DE LA SPHERE
visuels 0 I , O 2 , O 3 , leurs traces sur le tableau seront i", et elles j représenteront les perspectives des points corres— pondans du méridien.
Pour peu que le rayon C L soit grand, ceux des méridiens croîtront très- rapidement , à mesure qu’ils s’approcheront de l’axe O 9, et près de là, il serait même très— incommode de les décrire avec un compas quelque grand qu’il fût, puisque les centres des méridiens, pourront être très - éloignés du centre delà figure. Ce qu’il y a de mieux à faire dans ce cas, c’est de décrire les arcs O i 9, O i' 9, à l’aide de deux règles {fîg. 19) A.' C', G B' unies en C' , par une charnière qui leur permettra de former un angle quelcon-»
que.
On place un crayon au centre C’ du mouvement des deux règles A.' C', C’ B' ; on fait coïi:cider le point C' avec le point i; après avoir bien étendu et fixé le papier sur une table unie, on fixe aux points U 9, deux petites pointes de métal contre les-r quels on ajpphque les bords des règles , le point C’ étant toujours sur le point i; puis sans faire varier l’angle, formé par , les règles dans cette position , on fait mouvoir l’instrument de manière qu’elles s’ap-»
{mient sans cesse contre les pointes O, q.
Alors le crayon C' décrit Tare de cercle O t 9.
Projection des Parallèles.
Occupons-nous maintenant de la projection des parallèles à l’équateur.
Ces courbes devant passer par les points de division correspondans (8), (10), (7), (H), (6), (12), etc., et leurs centres étant nécessairement situés sur le prolongement de l’axe O 9, on déterminera le centre delà projection du parallèle, ainsi qu’il suit :
On conduira les droites L 8, L 7 , L 6, etc^ L 10, L il, L 12, etc. ; les premières couperont l’axe 0 9, en r, r , r", les secondes en couperont le prolongement aux points R , R' , R" , et les distances R r , R' r , R" r”, etc. , seront les diamètres des difiFérens parallèles ;.d’ailleurs , puisque les trois points 8 r 10 sont sur le parallèle , on a tout ce qu’il faut pour le décrire ; ainsi du milieu 'u de R r comme centre , et d’un rayon égal ^ 8 on décrira l’arc 8 r 10, qui sera la perspective du parallèle passant parla latitude de 80 degrés. On efifectuera la ménie construction pour tous les autres; mais lorsque les rayons deviendront trop
DK I.\ SPflÈ&E. 5^
grands, on pourra employer rinstrument dont on a parlé ci-<les3us.
Projection horizontale.
C’est l’horizon rationnel qui sert maintenant de plan de projection ; alors le point de vue est le pôle de cet horizon , et le méridien qui passe par ce lieu, est une ligne droite. Ce-lui— ci se nomme ordinairement le méridien principal.
Projection des Méridiens .
Soit A D B E , l’horizon d’un lieu • ( ftg. 20 ) ; son centre C sera la projection du point de vue ou du pôle de eet horizon. Soit en outre A B, le diamètre qui représente le méridien du lieu de la carte.
*Si l’angle P C A est égal à la hauteur du
Ï >ôle , et que D E soit perpendiculaire à A B, a droite PE coupera A B en un point/? qui •sera la projection du pôle supérieur. Si Ton îtireEP', proion géjusqu’eu /?', ce point sera ïa projection du pôle inférieur. Les projections des méridiens qui passeront toutes ‘]>ar P p', auront en même tems leurs centres SUT la droite S S' perpendiculaire, sur
le milieu de pp i c’est ce que nous démontrerions si la démonstration pouvait être comprise par tous nos lecteurs.
Afin de rendre raison de cette construction, on imaginera, comme dans les articles précédens , que le cercle A B D E tournant autour de A B, prend une position perpendiculaire à celle avait primitivement. Dans cet état P P' représentera l’axe de la terre, le rayon G E sera perpendiculaire au plan de la figure, et le point E considéré comme le lieu de l’œil , sera projeté en C , qui devient alors le
{ >oint de vue ; de plus , les rayons visuels ü P, E P^, rencontreront le tableau perspectif en p-i p'-
Pour achever de déterminer les projections dont il s’agit , il suffit de trouver un troisième point ; or, le méridien dont le plan est perpendiculaire au , méridien principal A B, coupe l’horizon suivant une droite D E , perpendiculaire à A B ; donc , si du point F comme centre , et d’un rayon F D égal à la moitié de p p' ^ on décrit l’arc D n E , cet arc sera la perspective du méridien , passant par la longitude de 90" , comptés depuis le méridien principal A B. La ligne S S', perpendiculaire à A B ,
l)k LA SPHERE. 59
el passant par F, milieu de p p\ se nomme ligne des centres des méridiens.
