OP::^A:AP

Il y a deux cas : ou la droite A P , qui.

joint le point donné an pied du spectateur est perpendiculaire à la base du tabléau comme dans la ligure B , ou elle lui est oblique, comme dans la figure C.

Premier cas. La droite A P étant perpendiculaire à la base du tableau. •

Les hauteurs OP étant Tune et l’autre perpendiculaires à un même plan (le géométral), il s’en suit qu'elles sont parallèles ; l’angle O est donc égal à l’angle a, et les triangles OPA, ab k étant par conséquent semblables , on a

Aa:OP::AA:AP.

DK PEftSPBCTlVE^ ta

Deuxième cas. C) !a droite A P éla n t

oblique à la base du tableau.

Des points A et P abaissez sur la base les perpendiculaires A w , P n. Les triangles A m b, V nb seront rectangles en m et n , de plus leuŸs angles V b n, ni n k.

étant opposés au somtnet, sont égaux. Cei triangles sont donc semblables.

On a donc

AA;ÀPlI/nA;Pn,

proportion d’où l’on tire

AA-f-APou AP;/^ A;;m A-|-Pn;/« A ,

ou en renversant

' b k\k'9\\mk\mkr\-Vn )

mais on démontre , comme dans le premier cas, que

a^:OP::^A:AP;

or , à cause du rapport commun à ee»

deux dernières proportions , on a

MOTlOütS

Or mk est la distance du tableau au point A , et P n celle de Toeil à ce même tableau. Ce théorème est donc démontré.

Ce principe une fois bien connu , il sera facile de l’appliquer à la résolution des

S roblèmes suivans ; mais , avant tout , nous evons prévenir le lecteur que nous supposerons toujours à, l’avenir que le plan géométral a décrit autour de sa commune section , avec le tableau , un quart de cercle; les figures y seront donc rerwersées , ’est— à-dire que les points qui, vus au ^ travers de la^vitre , étaient les plus éloignés du spectateur, seront les plus bas dans le géométral , et que ceux , au contraire, qui étaient le plus près du spectateur, seront les plus élevés dans le géométral. Tel sera le seul résultat de ce ren- \ ersement , car les points qui étaient à la droite ou à la gauche du spectateur, seront toujours à sa droite ou à sa gauche dans le géométral.

Problème.

Etant donné un point dans le plan géométral, trouver dans le tableau le lieu .perspectif de ce point.

Soit { fi g. 1) aY, rinterseclion du plan.

géoinétral avec celui du tableau, soit HL la ligne d’horizon , soient Y le point de vue , D le point de distance et A le point dont il s’agit d’obtenir la perspective; on conçoit qu’il sufllra de conduire du point A, la ligne AP perpendiculaire à X Y, puis du point P , comme centre , et avec un rayon é^al à AP, on décrira le quart de circonférence AA' du côté opposé au point de distance relativement au point de vue; enlin , du point P on tirera P V au point de vue, et du ])oint A' on conduira A'D au point de distance ; l’intersection a de ces droites sera le lieu perspectif du point donné (4).

(i) Kn cflet, puisque les lignes X Y HA sont paralU'-lcs, les angles Y P V, HV P sont égaux ; mais les angles A' a P, V a D opposés au sommet le sont également. Les triangles V a D , A' « P sont donc semblables; or, si par le point a on conduit à la base la perpendiculaire rn, on démontrerait de même que les triangles A'^« a , r D a sont semblables, ainsi que P « « et ra V; on a donc.

a n : a r :: nP : a\