P MP

Or« JVf P 06t oonou, et-M X est facHe à trouTçr. Car, d'après la constructioA qui adétermiaéie point X/DPMX est «n parallélogramme, ce qui donne MXs=DP; et d'après la construction qui a déternaîné le point D, DPMR est aussi un parallélogramme, ce qui donne DP s=: MR-, de là o]\ tire MX = MR , et par conséquent

P mV P MP

donc on aura aussi

c'est -à«dire que, si |es forces composante^ P et Q sQnt respectÎTement représentées .par les longueurs MP ^MQ , kur résultante R le sera* par la longueur MR , égale à la diagonale' du parallélogranibae construij; sur MP dt MQ , ce qui est fat seconde partie du théorème. . .

COROLLAlAS I« -r

4o. Il résulte 'dç ce qui précèdp^ que, lorsque deux forces quelûonqu^s P. et. .Q^sont appliquées à un même point matériel M, fi&l^^^i. I'<>if représente ces deux forces ainsi que leSr. rés^jt^^Ç. R par des.loxig^ars MP^ MQ^f MR| qui leur soien^espectiVçmçnt propor^ tionnèlks , et que l'on «porte/ce^t^ôis longucfurs jsLur les diréotioiis pï'opres desiorces^^qu'elles représeptent, cette construction donnera' un tnç^gle fermé MPR dont les relations trigonèmetriquesMreprésenteront tous les rap-

Sa NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

ports qui existent' entre les înteasités respectives des trois forces et leurs mutuelles inclinaisons.

Et comme ,^ dans tout triangle composé de trois côtés et de trois angles, si l'on donne trois quelconques de ces élémens parmi lesquels il ise trouve au moins un côté, on peut calculei*ies trois autres ; de méme^ dans la combinaison des trois forces P9Q, R,'dont la derrière est la résultsmte des deux autr^ ,, si, parmi les relations d'intensité et d'inclinaison qui existent entrb elles, on s'en donne trois quelconques, parmi lesqujelles il y ait au moins une des intensités , on potirr§ par le calcul trigonométrique déterminer les. trois autres.

4i.Par exemple, siTou se donne les deux intensités des composantes P et Q , avec l'angle PMR. que la première d'entre elles fait avec la résultante R, on connaîtra dans le triangle MPR deux côtés, savoir, MP = P, et PR=;MQ :n'Q , avec l'angle PME opposé à l'un d'eux; de sorte que tous les autres élémens du triangle , et par conséquei^t toutes les autres relatrons statiques des forces, s'obtiendront par la simple proportion des sinus aux côtés op{^Dsés. L'aspei^ s^l du triangle Mt^R montre qu'en général les trois forces P, Q, R sont toujours entre elles <fa«s & rapport d^s sinus des angles fomi^ s par tes directions des deitx autres*

42. Si , au lieu des 'données précédentes, on avait les forces P, Q, aveci]fm!^glé compris enti-e elles, onxïdnnaitrait dans le triangle PMR„ d^ux cAtés'MP,*lPR,avcc l'angle compris MPR , supplément de l'angle donné PMQ que les forces comprennent entre elles : on n'aurait donc qu'A appliquer lamétliode de Trigonométrie propre \ ce cçre particulier. * ^

, 4^' Enfin , si l'on se donnait les trois forc^ P , Q"^ R, on connaîtrait les trois côt^clii triangle MPR , çt l'on obtiendrait les angles r<^'ést-A-d[ire les inclina.isoifs mu-

tuelles des ùmces entre elfes , par la formuSe qui donne le cosinus d'un angle quelconque 'd'un triangle en fonction des trois côtés. «

44* Toutefois, au lieu de recourir* dans chaque cas^à la méthode trigonométrique, on peut fixer généralement les relations des £oro^ P^ Q> R» par des foroMilee algébriques o& il ne reste plus qu'à sul)stituer des nQm« bres; c'est à quoi l'on parTient aiséiuent de la. manière suivante.