La perspective de réqualeiir est aussi facile à trouver ; car , si on élève le diamètre Q Q' perpendiculairement il P P', ce diamètre sera celui de l’équateur , et sa perspective sur le tableau Q q . Par conséqTient, si du milieu de q q' comme centre, et avec un ràyon égal ii la moitié de cette ligne, on décrit l’arc D ^ E, ce sera la perspective de la moitié de l’équateur.
Yoici maintenant le moyen de trouver le centre d’un méridien quelconque : du point P comme centre, et d’un rajmn arbitraire , d’un rayon égal à p F, par exemple , on décrira une circonférence que l’on divisera en 56 parties égales, à partir de A B, si l’on ne veut tracer comme précédemment que 56 méridiens ; et par tous les points de division , l’on mènera des rayons dont les prolongemens rencontreront la ligne S S' des centres en difîerens points X ^ x" , x‘\ etc , qui seront les centres des méridiens. Il est visible que, puisque la figure est symétrique , il suffira de tirer des rayons dans le premier quart de cercle. Il arrivera cependant, dans la pratique, qu’il* faudra renoncer à ce procédé, lorsque le rayon de ces méridiens deviendra trop grand. Dans ce cas, l’ou
43o PB^SPKCTIVES
déterminera de la manière suivante , les points où les méridiens rencontrent le plan de projection.
D’un point quelconque pris sur A B ou sur son prolongement , du point F , par exemple, on abaisse une perpendiculaire F K, sur P P', et l’on porte la longueur F' ^ , de F en k\ puis de ce dernier point comme centre, et avec un rayon égal à F k% ou avec tout autre rayon pris à volonté, mais un peu ^rand , on décrit une circonférence que 1 on divise en 36 parties égales. Enfin , on mène les sécantes k' n\ k' n" par tous les points de division , et les extrémités n , n" de ces sécantes terminées à la droite S S', sont les tracés mêmes des plans des méridiens ;“tirant donc les droites n C' /•', n" C' r", etc. , les diamètres m' r , m" /•", serontl es traces cherchées , et l’on aura par conséquent trois points tels que r P m' , r" p m" de chaque méridien perspectif. Après quoi l’on décrira ces méridiens par l’un des procédés indiqués plus haut.
Projection des Parallèles. '
Il est très— facile de décrire les parallèles à l’équateur , car leurs plans étant perpendiculaires au méridien principal A B
DE LA SPnERE-,
on obtiendra les diamètres de leurs projections comme pour réqaateur lui-mèmè;. c’est-à-dire , qu’après avoir divisé la circonférence A B D JE, en 36 parties égales, à partir du point P, on mènera de deux en deux, les droites < E 1' E, ’S E, 2' E ,
3 E, 3' E, et l’intervalle v v' , limité par ces droites et pris sur le méridien A B, sera le diamètre d^un parallèle. Dans le cas présent v v' appartient évidemment au parallèle mené par la latitude de 80 degrés.
C’est à l’ouvrage de M. Puissant , que j’ai emprunté ces détails sur une application de la perspective , qui n’est point assez connue. On pourra voir dans cet ouvrage , et dans la Géographie phj^sique de de M. Lacroix , des détails fort étendus sur la construction des cartes , qui ne sont point des représentations perspectives du globe; en attendant la publication de la Construction des cartes géographiques de notre Collection.
Il est quelquefois utile de décomposer ou de trouver le plan géométral d’un plan perspectif quelconque.
Hevenir du Perspectif q,u Géométral.
