc., on aura une série d'angles qui fera voir de combien le pendule doit être élevé, pour aVoir en B, 1 , 2, 3, 4i 5, etc., décimètres de vitesse. On peut donc ainsi former sur Parc BE une échelle de vitesses absolues.

243. Considérons maintenant une série de sphères élastiques* égales et homogènes, dont les centres soient rangés sur un même arc de cercle. Si on élève la première à un certain nombre de degrés , et qu'on la laisse tomber, on Verra la dernière décrire en avant un arc de cercle égal à celui que la première bille a parcouru en descendant, et celle-ci, ainsi que toutes les intermédiaires resteront en repos. Pour expliquer cet effet* il faut admettre que toutes les sphères ne sont pas en contact immédiat , et que de plus le mouvement se communique dans un temps inappréciable ; ce qui a lieu effectivement pour des billes devoir* sur lesquelles l'expérience réussit le mieux. Alors il es* clair que la seconde bille s'empare à l'instant de toute la vijtesse v de la première, qui se trouve réduite au repos (237) ; elle va ensuite frapper la troisième qui, à son tour, s'empare de toute sa vitesse; la troisième bille communique tout son mouvement à là quatrième* et ainsi de suite, jusqu'à la dernière, qui ne trouvant aucun obstacle , se porte en avant.

Si on élève deux billes à la fois à l'une des extrémités de la rangée, on verra également ^ après le choc, deux billes de la seconde extrémité s'écarter des autres et -se porter en avant ; mais ces deux billes se détachent l'une après l'autre , en sorte que la première commence à retomber avant que la seconde soit parvenue à la plus grande hauteur à laquelle elle doit atteindre. Ces effets tiennent à ce que les billes choquantes n'arrivent pas au même moment sur l'ensemble des billes choquées , et que par suite chacune d'elles produit son effet isolément.

On peut de même élever trois ou quatre billes à une des extrémités, et après le choc on verra trois ou quatre billes se détacher de l'autre. Mais lorsque le nombre de billes est plus grand, il faut réellement ne laisser tomber les billes qu'à divers intervalles très-petits.

a44 a Q P en * remarquer que si dans une série de sphères élasticités, inégales et homogènes, se touchant suivant une ligne passant par leurs centres, on veut, en imprimant une certaine vitesse y à la première a, que la dernière ait ta plus grande vitesse possible, après le choc s il

faudrafaire croître ou décroître ces sphères en progression géométrique» Soient en effet, a, £, c, <£, ..., A, les masses des n sphères proposées, et £', c*, *£', ..., k f , les vitesses que celle v de la première a, communique aux autres 6, c, tZ, ...,&: on aura (337)

,, aav . aW ,. ace' ,. zut

-Multipliant ces égalités entre elles, puis m, p^ q, étant trois masses consécutives quelconques, soit 9 le produit de a"""V par celui de toutef ' les autres, excepté A:, et » le produit de tous les binômes qui multiplie ( m +p ){p +q ) pi viendra

(m +i>) (/? + Sf) *# = Çmpq.

Le nombre n de masses, la première a et sa vitesse v étant données, supposons que toutes les autres aient les valeurs qui conviennent au maximum de A' : il est facile de voir, en résolvant l'équation précédente par rapport à p, que ce maximum répond à p* = mq. De sorte que pour le maximum de la vitesse du dernier corps , il faut que chaque masse soit moyenne proportionnelle entre ses 'deux voisines ; donc toutes les masses forment une progression géométrique. Désignant donc par r la raison de cette progression, on aura, pour le maximum de k\

Tant que a, v et n sont les seules données, r peut être pris à volonté) et k f a une infinité de maximums inégaux : le plus grand de tous répond à r infiniment petit et le plus petit à r infiniment grand. Si r=i, on aura k f =zv^ comme cela doit être*

a4S* Choc excentrique. Jusqu'à présent nous ayons supposé que la direction du choc passe par les centres de gravité des corps choqué et choquant ; voyons maintenant ce qui arrive lorsque cette direction est excentrique, Remarquons d'abord que si un corps non élastique À vient choquer un plan invariable CD suivant une direction AB oblique à ce plan (fig. 70); en décomposant sa vitesse en B en deux autres, Tune perpendiculaire et l'autre parallèle au plan ; la première sera détruite, puisque le corps n'a pas d'élasticité ; et quant à la seconde, elle conservera évidemment toute sa grandeur; le corps glissera doue contre le plan , de B vers C.

Mais si le corps À est parfaitement élastique, aussi bien que

le plan, la vitesse perpendiculaire au plan, d'abord détruite,

sera ensuite restituée en sens directement contraire, dans toute

*on intégralité, par l'élasticité supposée parfaite des deux corps :

et comme la vitesse parallèle au plan ne change pas , il est clair

que la nouvelle vitesse résultante sera égale à la proposée, et que le corps A décrira la diagonale BË d'un rectangle parfaitement égal à cefci dont AB est la diagonale ; on aura donc Pangle DDE de réflexion égal à Pangle ABC ^incidence. On voit donc que si un corps parfaitement élastique vient frapper un plan inébranlable suivant une direction oblique à ce plan, il se réfléchira sur ce plan avec une vitesse égale, en formant V angle de réflexion égal à V angle d'incidence.

Si le mobile élastique allait choquer une surface courbe inébranlable, il faudrait concevoir au point de contact un plan tangent , et y- appliquer ce qui vient d'être dit ; car l'endroit choqué est une petite portion de ce plan. Alors en appelant angles ^incidence et de réflexion ceux que la normale fait avec les directions du mobile, avant et après le choc, ces deux angles Seront évidemment égaux.

246. Supposons présentement que le corps choqué B, soit une sphère élastique de masse m! et en repos , et que le corps choquant A , élastique , de masse m , se porte sur Pautre avec la vitesse 0, de manière que la direction de son mouvement ne passe pas par le centre de B (fig. 71). Lorsque A viendra choquer B et sera en A f , si Pon mène par le centre de A r une perpendiculaire CD à la droite EF qui passe par ce centre et celui de B , on pourra décomposer la vitesse v de A en deux autres , Tune v cos a suivant A'D , qui n*aura aucune influence sur la sphère B, et Pautre v sin a, dirigée suivant A'F, entraînant B le long de cette droite. Désignant par x et x 1 les vitesses de A et B suivant ÉF, après le choc, il est clair (287) qu'on aura

(m — mH-vsina , ïmvsina

X ZZ ^ et X r ~ r* •

Connaissant m , m\ v et a , il sera facile de trouver le mouvement de A après le choc. On voit aussi que si Pon connaît la position initiale de A et B, on pourra déterminer la direction qu'il faut donner à la bille A, pour qu'en frappant fi, elle dirige celle-ci en un point donné F. Si m = m', la bille B acquerra toute la vitesse de A suivant AT?, et celle-ci n'aura plus que la vitesse v cos a de A' vers D.

