R.OC = P.OA +Q.OB

Pour exprimer ce résultat d'une manière qui en rappelle facilement l'interprétation, même sans le secours des figures, nous représenterops respectitement par ^p, X^, Xr, les distances des points d'application des trois forces P, Q, R,au point O pris arbitrairement pour origine sur la ligné AB ; et la relation précédente deviendra

R.X, = P.X, + Q.?^,; (i) il faudra toujours y joindre

A l'aide de deux ces équations , il n*est aucune ques-

36 NOTIONS EliÉMENTAIRES

tion sur les rapports des composantes P et Q ayec leur résultante^ qui ne puisse être immédiatement té^ solue.

Supposons, par exemple, que l'on donne la résnl* tante R , avec son point d'application G , déterminé par les distances CA=p, CB = q, et que l'on demande de trouver les composantes P et Q, qui, étant appliquées aux points A. et B , doivent lui être équivalentes. Dans ce cas, on aura

Xr-— Xp=/?,X, — Xf'sszqf d'où X^ — Xp=p+^;

et déterminant P et Q en R, à l'aide de l'élimina* tion entre les équations (i) et (2)., il viendra,

P + 9' ^~P+9' qui sont précisément les premiers résultats du théo^ rème lll.

Si^i au contraire , les composantes P et Q sont données individuellement comme dérivées de la résul" tante R , et que l'on demande seulement d'assigner les points A et B auxquels il faut les appliquer^ pour que leur efifort simultané soit équivalent à celui de' cette résultante, alors les distances Xr^ Xp , X^— X,, ou AC , BC seront les quantités inconnues ; et en les désignant , pour abréger , par petçy comme nous l'avons fait tout à l'heure , on aui*a

Xf — — Xp ^=/> , X^ — Xf = g»

Tirez de la première X^, de la seconde X^, et subs* tituez*]es dans l'équation (i) ; tous les termes affectés de Xr se détruiront d'eux-mêmes, en vertu l'équation (2) , et il restera simplement

qq—Pp = o,

c'est-à-dire que les distances AC , BC, prises autour de la résultante, doivent être réciproques aux forcer P et Q. Ce résultat est précisément la troisième partie du tbéorëme I. Cette relation seule ne suffit pas pour déterminer complètement les distances p et q f puis* qu'elle assigne uniquement le rapport qui doit exister entre elles. Si donc on ne se donne pas d'antre particularité, les forces P et Q pourront être placées autour du point C, dans une infinité de positions différentes, qui toutes satisferont h la condition commune que leur effort simultané sur la ligne AB soit équi- Talent à celui de la force unique R; du mpins e;n supposant que leqrs points d'application $ux les prolongemens de AB soient rigidement liés à cette droite.

Mais cette indétermination cessera si l'on astreint ces forces à quelque autre condition nouvelle. Veuton, par exemple, que la distance AB, entre leurs points d'application, soit donnée et égale à unç longueur a; on aura , diaprés cette condition j, p -|- ^ =s a , et cette relation, combinée avec la précédente, donnera

^""P+QT^ R ' ^""P+Q" R'

ce qui est la seconde partie du théorème 111. On peut varier indéfiniment les applications des formules (i) et (2) ; msris les précédentes suffisent potir montrer l'usage que l'on en peut faire, aihsi que la ipanièr^ dont il faut interpréter leurs in4icatious.