Pour cette opération , il faut faire en sens inverse , celle que l’on ferait , pour
Persppc'.ivp. • 4
6?. REVEMIR DU PERSPECTIF
mettre un plan géométral en perspective ; et cela est généralement si facile , en théorie du moins, que l’exemple suivant n’a pour but que d’en donner une idée générale. La connaissance de ce procède est surtout utile pour les vérifications , par exemple, si l’on doutait de la vérité dun plan prétendu mis en perspective et dans lequel on apercevrait des contradictions , si l’on voulait vérifier quelle est l’ouverture de tel ou tel angle , la déclinaison de telle ou telle ligne , etc. Nous allons appliquer cette opération à la figure 21, qui représente un quadrilatère , que nous choisissons à dessein , comme peu compliqué.
Problème.
Etant donné un quadrilatère quelconque, trouver les divers parallélogrammes ou rectangles don4: il peut être la représentation perspective ; ou bien étant donné un parallélogramme quelconque , rectangle ou non, trouver sa position, et celle de l’œil , qui feront que sa représentation perspective sera un quadrilatère donné.
Soit le quadrilatère trapézoïde donné A B G D que nous supposerons le plus irrégulier possible, et n’ayant aucuns côtés
AU géombtral. 63
parallèles. Prolongez les côtés A B, C D, jusqu’à leur concours en F , et les côtés AD, B G , jusqu’à leur concours en E ; lirez E F, et par A, sa parallèle G H.
Je dis premièrement que, quelle que soit la position de l’œil , pourvu que ce qu’on appelle le point de vue soit dans la ligne E F ou dans .son prolongement , l’objet dont le quadrilatère A B C D est la représentation perspective, sera un parallélogramme. Car on sait que les parallèles sur le plan horizontal ont des apparences qui concourent, en un même point de la parallèle à l’horizon , tirée par le point de vue. Toutes les perpendiculaires à la ligne de terre, ont des apparences qui concourent au point de vue même ; toutes celles qui font des angles demi-droits ont leurs images concourantes , dans ce qu’on appelle les points de distance ; celles enfin qui font des angles plus grands , ou moindres ont des images qui concourent en d’autres points, qu’on détermine toujours en tirant , de l’œil au tableau , une ligne parallèle à celles dont on cherche la représ'enta tion perspective. Donc toutes les lignes qui, dans le tableau , concourent dans dçs points situés dans la ligne du point de vue, sont des images de lignes
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KEVENIR DU PERSPECTIF
parallèles et horizontales. Ainsi , les lig^nes sur le plan horizontal, qui ont pour représentation dans le tableau , les lignes B C, A DjSont parallèles ; il en est de même de celles qui donnent les images linéaires A B , D C. Or, deux paires de lignes parallèles forment nécessairement par leurs intersections un parallélogramme : donc l’objet dont le quadrilatère A B C D est l’image pour un œil situé à la hauteur de la ligne F E, dans quelqu’endroit que soit le point de vue , est un parallélogramme.
Cela démontré , nous supposerons d’abord qu’on sache que l'objet est un rectangle : pour trouver dans ce cas la place de l'œil , divisez la distance F E , en deux
Î »arlies' égales; ! étant le milieu de cette igné , et supposez l’œil situé en sorte que la perpendiculaire, tirée de sa place au tableau , tombe sur le point I , et que la distance soit égale à I E ou I F : les points E, I seront les points de distance; prolongez C B en G D, jusqu’à la ligne de terre , en G et en H ; les lignes H C F , ABF, seront les images de lignes , faisant avec la ligne de tërre, des angles demi-droits. Il en sera de même de celles dont G C E , A D E , sont les images.
Donc tirant d’un côté H c , K b indé-.
AU gÉomÉtRAL. ' G5
finies et inclinées à la ligne de terre d’un angle demi -droit, et de l’autre côté, et dans un sens contraire , les lignes G ^ c, et A (/, inclinées aussi d’un angle demidroit, ces lignes se rencontreront nécessairement à angles droits," et formeront le rectangle \ b c d.
Si l’on supposait le point de vue , dans un autre point , en E, par exemple, c’està-dire ,• que l’œil fût directement au devant du point E , et à un éloignement égal à E il faudrait, après avoir tiré les perpendiculaires E L , F M à In ligne de terre> dans le plan du tableau, mener à la même ligne de terre dans le plan horizontal, la perpendiculaire L N , égale à E K, puis la ligne N M , faisant avec la ligne de terre, Tangle L M N. Menez ensuite aux points G et A , les perpendiculaires indéfinies AD, G K et par les points A et II les lignes indéfinies A D G K et par les points A, H les lignes indéfinies H R A B faisant avec la ligne de terre , des angles égaux à L M N et en sens contraires ; ces deux paires de lignes se rencontreront en B K D , et donneront évidemment un parallélogramme oblique, qui serait l’objet dont B C D A e>t la représentation, pour
INSTRUMfiNS
un œil situé vis-à-vis E, et à une distance du tableau égale à E K.