Ces effets se présentent continuellement au jeu de billard \ mais ils sont accompagnés de diverses circonstances qui tiennent au frottement des billes Pune sur Pautre ou sur le tapis. Ainsi il arrive souvent que la bille choquante, restant à peu prés à la place de la bille choquée, se trouve

animée d'un mouvement rapide de rotation autour d'un axe perpendiculaire au plan du billard ; ce qui vient de ce que les centres des deux billes ne s'e'tant pas trouvés exactement sur la direction du mouvement, les deux corps ont glissé avec frottement l'un sur l'autre. Il arrive aussi quelquefois que la bille choquante roule après le choc sur le plan dû billard* en tournant sur un axe horizontal : ce mouvement est dû au frottement de la bille sur le drap. Les deux effets précédens peuvent aussi provenir, quelquefois de ce que le joueur n'a pas pris sa bille en plein»

On peut voir ce qui arrive lorsque m' = 3111, ou quand m = 3n/. Enfin , l'égalité des angles d'incidence et de réflexion, conduit à résoudre les deux problèmes de jeu de billard que voici : i° lancer une Bille donnée, de manière A toucher une autre bille aussi donnée de position, après avoir frappé une ou deux bandes du billard ; a° mouvoir wu aille donnée, de façon qu'après avoir frappé une bande du billard, dsV aille choquer une autre bille et l'envoyer dans une direction donnée*

Dans ces problèmes, les billes et les bandes du billard doivent An parfaitement élastiques ; mais de plus la bille choquante ne doit pas ajoir de mouvement de rotation sensible. Car M. Poisson a fait voir que l'angle de réflexion dépend dn mouvement de rotation dont cette bille est animée, et qu'il n'est plus égal à l'angle d'incidence quand on u'eat compte du frottement contre la bande. De même, dans le tire à ricochet, le frottement du boulet contre le terrain et la vitesse de rotation influent sur l'angle de réflexion qui, pour cette raison, peut n'être pas égala l'angle d'incidence.

247 • Il nous reste maintenant à examiner le choc de deux corps de formes quelconques. Supposons d'abord que la normale , au point de contact des deux corps , passe par leurs centres de gravité; si cette ligne est la direction du mouvement, il est clair que tout ce que nous avons dit sur le choc de deux sphères élastiques ou non, s'appliquera exactement au cas actuel* Mais si le mouvement n'est pas dirigé suivant la normale proposée , il faudra décomposer la vitesse du corps choquant en deux, Tune suivant la normale et l'autre perpendiculaire à sa direction; on déterminera ensuite les circonstances du mouvement, après le choc, comme plus haut (246).

Nous avons vu (176) que si la normale au point de contact passe seulement par le centre de gravité du choquant A, sans passer par celui du choqué B , ce dernier acquiert à la fois le double mouvement de translation et de rotation ; mais le corps À ne prend aucun mouvement de rotation ; et s'il en possédait primitivement un , il n'est pas altéré par le choc. Quant an corps B, s'il avait d'abord un mouvement de rotation, ce mouvement sera changé ; et il ne le sera que dans sa vitesse, si les forces d§

( 213 ) couple produit par le choc, ont les mêmes directions respectives que les forces du couple produisant le mouvement de rotation primitif.

Il est clair d'ailleurs que si la normale au point où le corps A. choque le corps B, ne passe pas par leurs centres de gravité, ces deux corps , par leur choc mutuel , acquerront chacun un mouvement de rotation.

Enfin le corps choqué pourrait être retenu par un axe fixe. Considérons , par exemple , un corps de masse » et animé de la vitesse », allant choquer un autre corps en repos, et retenu par un axe fixe A , autour duquel il peut librement tourner. Supposons que le choc ait lieu perpendiculairement au plan qui contient Taxe A et le centre de gravité G du second corps , la. direction du choc étant normale aux deux surfaces, au point de contact , et passant par te centre de gravité du premier corps : r» supposons de plus les deux corps dénués d'élasticité. Le premier agira sur le second , jusqu'à ce qu'il ait communiqué aux points choqués , une vitesse égale à celle qui lui restera ; et il est clair qu'alors les deux corps ne réagiront plus, et tourneront autour de A, comme s'ils n'en faisaient qu'un seuK

Soit a la distance du centre de gravité de #, après le choc; «T sa vitesse perdue et u la vitesse angulaire gagnée par le choqué : la vitesse du choquant, dans la direction du choc, sera donc ait; et on aura if zzlv — au. Soient »i, m', W, ... , le* sommes des masses des molécules du choqué, aux distances respectives r, r*, r*, ..., de l'axe A ; leurs vitesses après le choc v seront respectivement ru, r 7 !», r"tt, ... , et leurs quantités de mouvement, otru, mVw, «V», ... ; de sorte que la somme des momens de ces forces, par rapport à l'axe A, sera lit, t désignant le moment d'inertie du second corps , par rapport au même axe. La résultante des forces précédentes est évidemment k force ait perdue par le choquant « ^ le moment a»i£ de cette résultante, par rapport à l'axe A, est donc égal à la somme Ii* dès momens des composantes ; c'est-à-dire qu'on a 0*9*= lu» Substituant la valeur r — au de 2/, il vient

Cette équation détermine la vitesse angulaire », dans le mouvement qui résulte du choc des deux corps proposés. Et on en* déduit aisément la valeur que doit avoir 0, pour que cette vitesse soit un maximum , 0, * et I étant donnés.

a4St Pbzvcipe de d'Albmbert. Dans I 1 exemple que nous venons de traiter, on pourrait faire usage de l'axiome que nous allons développer* Concevons un système de corps, sollicités par des forces quelconques; la liaison de ces corps contraindra chacun d'eux à prendre un mouvement différent de celui qu'il aurait acquis s 1 il eût été libre ; et cette différence de mouvement dépendra évidemment de la nature du système : or, si on introduit de nouvelles forces qui, agissant sur chaque corps en sens contraire de son mouvement effectif, le réduise au repos, le système sera, nécessairement en équilibre. D'où il suit que dans tout système de corps, les quantités de mouvement imprimées , et celles qui ont lieu, prises en sens opposés, ou avec le signe -r-, doivent se faire mutuellement équilibre, en ayant égard à la nature du système .

Cet axiome est connu sous le nom de principe de aVAlembert, parce qu'on, en doit renoncé et plusieurs applications à ce grand géomètre)' hien qu'avant lui, Jacques Bernouilli en eut déjà fait usage,' d'une manière moins explicite. Ce principe est précieux par son évidence et» grande généralité ; car il donne le moyen de mettre, en équations beaucoup de problèmes de dynamique, et de ramener ainsi les lois du mouvement à celles de l'équilibre. Mais il faut bien observer que les quantités de mouvement, respectivement égales et contraires à celles qui ont lieu, né sont pas égales et contraires à celles imprimées ; elles ne peuvent dono détruire ces dernières qu'à l'aide du système de corps, qui devient ainsi une véritable machine \ et conséquemment , pour l'équilibre, il faut avoir, égard à la liaisqn des parties du système.

Le principe de d'Alembert reçoit un grand nombre d'applications importantes, pour lesquelles nous devqns renvoyer aux traités complets de mécanique. Il est bon d'observer néanmoins, que ce principe est souvent suppléé avec avantage, par les notions sur le travail mécanique des forces, qui sont par suite encore plus élémentaires. Et c'est ce qu'on peut voir, par exemple, en cherchant, d'après ce principe, les équations du mouvement sur une poulie, que nous ayons obtenues an n° aa6. On trouve* rait aussi , de l'une ou de l'autre manière , les équations du mouvement de deux masses sur un treuil ou sur deux plans inclinés adosses.

249* Applications diverses du choc. Dans ce qui précède, nous avons supposé que les corps élastiques n'emploient qaHm temps inappréciable pour s'aplatir .autant que l'exigent leurs vitesses acquises, et revenir à leur état naturel. Mais il n'y a que peu de corps qui jouissent de celte propriété, tels que l'ivoir, le marbre , l'acier trempé , etc. ; car la compression dure toujours un temps plus ou moins long : et comme la force élastique commence à se développer à l'origine même de la compression, il s'ensuit que la force élastique a déjà séparé les corps avant que là pression ait produit tout son effet. On conçoit d'après cela, que les lois du choc ne sont applicables qu'à un très-petit nom-

C 21S ) hte de corps qui réellement emploient un temps très-court pour se comprimer. Mais ces lois n'en sont pas moins utiles à connaître, parce qu'elles fournissent quelquefois des approximations suffisantes, pour les corps imparfaitement élastiques, et que combinées avec les causes qui les combattent, elles conduisent à l'appréciation des effets. Souvent même ce n'est qu'en faisant entrer le temps en considération, que ces lois servent à expliquer l'effet produit.

Par exemple, tout le monde sait qu'une tasse de porcelaine ou un verre, se brise en tombant d'une petite hauteur sur les carreaux d'un appartement carrelé ; tandis que cela n'arrive pas aussi souvent sur un parquet, et n'a jamais lieu lorsque cette tasse bu ce verre tombe d'une très-grande hauteur sur un tas de paille. Tout cela est facile à concevoir : dans le premier cas, les corps choquant et choqué étant de ceux qui reviennent à leur état naturel dans un temps inappréciable, toute la vitesse se perd dans un temps infiniment court, et il en résulte, au moment du choc,' «ne pression considérable, qui produit la cassure du choquant. Dans les autres cas, au contraire, et surtout dans le dernier, le corps choqué cédant peu à peu et ne reprenant sa première forme qu'après un temps plus ou moins long, la vitesse du mobile ne se perd que petit à petit, et l'effet du choc se trouve partagé en plusieurs instans.

On expliquera de la même manière , pourquoi en battant un morceau de métal sur une enclume, on parvient à le forger à volonté, tandis que si Ton plaçait un ressort à boudin entre l'enclume et le métal , à peine laisserait-on sur le corps quelques marques du choc. On verra aussi pourquoi il est impossible de forger un métal sur un bloc de bois, ou avec un marteau de bois.

Divers ouvriers, comme les planeurs, les orfèvres, etc., qui travaillent en chambre, où ils sont obligés de forger des métaux, ébranleraient considérablement le plancher, s'ils n'avaient trouvé le moyen d'amortir les coups, en plaçant sous les billots qui supportent les petites enclumes, des nattes de paille où d'autres corps qui ne cèdent que petit à petit.

Tous les forgerons savent que pour forger les métaux, il est nécessaire que l'enclume soit très-lourde et placée sur un plancher tré*6olide. Effectivement, dans ce cas, la force du coup se déploie instantanément sur le corps et produit tout son effet de compression $ car la masse de l'enclume et du plan résistant, étant comme infinie à l'égard de celle du marteau, la vitesse de l'enclume dans le sens du choc, est nulle (a 3^); et par suite toute celle du marteau est consommée sur le métal. Si l'enclume était légère et placée sur un plancher lentement élastique , la force du coup ne se déploierait que successivement, et une partie du choc serait employée à imprimer à l'enclume une certaine vitesse inutile.

On voit aussi pourquoi les cordonniers peuvent placer impunément sur leurs genoux, une forte pierre pour recevoir les coups du marteau dont ils frappent les semelles de soûÛers. C'est que la vitesse communiquée à

la pierre est tris-faible, et que de plus la flexibilité naturelle de la chair* et de l'étoffe qui couvre les genoux suffit pour amortir l'effet du coup au point de le rendre insensible, ou do moins sans dangers* On pourrait de même forger du fer avec une forte enclume posée sur le corps d'un homme, sans que celui-ci éprouvât les effets du choc, d'une maniera sensible et dangereuse pour sa santé.

a5o. En général, dans la communication du mouvement, h durée t. une grande influence sur l'effet produit. Par exemple, lorsqu'un projectile est lancé avec une certaine force et rencontre un corps d'une grande étendue, mais de peu d'épaisseur, si la vitesse du projectile est peu considérable, la pression éprouvée par les parties qu'il frappera immédiat* ment, se transmettra aux parties voisines et le corps sera brisé sur ans grande étendue. Mais si la vitesse du mobile est très-grande , la pressioa ne pourra se transmettre qu'à une petite distance, pendant le temps infiniment petit que le projectile mettra à traverser le corps, et par quent ce dernier ne sera brisé que sur le chemin du mobile. C'est qu'une balle tirée à une petite distance d'une vitre, la traverse en me faisant qu'un trou circulaire, et la brise en totalité si la distance est asm considérable pour que la balle ait peu de vitesse. De même, un beeldt de canon, à demi-portée, traverse un navire en ne faisant qu'une petite ouverture, et le brise sur une surface plus ou moins étendue, à une es* tance assez considérable pour que la vitesse soit beaucoup moindre.

On voit aussi pourquoi la partie supérieure du fusil d'un fantassin peet être emportée par un boulet , sans qu'il s'en aperçoive, comme cela arrive quelquefois; pourquoi on peut tirer une balle dans une porte ouverts très-mobile , sans la mettre en mouvement ; pourquoi un bâton faiblement appuyé par ses extrémités, peut être cassé par un grand coup appliqué vers son milieu, sans que les supports aient éprouvé «ne pression notable.

Il existe un grand nombre d'autres effets, qui ne dépendent p* précisément de l'élasticité, mais qui se rapprochent, dans le fond, dés en** précédais. Ainsi un bateau se brise lorsqu'il vient se heurter contre ut rocher ou contre les piles d'un pont, tandis que le même accident n'ar* rive pas lorsqu'il vient frapper contre un autre bateau : c'est que, « frnj le premier cas, l'obstacle ne cédant pas sensiblement, le mobile perd si vitesse instantanément, tandis que dans le second cas, l'obstacle venant ? céder, le mobile ne perd sa vitesse que par portions successives*

On sait que pour arrêter dans sa chute un corps d'un certain poids, 9 faut lui céder a l'instant du choc, au lieu de se raidir tont-à-coupeoatre lui. Les bateliers savent que pour arrêter, au moyen d'une corde, «m bateau entraîné par le courant d'une rivière, il faut laisser filet un peu pour vaincre l'effort par degrés; sans cette précaution, la corde pourrait se rompre.