Si les côtés Aé, cd dans le rectangle kbcd étaient divisés en parties égales par des parallèles aux autres côtés , il est clair que prolongeant ces parallèles , elles cou—
f eraient en autant de- parties égales la igné A G. 11 eu est de même des parallèles Ab, cd qui couperaient en portions égales les côtés Ad, la ligne A H en serait divisée aussi en parties égales. Ceci donne le moyen de diviser, si Ion veut, le trapèze A B C D en carreaux qui seraient la représentation de ceux dans lesquels Abcd serait divisé.
Des Jnstrumens qui peuvent servir à mettre les objets en perspective et remplacer quelquefois les procédés que nous avons donnés.
On doit à M. Meyer, régent au Collège' d’Echtcinmach, un instrument pour dessiner la per spective y qui est à la fois trèssimple et ingénieux ; ce sont simplement deux règles graduées a a eX b b {pg. 22), assemblées à angles droits et dont l’iine ) peut glisser dans raulrc La règle verticale peut de plus se mouvoir latéralement dans
la rainure graduée c c , dans laquelle s’engage son extrémité. L’œil vient se placer derrière un piquet h h, muni à son extrémité d’bn anneau qui porte un (il à plomb de f.
Pour dessiner les perspectives des objets , on trace sur le papier deux axes rectangulaires gui représentent les deux règles placées aux points zéro des divisions ; il s’agit alors de se procurer les coordonnées de chaque point. A cet effet , on dirige un rayon visuel vers le pointa mettre en perspective , et l’on remonte ou l’on abaisse la règle a a au moyen d’un curseur , jusqu’à ce qu’elle se trouve en contact avec ce rayon ; le nombre de degrés dont a a aura changé de place , fera connaître sur h h l’ordonnée du point V ; et l’abscisse sera estimée sur la règle graduée a a , par la position du point <?. La rainure c c devient nécessaire , lorsque la longueur de a a n’est pas suffisante ; on .recule alors les deux axes vers la droite ou vers la gauche.
L’auteur fait observer que les deux règles et le piquet , peuvent être conformés de manière à être réunis en canne.
Nous ne parlerons point ici de l’iiistniraent assez incommode dû à Wren , mathématicien célèbre et archileclc de SainV-
Paul de Londres , on j>eut en voir la description dans les récréations matbémathématiques d’Ozanam , ni de la chambre obscure que tout le monde connaît ; mais nous donnerons sur «la chambre claire ( cornera lucida ) , quelques détails qui pourront au moins servir à faire connaître davantage un instrument très-commode et qui n’est point employé aussi souvent qu’il pourrait Têtre.
De la Chambre claire.
La partie principale de cet instrument est un prisme quadrangulaire AB 23).
Ce prisme est djsposé de telle manière qu’il présente la face A B perpendiculairement à la direction des rayons lumineux envoyés par les objets extérieurs. Les rayons , à leur entrée dans la face A B , n’éprouvent aucune déviation ; ils subissent , sur les faces intérieures deux fois la réflexion totale , et arrivent à l’œil de l’observateur placé en C^. Cet observateur verra ainsi une image des objets droite et horizontale qu’il croira voir venir directement à travers ce prisme ; et s’il place son œil de^ manière que les rayons réfléchis n’occupent que la moitié de la pupille, il pourra voir
CLAIRE. bg
à la lois rimage et le papier sur lequel elle paraîtra projetée , et en suivre toutes les parties avec un crayon à pointe fine ; si la vue réclame le secours de la loupe, rien ne s’oppose à ce qu’on en fasse usage , la perspective n’en sera nullement altérée.