Les fortifications de campagne que l'on construit avec des espèces de paniers cylindriques sans fond (gabions), placés les uns à celé des aulre*i et qu'on remplit ensuite de terre, résistent, en quelque sorte, avec

pins d'énergie à l'action des projectiles lances contré elles, que ne le ferait une construction de maçonnerie \ parce que la terre cédant facilement au choc, le projectile s'y enfonce et perd peu à peu sa vitesse, et qu'au contraire la maçonnerie s'opposant brusquement au choc, fait perdre au projectile toute sa vitesse en un instant; d'où il résulte une pression énorme,

a5 1. Nous avons vu (186) que le travail a pour mesure la moitié de la force vive acquise ; et que si une machine était parfaite dans ce sens qu'elle agirait sans frottement et emploirait utilement toute la force communiquée , son travail , c'est-à-dire

son effet dynamique serait représenté par -=r (*64)î C€ <pû re ~

vient à la force vive £MV* divisée par T. Or, comme l'élasticité des corps est bien loin d'être parfaite, les chocs dans les machines entraînent nécessairement des pertes de forces vives (a34), et par conséquent diminuent les effets dont ces machines sont ca^ pables. On doit donc, par cette raison, évite* les changement brusques, et aussi parce qu'ils détruisent les agens et rendent les actions irrégulières. Ainsi pour qu'une machine soit bien combinée, il faut, autant que possible, qu'elle marche sans bruit ni secousses, et que les chocs y soient remplacés par de simples pressions ? si le mouvement doit changer de direction, il faut ralentir peu à peu la vitesse jusqu'à zéro à l'instant où le changement va se produire. On voit d'ailleurs que pour éviter les pertes de forces , il faut faire que la machine ait un mouvement continu, lequel ne peut être qu'un mouvement de rotation, et qui a d'ailleurs l'avantage d'occuper peu d'espace.

Mais ordinairement le mouvement des machines n'est pas, régulier, soit parce que la résistance varie, soit parce que le moteur a des intermittences ou que son action ne s'exerce pas. dans des circonstances également favorables. Ainsi l'homme qui tourne une manivelle a moins de force quand il la relève que lorsqu'il s'aide de son poids : de même , dans le va-et-vient j la force développée est nulle à la fin de chaque course. Pour régu-* lariser l'action motrice, on charge l'axe de masses, ou plutôt oa y adapte une roue de fonte : c'est ce qu'on appelle un volant* On préfère une roue et , en général , un corps symétrique par rapport à l'axe de rotation , parce qu'alors la force centrifuge n'exerce aucune action sur cet axe. La meule de grès du rémouleur tient lieu de volant : elle régularise la pédale intermittente et \e mouvement a une vitesse à peu près constante.

Dam les premiers instant do mouvement, l'inertie d'an lourd volant résiste au moteur; maïs dès qu'il tourne, on retroore cette quantité de mouvement dans les instans d'interrnîssion, ou pour surmonter les résistances ; car pour arrêter le volant, il faudrait développer une force égale et contraire à celle qui l'a animé. Cette masse continuant à tourner, est un véritable dépôt de force destiné à régulariser les actions du moteur : elle détruit les résistances accidentelles, supplée quelques momens à la force dans le repos et résiste à son tour à celle-ci quand elle exerce sa plus grande puissance.

Plus le volant a de masse et de vitesse , mieux la régularité s'établit. Mais l'accroissement de poids entraine celle du frottement de l'axe ; on est donc forcé de se renfermer dans des limites. È qu'imposent d'ailleurs la nécessité d'un premier effort, la difficulté des transports, etc. La règle pratique indiquée par l'expérience, est de faire le rayon du volant quatre ou cm f fris celui de la manivelle; ayant soin d'ailleurs de l'adapter a l'axe qui tourne avec le plus de rapidité. Et comme l'effet dynamique de la roue a pour mesure la masse multipliée par le demi-carré de la vitesse , on voit qu'il est avantageux d'accroître la vitesse du volant et d'en diminuer la masse. ( Voyez la Mécanique de Francœur. ) . . .

C'est ce qu'on peut trouver encore d'une autre manière. Car soient deux roues évidées, ayant à leurs circonférences des bandes circulaires de même niasse et faisant leurs révolutions dans le même temps : il est clair que les quantités de mouvement sont comme les vitesses et aussi comme les rayons. Par conséquent , si l'on veut accumuler dans une masse donnée une grande quantité de mouvement, on aura d'autant plus d'avantage , que cette matière sera distribuée sur une circonférence d'un pins grand rayon, ou qui aura une plus grande vitesse. On voit aussi qu'à niasses égales, il est beaucoup plus pénible de faire tourner une grande roue qu'une petite,

• Bien que le choc soit nuisible à l'effet des machines, il est cependant quelquefois utile d'opérer par le choc sur la matière à confectionner *, c'est ainsi , comme nous l'avons déjà remarqué, que procèdent les forgerons pour donner différentes formes aux métaux, et les cordonniers pour > étendre les semelles de cuir et en augmenter la raideur, la densité, k force de ressort; mais alors, un ouvrier qui a l'expérience de son art, ne manque jamais d'employer des marteaux, des enclumes, ou tout autre corps plus ou moins élastiques, afin que la force vive consommée soit, du moins en très-grande partie , employée à produire le changement de forme, qu'il s'agit d'obtenir. Et c'est ce qui aura lieu toutes les fois que l'enclume, et en général la masse élastique sur laquelle est appuyée k

matière à confectionner par le choc, sera três-çonsidérable (237); et il y aura déplus cet avantage, que l'élasticité, en renvoyant le coup, servira à élever le marteau contre l'action de la pesanteur, et aidera la main de l'ouvrier habile qui saura en profiter.

Le choc est aussi très-utile dans le battage des pilots de fondation, de même que dans plusieurs autres procédés des arts ; et on peut voir à ce sujet, les applications que M* Poncelet en donne dans la 1" partie de sa Mécanique industrielle.

Bu Pendule.

252. C'est en vertu de la gravité qu'un corps suspendu à un fil, se soutient dans la position verticale et qu'il y revient dès qu'on l'en écarte. Tout corps pesant, suspendu à une verge métallique ou à un cordon , est nommé pendule composé : les géomètres conçoivent un pendule idéal , formé d'un fil inextensible, sans pesanteur, à l'extrémité duquel se trouve un point matériel pesant; c'est ce qu'ils nomment un pendule simple. Si un tel pendule n'existe pas dans la nature , il est néanmoins très-utile pour exprimer commodément les observations faites avec le pendule composé, qui approche de cet état idéal, comme nous le verrons bientôt.

Si le pendule CA (fig. 72) est tiré dans la position GB, puis abandonné à lui-même , il parcourra l'arc BA d'un mouvement accéléré ; mais l'accélération ne sera pas uniforme, parce que la pesanteur est en partie détruite en G, par. la résistance du fil , et l'est de plus en plus, à mesure que le mobile avance vers A, où elle l'est entièrement. En ce point le corps a acquis une certaine vitesse horizontale, en vertu de laquelle il doit continuer à se mouvoir ; il continue donc à parcourir la même courbe. Mais comme l'action de la gravité agit alors pour retarder sa marche, éa vitesse décroît par les mêmes degrés qu'elle croissait lors de .la chute suivant l'arc BA ; de sorte qu'en tirant l'horizontale BD, le corps se trouvera en D à l'état où il se trouvait en B. Il descend donc vers A, puis remonte en B, descend dé nouveau, et ainsi de suite. L'excursion BAD est nommée oscillation. Les oscillations iraient à l'infini , si la résistance de l'air et le frottement au centre de suspension ne ralentissaient successivement le mouvement , et de telle manière , que dès le premier instant le mobile ne monte pas réellement jusqu'en D, et que les arcs qu'il décrit deviennent de plus en plus petits, jusqu'à ce qu'enfin le pendule s'arrête.

Il est visible d'ailleurs que le corps A se meut comme s'il était assujéti à décrire Tare vertical BA ; ainsi en chaque point de cet aro, il a la même vitesse que s'il était tombé d'une hauteur verticale égale à la distance du point à l'horizontale BD (194)*

253. Considérons un pendule composé, ou mieux un corps quelconque STU, oscillant dans le vide autour d'un axe horizontal A. Appelons M la masse de ce corps, de manière que son poids soit My. Soit u la vitesse angulaire acquise par le corps proposé dans l'intervalle où son centre de gravité passe de la position initiale G, où il était en repos , à la position quelconque G* (fig. 73). Soit à la distance A G de ce point à l'axe A, et/ la hauteur G'H dont il est descendu quand il est arrivé à ht position G 1 que l'on considère ; soit enfin I le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe horizontal A. Nous avons vu (220) que lu* est la force vive acquise par le corps , après avoir parcouru l'arc GG*, et que Myj* mesure la quantité de travail de la pesanteur pour amener le point G en G' ; ainsi on aura lu* = aM^(i86).

Remarquons que pendant que le centre de gravité décrit l'arc GG', il s'en décrit un autre semblable CM, par le point C, situé' à la distance AG = 1 de l'axe A, et que la hauteur MP = A dont ce nouveau point descend par rapport à sa position initiale, est telle qu'on a 1 * à H h • y = âh\ ce qui donne

lu* ^ iMgdh, ou u* =2 -=- X 2yA.

Désignant par * le petit arc décrit à l'unité de distance, pendant le très-petit temps 0, à partir de l'instant où la vitesse angulaire est devenue v; il est clair (i55) qu'on aura cette vitesse en divisant l'espace infiniment petit e ou MN, par le temps infiniment petit t employé à le décrire ; de sorte qu'on aura u = — .

Sur quoi il faut bien observer que t est le temps pendant lequel le corps STU passe d'une position quelconque à une position très-voisine. Substituant cette valeur de # , on trouvera

Maintenant considérons ce qui se passe à l'unité de distance. Nous avons l'arc MN s= e : prenons BEL = 6, flèche de Pare GBC, et sur BR comme diamètre, décrivons la demi-circonférence BmK ; tirons les horizontales Mm et N», et les verticale*

C 221 ) NQ, nq ; nous aurons hezzzb—-h. Dans les cercles dont À et a sont les centres , on a

M* = j/B«(a — B*) et me = J/B«(ft — B«).

Ainsi en substituant 5 — A à B* , il vient

me I / h

Les deux triangles semblables MNQ et AM*, donnent M* *

NQ ; : AM : MN, ou M* : nq : : i : c z=z ^. De même, les deux

triangles semblables orne et mnq fournissent om ou \b * mrt * •

«ne ; nq = -7- X me. Ainsi

amn me ^ ^ amn ■ / A

C — "X >< Me"~~|/ a — (* — A) ;

Substituant cette valeur dans Péquation (i), on aura, pour le temps t employé à parcourir Parc MN,

b Y dgMy a — (* — h)

D'après cette expression , il est visible qu'on a , en désignant par R le premier radical ,

/> T Ret/< T Rj/ rr

On aurait des expressions semblables pour tous les temps que le pendule met à décrire le demi-arc GB \ donc la somme de tous ces temps , ou la moitié de la durée T d'une oscillation en* tière , donne

iT>^Re t *î<5£5 R j/-^

KmB Et comme — -r- est le rapport de la demi-circonférence KmB

à son diamètre, et vaut par conséquent \%\ si Pon développe la seconde racine carrée , on trouvera

T>*R et T<*R^i+^ + £* a -f etc.)-. (2).

On aura une valeur de T, sinon rigoureusement exacte, du moins très-approchée de la véritable, en prenant la demi-somme

= w Vé

de ces deux expressions ; car les différences en plus et eu môirif, se détruiront en partie. Ainsi on peut dire que

T = *-R(i+^ + â** + etc.)...(3).

Si l'arc décrit par le pendule est très-petit, comme cela an-ire dans les applications, cet arc coïncidera presqu'avec sa corde, et la flèche b pourra être regardée comme nulle. On aura donc alors, en remettant la valeur de R,

dgW. '" W-

Cette valeur de T est un peu trop petite ; mais pour un arc donné on pourra toujours apprécier Terreur résultante, au moyen des inégalités (2). Et d'ailleurs on suppose que b soit assez petit pour que cette erreur puisse être négligée.

La valeur précédente de la durée T d'une oscillation du pendule , est indépendante de b et de Tare décrit ; il s'ensuit donc que les oscillations dans de très petites portions de circonférences, $e font dans des temps égaux, c'est-à-dire sont isochrones. Cet isochronisme présente le plus sûr moyen de régler les horloges à roues : c'est à Huighens que nous en devons la première application.

254* Si la masse M du pendule est assez petite pour pouvoir être considérée comme coïncidant avec son centre de gravité, sans erreur sensible , ce qui a toujours lieu dans le pendule simple , d sera alors la longueur de ce pendule ; son moment d'inertie I deviendra Mx^ a ; et on aura , pour la durée T d'une oscillation de ce pendule simple ,

T = ^, ou T = *-j/!(i+$ft+àft l +etc.)...$.

La seconde de ces valeurs coïncide avec celle qu'on obtient par le calcul différentiel et intégral; car elle n'en diffère que dans les termes en fc a , b , 6 , etc.; et ces termes n'ont aucune influence sur la valeur de T, dans toutes les applications du pendule , où l'arc décrit est toujours très-petit. Supposons-le, par exemple, de 5°; tous les termes qui suivent les deux premiers entre. parenthèses , doivent être négligés ; car ils ne donnent pas de millionièmes pour T ; et alors si la première formule (i) donne T= 1", la seconde fournira T= i",oooo3 ; ce qui ne produit pas une augmentation de 9" en un jour. .

a55. Soit r la longueur du pendule simple dont la durée des

sciHations soit la même que celle des oscillations du corps ou tendule composé STU : d'après les formules (h) et (t), on aura

*V L g-*Vi*> d '° ù r= 5S'

Hais MA* désignant le moment d'inertie du corps , par rapport i Taxe parallèle à A , qui contient le centre de gravité G, on a ru (216) que I = M (<P + #) : donc

Connaissant donc la distance d et le quotient &', cette formule Sera connaître la longueur r du pendule simple , qui ferait ses oscillations dans le même temps que le pendule composé STU. Portant cette longueur sur la distance AG = J, à partir de A, >n aura sur le prolongement de A G, un point O tel que AO = r era la longueur du pendule simple, pour que ses oscillations et relies du pendule composé soient synchrones, c'est-à-dire d'égales l urées. Le point O est ce qu'on appelle le centre d* oscillation lu pendule composé, parce que ce point, dans les excursions lu pendule , oscille comme s'il était seul , tandis que les points lu-dessus vont plus lentement et ceux au-dessous plus vite que rtls étaient isolés. On voit d'ailleurs que le centre d'oscillation, coïncide avec le centre de percussion (223) \ et que de plus , le minimum de r est f* = nk et donne d=k.