Cette caméra lucida est due à Wollaston ; la pratique a fait décôuvrir, dans cet instrument , un défaut qui consiste dans les apparitions et les disparitions de la pointe du crayon. Le pliis petit mouvement de l’œil amène ces apparitions et ces disparitions alternatives qui fatiguent singulièrement la vue,
IVJ. J. B. Amici, de Modène , a proposé une caméra lucida ^ dont nous allons indiquer les principes. Ce nouvel instrument consiste en un miroir de métal 24 ) , dont la surface A B est inclinée de 155 degrés sur la surface P C, d’une lame de verre à D C E F à laces parallèles. Les rayons S I desj objets sont réfléchis d’abord par le miroir, ensuite par la face antérieure du verre, de manière à devenir perpendiculaire à leur direction primitive. L’œil situé en O aperçoit l’objet éloigné en Q à la surface d’une feuille de papier, sur laquelle l’objet peut être dessine.
Uiie lentille concave , placée devant Iç
'JO ' THÉORtl
miroir métallique, ou une lentille convexe placée au-dessous de la lame de verre , donne aux rayons venus des objets et de la pointe du crayon la même divergence.
On peut , à l’aide de lentilles convenablement disposées , obtenir à volonté une image plus petite ou plus grande que l’objet ; à l’aide d’un verre coloré placé devant le miroir A B , on diminue , s j 1 est nécessaire , la vivacité de la lumière.
M. Amici a imaginé diverses autres dispositions sur lesquelles, nous ne nous, arrêterons pas ; on peut consulter à ce sujet le Traité de Physique de M. Desprets.
* La théorie des ombres n’est pas une partie aussi importante de la perspective
3 u’on pourrait le croire , pour la peinture U moins. Il n’est guère possible en effet de chercher toutes les ombres d’une composition historique ou d’un paysage , sans charger son dessin d’une prodigieuse quaii-
SKS OMBRRS.
tité (le ligues qu’exigerait la représentation exacte des diffcrens corps qui entrent dans le tableau. C’est le sentiment qui doit le plus souvent remplacer les méthodes géométriques . et nous ne les donnons ici que pour n’avoir rien négligé malgré le cadre étroit qui nous est assigné. De plus , il n’est point inutile de faire remarquer que tout ce qu’on démontre sur les ombres des corps , bien qu’exact du côté mathématique , est physiquement faux. Cette contradiction vient de l’hypothèse qui sert de base à la théorie, mathématique. Par exemple , et afin de prendre un exemple bien sensible , on trouve , par le calcul , (jue l’ombre de la terre doit s’étendre jusqu’à HO de .ses diamètres ; et, comme la lune n’en est éloignée que d’environ 30 diamètres , il s’en suivrait que lorsque dans les éclipses , cet astre tombe en entier ou en partie dans l’ombre de la terre, il devrait disparaître en entier ou en partie. Il n’en est pas ainsi cependant , et la partie éclipsée au lieu de disparaître en entier , est seulement rougeâtre ou très - obscure ; mais visible cependant. Maraldi , voulant éclaircir ce phénomène , a fait des expé..
riences en plein soleil , avec des cylindres et des globes pour voir jusqu’oii s’étend
jy
'Ji THEORIE
leur ombte véritable. Il a trouvé que cette ombre qui devrait s’étendre à environ HO diamètres du cylindre ou du elobe , ne s’étend, en demeurant toujours également noire , qu’à une distance d environ 41 diamètres. Ce n’est point ici le beu de chercher à expliquer ce phénomène , il suffit de l’avoir reconnu.
Cela posé , nous traiterons d’abord de la berspective des ombres données par le soleil ou. par la lune, puis des ombres au flambeau. Quaiït à celles produites par la lumière diffuse , par celles que donnerait , par exemple , une fenêtre non exposée au soleil, elles sont en général faibles et indécises ; c’est encore bien pire quànd il y a plusieurs croisées dans un appartement , càr elles produisent chacune leur lumière sur le même corps , par conséquent ce iporps porte autant d’ombres qù’il y a de lumières ; mais ces ombres deviennent si confuses entre elles , qu’il est mutile de chercher à les tracer suivant les règles de la perspective ; on en viendrait sûrement à bout , mais le tems qu’on passerait à ce travail serait presque perdu , parce que Ict effets qui’ en résulteraient seraient vagues et induis , et qu’on ne saurait aucun ^ré à l’artiste de la peiüe qu’il se serait donnée : nous n’en parlerons donc point.