Si l'on prenait pour axe de suspension , la droite A! menée

par O parallèlement à A, le point A serait le centre d'oscillation

lu pendule dans cette nouvelle position. Car en faisant OG =

£', on aurait évidemment

d* —-?\ d'où <* = --, pnis OA ou r=z:i + ~r=rf' + — •

Par conséquent, on peut déterminer la longueur r du pendule simple , sans aucun calcul relatif à la forme du pendule composé : il suffira, pour cet effet, de mesurer la distance de 3eux axes de suspension , autour desquels les oscillations soient synchrones, ces axes étant parallèles. (Ce moyen a été employé avec succès en Angleterre. )

Traçant deux circonférences du centre G, avec les rayons d »t d\ dans le plan mené par G perpendiculairement à l'axe A, :es deux circonférences appartiendront aux bases de deux cylin- Ires droits tels, que le plan passant par G et par l'une des gêné*

ratriees de l*un, coopéra la circonférence de l'autre au centre d'oscillation correspondant ; car la distance entre ce centre et la génératrice, prise pour axe de suspension, sera toujours égale à AO ou r. Et cotnme Taxe horizontal A peut avoir telle direction on voudra , à regard du corps proposé , ou voit que data tout corps solide, il existe une infinité taxes de suspension, autour desquels les oscillations sont â? égales durées.

a56. Il est bien remarquable qu'on puisse toujours trouver un pendule composé qui soit synchrone avec un pendule simple, de longueur donnée r*. D'abord les oscillations d'un pendule composé sont isochrones, même dans l'air, pourvu que les arcs parcourus soient assea petits pour que la flèche b puisse être regardée comme nulle. Effectivement, les oscillations d'un même pendule étant isochrones, dès qu'elles se font dans de très-petites portions de circonférences (a53); la résistance de l'air n'a d'autre effet que de diminuer la longueur de ces portions, et par conséquent ne doit avoir aucune influence sur l'isochronisme do pendule.

Cependant, comme b n'est pas absolument nulle, OU conçoit que la résistance de l'air doit entrer en Considération pour k durée des oscillations ; mais on peut en atténuer l'influence, au point de la rendre tout-à-fait négligeable, en prenant une sphère de matière très-dense, comme le platine, et eji la suspendant à un fil très-fin et inextensible , tel qu'un fil de soie. La grande densité de la sphère diminue la résistance de l'air et la rend pour ainsi dire nulle, puisque d'ailleurs les oscillations très-petites, se font avec peu de vitesse. L'épaisseur très-petite du fil , permet d'en négliger la masse , ainsi que la dilatation * par le changement de température, laquelle est comme nulle pour la soie: de plus , la petitesse du volume du fil rend nulle la résistance de l'air. Enfin, comme on peut diminuer le frottement au point de suspension , de manière à n'avoir pas à en tenir compte, en voit comment le pendule résultant peut absolument remplacer le pendule simple dont la longueur r est donnée.

Maintenant, pour calculer la longueur du fil de suspension, v«oit d la distance inconnue du point de suspension au centre de la sphère ; soit a le rayon de cette sphère et M sa masse ou son volume •, on aura

M = §*•«*, W? = ±*a s et r — <* + -•

( 225 ) Ces équations donnent, pour la distance d cherchée,

Le maximum de a est donné par l'équation 8a* = 5r* ; mais on conçoit que le rayon a doit avoir une valeur moindre, à cause de la résistance du fil qui pourrait céder au poids de la sphère. Si i= o , il vient r = oo et par suite T ±= 60, comme cela doit être , puisque la gravité sera continuellement détruite par Taxe de suspension.

257. Soient n et ri les nombres d'oscillations, de durées T et T f respectives chacune, que deux pendules simples, de longueurs r et r*, font dans un même temps $ et dans un même lieu : on aura d'abord 4 = nT=n'T'. Substituant les valeurs de T et T\ données par la formule (t), il viendra la relation ra*= rW*.

D'après cela, il est facile de s'assurer que la pesanteur ne varie pas, pour les divers corps, à la manière des attractions chimiques. H suffit de faire osciller des corps de natures différentes , de les réduire, par le calcul , à des pendules simples (a55), et de voir si les longueurs sont entre elles en raison inverse des carrés des nombres à* oscillations faites dans le même tempe > ou si l'équation rn*=t J n l% es\ exacte; car les plus légères différences eritre les actions de la pesanteur seraient rendues sensibles dans ces expériences. Newton les a faites avec le plus grand soin ; on les a répétées souvent depuis, et tout a prouvé que la force qui pousse les corps vers la terre , a la même intensité pour tous , quelle que soit leur masse et leur nature, dans un même lieu , et que par conséquent le poids est proportionnel à la masse (4 2 )-

Pour déterminer la longueur r du pendule simple qui bat les secondes et la mesure g de la gravité , on a les deux équations

m , =:r'«" et yzmr"; éar alors T= 1. On fera donc osciller un pendule simple d'une longueur r 9 connue , on comptera le nombre n f d'oscilfatiôns qu'il fait dans un temps déterminé, et on en déduira retg< Pat* exemple, à l'observatoire de Paris, on a reconnu que le pendule simple de 797 millimètres de longueur, fait 67 oscillations par minute 5 on a par conséquent r 9 = 0,797 nôtres 1 n * = 67 et n r= 60 5 d'où l'on conclut qu'à l'observatoire de Pari*, c'està-dire à la latitude de 48° 5o r i4", la longueur r du pendule simple qui bat les secondes sexagésimales de temps moyen et la mesure g de la gravité, valent respectivement

( 226 ) r== ^",9938267 et > = g m f 8o8795.

Malgré les nombreuses précautions à prendre pour obtenir des résultats exacts , ce procédé est le plus simple et le plus sûr pour déterminer g. (Voyez d'ailleurs page 36a , 5 e édition de 7a Mécanique de Francœur. )

a58. Lorsque le pendule simple de longueur r est arrivé au milieu de Tare qu'il décrit, sa vitesse est due à la flèche ou hauteur b \ or le temps t de sa chute est moindre que le temps t f que ce corps emploierait à tomber de la hauteur b ou a parcourir la corde du demi-arc , bien que celui-ci soit plus long que sa corde.

En effet , on a évidemment *• <4i tz=.\v \/ - et V = 2 i/-

(188); donc *< f 1 . En général, on démontre, dans les traités complets de mécanique , que la courbe de la plus vite descente est une cychnde.

259. Jusqu'à présent nous avons fait abstraction du poids de la verge ou du fil de suspension , dans le pendule composé. Pour montrer comment on peut y avoir égard, considérons une sphère attachée à un cylindre de même métal , ce cylindre étant suspendu par un diamètre de sa base supérieure , et supposons que h étant la longueur de Taxe du cylindre , le centre de la sphère se trouve sur le prolongement de cet axe. Soient x et y les distances respectives des centres de gravité du cylindre et de la sphère à celui de leur système, et soient r et R leurs rayons respectifs : comme ici les poids sont proportionnels aux volumes c et $ , on aura

x+j<-=±h+R et ci$ ::x:x;

D'après ce qui précède (219 et 218), il est facile de voir que les momens d'inertie du cylindre et de la sphère, par rapport à l'axe À, mené parallèlement à celui de suspension , par le centre de gravité du système, sont respectivement

** + -h& % + TF* et y* + #&\ Ainsi le moment d'inertie du système , par rapport à l'axe , est

as

Cette équation fera connaître A* : on a d'ailleurs d — ±h + x; la formule Iz^d^-r servira donc à calculer la longueur l du

pendule simple qui fait ses oscillations dans le même temps que le pendule composé qui nous occupe.

Par exemple, le millimètre étant pris pour unité, supposons r=£, R = 5o=ioor, A=iooo = aooor; nous aurons 3#=p

2000c, «2=1049/178, -7 = 1,114 et Z=io5o,3oa. Il ne s'en

faut donc pas d'un demi-millimètre que le pendule proposé ne soit réduit à un pendule simple, formé d'un point matériel, placé au centre de la sphère de rayon R. Si l'on n'avait pas égard à la masse du cylindre, on trouverait l = io5o,g5a.

260. Application du pendule. De tons les appareils de mécanique, le pendule est l'un des plus simples et des plus intéressans à étudier, à cause des belles et importantes applications qu'on en a faites, et dont nous ayons déjà donné un exemple (257). Il a senti aussi dans l'artillerie, à calculer la vitesse initiale des projectiles; et voici, pour cet objet, la méthode que M. Poncelet indique dans son Cours de Mécanique.

Le pendule balistique est un gros bloc de bois suspendu par un axe horizontal qui porte sur deux couteaux ; ce bloc est garni de frettes perpendiculaires à son mouvement ; la face contre laquelle le canon est dirigé, et qui est aussi perpendiculaire au plan du mouvement, est garnie de plomb, afin qu'elle soit tout-à-fait dénuée d'élasticité. De cette manière, le boulet lancé par la pièce contre le pendule, peut s'y loger sans que le bloc soit fendu et sans qu'il y ait rejaillissement dans le sens opposé au mouvement du bloc.

Soit donc v la vitesse initiale du boulet , ai sa masse , M celle du pendule et u sa vitesse angulaire après le choc. Soit d'ailleurs a la distance du centre d'oscillation O du pendule à l'axe de rotation A : il conviendra que le boulet soit dirigé vers ce centre et perpendiculairement à ÂO, afin qu'il n'y ait aucun choc sur l'axe ; a sera donc aussi la distance de cet axe au centre du boulet, après le choc, et on aura la formule (g) du u° 347, qui donnera (a** + l)u

am

Ainsi la vitesse initiale v du boulet ne sera connue que quand on aura déterminé u et préalablement calculé le moment d'inertie I du pendule. Mais on peut éviter ce calcul ; car soit d la distance du centre de gravité G de la masse M -j- • à l'axe A, et H la hauteur à laquelle s'élève ce centre G, en vertu de la vitesse angulaire u : le rayon du boulet étant toujours fort petit à l'égard de la distance a, il est clair (a5çp) que le moment d'inertie de ce boulet, par rapport à l'axe A, sera très-approchant de a*m\ ainsi on aura, d'après le principe des forces vives (aao),

De plus , le pendule est construit de manière que ses oscillations , par suite du choc, soient très-petites ; et en désignant par T la durée de chacune, il vient

Enfin, c désignant la demi-corde de Parc décrit par G et dont H est la flèche, il rient c = 1/acÎH.

Avec ces équations et en remplaçant les masses M et m par les poids P et P', ce qui est permis ici, on trouvera

cit M-f» c* P + P'

À l'aide de cette formule, on voit que pour avoir la vitesse initiale du boulet, il suffira de Connaître la durée T d'une oscillation complété, en vertu du choc , ainsi que l'amplitude de Tare décrit par le centre de gravité G. Cet arc est d'ailleurs facile à évaluer d'après celui qu'une aiguille, fixée à l'extrémité du pendule, trace sur une auge circulaire, concentrique au mouvement et remplie d'une matière molle. ( Dans le second volume de sa Mécanique, a e édit., M. Poisson donne aussi une formule pour calculer la vitesse v initiale, d'où il indique plusieurs conséquence» utiles.)

261. C'est encore le pendule qui a servi à constater que la gravité ri est pas la même à toutes Us latitudes. On crut pendant long-temps que cette variation de h pesantetir était due turiqtiement à là force centrifuge , qui se développe par le mouvement de la terre autour de son axe. Mais Bouguer ayant calcule, aussi exactement que possible, la valeur de cette dernière force, à différons degrés de latitude et d'après la vitesse connue de la rotation du globe (208), observa que là diminution de la gravité, des pôles à l'équateur, n'était pas exactement proportionnelle à l'augmentation de la force centrifuge. On soupçonna alors que la forme de la terre y influait pour quelque chose, et cjue le globe terrestre devait être renflé vers l'équateur : c'est ce qu T on vérifia directement depuis, en mesurant sous diverses latitudes, des arcs de méridiens compris entre des parallèles écartés l'un de l'autre d'un degré : on reconnut que ces arcs vont en augmentant , depub l'équateur jusqu'aux pôles. On a trouvé ainsi que le rayon moyen, qui répond à la latitude de 45% est de 636&;45 mètres. C'est celui qu'il convient d'employer dans les usages ordinaires, lorsqu'on néglige l'aplatissement de la terré, comme dans les mesures nautiques.

262. Les observations du pendule ont aussi prouvé que la gravité diminue quand on s'élève verticalement au-dessus de la surface de la terre, fiouguer trouva qu'au Pérou, au niveau de la mer, le pendule simple à secondes avait 0,99076 mètres de longueur; tandis que sur le Pichincba, montagne élevée de 4745

mètres , il n'avait que 0^98963. Dans d'autres opérations analogues , il obtînt des résultats semblables ; de sorte qu'il est évident que la gravité diminue à mesure qu'on s'élève au-dessus de la surface du globe. Mais pour connaître la loi de cette diminution , les observations du pendule ne suffiraient pas , à cause de la petitesse des hauteurs auxquelles on peut s'élever. Il en résulte néanmoins que l'attraction terrestre , si peu affaiblie à la hauteur de 4745 mètres, doit s'étendre extrêmement loin dans l'espace, en conservant encore une grande intensité; en sorte qu'il vient naturellement dans ridée qu'un corps transporté au-dessus de nous, à une distance égale à celle de la lune, serait encore attiré par la terre : donc la lune elle-même doit être attirée par la terre; mais si cela est , pourquoi cet astre ne tombe-t-il pas sur nous ? C'est qu'en même temps qu'il est sollicité par la gravité , il est animé d'une vitesse de projection considérable , et que les deux forces , en se combinant , lui font décrire une courbe elliptique autour de la terre, centre de l'attraction (20 j)»

Newton entrevit le premier les causes de ce mouvement; il chercha, à l'aide du calcul et d'après, les données fournies par l'astronomie, de quelle hauteur la lune abandonnée k h gravité, descendrait vers la terre dans un temps, déterminé ; comparant ensuite la hauteur qu'il avait trouvée avec celle que parcourt dans le même temps un corps à la surface de )p terre* il découvrit que si f attraction, terrestre s*é tendait jufqif à la lune, elle devait agirsur tes corps en raison inverse des carrés de leurs distances ai* centre de la terre. Telle est donc la loi des attractions 4e notre globe sur les corps qui l'environnent : cette loi résulte immédiatement de ce que nous avons démontré plus haut (2o5) ; puisque la lune décrit ou plutôt doit décrire une ellipse , dont l'un des. foyers est au centre d'attraction de la terre.

Voici d'ailleurs comment on vérifie la loi précédente : en ne considérant que la vitesse de projection de la lune et l'attraction que la terre exerce sur elle, ce satellite décrit autour de notre globe, une ellipse, qui; diffère très-peu d*un cercle ayant pour rayon la moyenne distance de la lurie au centre de la terre, distance qu'on a trouvée être environ 60 fois. le rayon r terrestre* Or, ce mouvement circulaire étant uniforme (ao3)> et la révolution lunaire s'accompUssaajt en 39343', l'arc x décrit par minute est la 39343* partie de b circonférence asr*4>o/- \ de sorte que 3g343x s= air • 6or.

Soit e l'espace dont la lune s'approcherait de la terre en i f ou 60", en ?ertu de l'attraction terrestre g*. : on aura e = lg* ( 60 ) a . De plus , l'arc or pouvant être regardé comme égal à sa corde, et celle-ci étant moyenne-

proportionnelle entré e et le diamètre de l'orbe lunaire, on a * 9 = ae» 6or; donc puisque a irr = 40000000 de métrés, si Ton substitue cette valeur dans celle de x tirée de la première équation proposée, il viendra, en éliminant jc, e = 4 m /88 environ, valeur qui diffère très-peu de £#= 4 m >9° C 1 ^ 3 )) c'est-à-dire de l'espace que les corps décrivent ici bas, dans le vide, pendant la première seconde de leur chute. Et cette valeur serait encore moins différente de f £, en ayant égard à diverses circonstances, que nous avons dû négliger, pour simplifier. Ainsi on a fort exactement ez=z\g\ d'où g =s g* ( 60 ) a , et par suite

ff:s'::^:(6ory.

a63. Le pendule n'est pas seulement utile pour déterminer exactement la valeur de la gravité, dans chaque lieu ; mais il peut servir aussi à mesurer les longueurs des rayons de la terre, en ses différens points* Soient en effet, R et R' deux rayons terrestres à deux latitudes, dans lesquelles on connaît les mesures g et g 1 de la gravité, et les longueurs d et *#de deux pendules synchrones \ on aura à la fois

^:*'::R":R > ct<=^J/^|/^d'oùR'=Rj/^

Si donc R est donne , on en déduira R'. On voit que le pendule est on instrument géographique; et il est aussi un appareil de géologie; car il annonce, par ses anomalies sous une même latitude, les variations d'une grande étendue dans la nature du sol.

De la Gravitation universelle.

264. Newton observant que les planètes sont des globes isolés dans l'espace , regarda chacune d'elles comme un centre d'attraction qui faisait tendre vers lui tous les corps environnai)*": et comme plusieurs planètes sont accompagnées de satellites ou lunes, cet illustre géomètre considéra les mouvemens de ces satellites, comme résultant d'une force de projection et de Pattraction de la planète.

Enfin, sachant que, de la même manière que les satellites circulent autour des planètes , les planètes circulent autour du soleil , en décrivant des courbes elliptiques , et entraînant avec elles leur système de satellites, Newton tira cette conséquence, que le soleil est aussi comme le foyer d'une force attractive qui s'étend jusqu'aux planètes, et qui, combinée avec le moavev ment de projection imprimé à chacune d'elles par le Créateur, leur fait décrire des courbes elliptiques autour de cet astre.

Lois de Kepleb. L,es phénomènes célestes qui servent de base aux calculs de toute la théorie de la gravitation, sont connus sous le nom de lois de KèpUr* Ces lois sont le résultat d'une

longue suite ^observations de ce savant célèbre ; elles ont été confirmées depuis par tous les astronomes ; on les démontre également dans la mécanique transcendante \ de sorte qu'elles doivent être regardées comme des vérités incontestables. En voici les énoncés :

l* Les planètes se meuvent dans dee courbée planée, et leurs rayon* vecteurs décrivent autour du centre du soleil, des aires proportionnelles aux temps (ao3).

2° Les orbes planétaires sont des ellipses, dont le centre du soleil occupe fun des foyers.

3° Les carrés des temps des révolutions des planètes autour du soleil) sont entre eux comme les cubes des grands axes de leurs orbites.

Ces trois lois ont leurs réciproques, que nous pouvons démon» trer, d'après ce qui précède. D'abord la première loi fait voir que la force qui sollicite les planètes est constamment dirigée vers le centre du soleil (2o4)« La seconde loi nous indique que la force qui sollicite les planètes agit en raison inverse des carrés des distances de leurs centres à celui du soleil (ao5). Enfin il résulte de la troisième loi que cette force est la même peur tous les corps, et ne varie de fun à Vautre qu'en raison de leurs distances au centre attractif Désignant en effet, par T et T r les temps des révolutions de deux planètes autour du soleil ; par ia et ié les grands axes de leurs orbites, et par d et oJ les distances de leurs centres à celui de cet astre \ nous, avons vu (20$) que les forces attractives f et $', sont

4w>a 3 i . 4*rV* r ^ .„ T** o'J

~ • — et ô ~ „ ■ • — • D ailleurs — • = — :

Y T a d* * T' a «*'* autrui» ^ — ^ )

donc q> • qt * \ d f% • d*. De là , si on avait d= d f , on aurait aussi ç = <p f . De sorte que si les deux corps étaient à la même distance du soleil , et abandonnés & Faction de la force qui les pousse vers cet astre, ils emploieraient le même temps à tomber à sa surface. Cette dernière conséquence est la même que celle que nous avons tirée à l'égard des corps sollicités ici bas par l'attraction terrestre (262).

Le calcul fait voir que les lois précédentes subsisteraient encore si la courbe décrite était une parabole ou une hyperbole ; de sorte que quand bien même certaines comètes décriraient l'une ou l'autre de ces deux, courbes autour du soleil, comme le pense quelques physiciens, elles. ntak seraient pas moins assujéUes à la loi générale.