Ayant construit sur les troi^ forces le parallélogramme MPQR, £g. 35 i^lequel se trouve divisé par la diagonale MRen deux triangles égaux , menez par le point d'application M, une perpendiculaire indéfinie YZ à cette diagonale ; puis abaisses des points P et Q les droites P/>9 Qq, perpendiculaires à MR,' comme aussi ^yfQ», perpendiculaires à YZ. Les dei^x triangles MP/>^ Q^S * formés de cette manière^ seront évidemment égaux entre eux^ de sorte que Pje) ou M^k sera ^al à Q^ ou Mis; et en outre, la longueur MR^ qui, se compose àeMq -f" 9^9 se trouvera aussi égale à Mq + Mp, Ces résultats, qui fixent les sommets du triangle MPR, étant écrits en Al-^gëbre, renfermeront U>utes les relations que nous voulons exprimer.

£n effet, désignons toujours les trois forces par PrQ> R; il faut nécessairement introduire dans le calcul leur-s inclinaisons mutuelles. AppelouiP' a Pangle -PJVIR» a l'angle QMR é[ue chacune d'elles forme avec là résultante commune : alors, dans le triangle PM/>, le côfé^P/) sera e^priibé par P sin a, et le côté M/? par P coaoij pareillement, dans le triangle MQ^, Qq sera Q sinjofi et MQ sera Q cos a , de sorte qu'en exprimant les condir tions géométriques trouvées plus hant^on aura pour Tégalité des perpendiculaires Pp et Q^,...Psin a=:^Qsina' ^-(i), et pour MR = M/Î+ M^. . . . Rs^sPcosarhQcosa' (2}.

Gtodeux formules très simples^tant cottiliiiiées ensemble^ donneront tontes les relations des forces P^ Q, R, et suffiront pour résoudre immédiatement tostes les questions que l'on pourra se proposer sur le eoneoars de ces forces.

45. Cest ce que l'on Ta Toir par l'emploi que nous allons en faire; mais auparavant il ne sera pal inutile de montrer pourquoi elle» doiyent aroir oette gfoé-« ralité.

Ayant mené la ligne TMZ perpendiculafipe i la ré-* snlfante ME, nous pouvonA considérer MP couse la résultante de deux forces, dont Pnne sefait dirigée saÎTant MR; Pautre suivant YMZ. Il suffit pour cpla «^e ces deux composantes soient conTenableUhent détepjdinécspar le parallélogramme des force», suivant les nSfnaQE directions qu'où leur attribue. Cette ôpératiom dgnne évidemment Mp pour l'une, My pour Kaatre.

Faisons la même décomposition pow MQ,; nous anrems pareillement pour nos deux comi^santes Qf jf, Mx.

Maintenant M/7, M^, étant dirigées suivant la même dfoite MR, et de même sens, s'ajoutent ensembio et donnent une récitante égale à leur sointne P cos ix + Q cos a\ Les deux autres My , Mis, sont également dirigées sur la même droite, mais elles sont de sens contraires; elles se composent' donc en ime seule égale à Jeor diiSl^ rencePsina — Q sfaia', ou jQ sina' — P sina* Or, si eette différence n'est pas nulle, la force qu'elle exprime se'cMipofleraaYecPçosa -4- Q cos «', et il en proviendra luM résultante totale dirigée^lansl'angle TMR ou ZMB, par conséquent différente dé MR^ Donc, si l'oq veut exprimer que MR est réellement la résultante , comme on a l'intention de le faire, il faut écrire que la diffé* renée P aina-^Q sina' est nulle, et qae la somme -P cosa+Q cos a' représente à elle seule la rés|Eihante

^ DE SÏÀTIQVK. U

Gbflrdiée:.-,TJnià aussi pricisément Im deux oondition^ qu'expfiment les cleui^ ^uatîons (t) et (a) Aii § 44*

46. Maintenan|> pour montrer I^emploi de ces for-» mules, appTiq^upiis-les dfabôcd à -l'exemple du | 4^ » ^ l'on se donné lei deux coniposant,es P et Q aVée l'angle PMR ou a, que la 'firemière d^entre elles forme avec la résultante IL Dans ce caS| IsLprieaMfare des équations^ i ) donnera de 'suite'^' , c'est^à-^ire Tangle de Q ^ec.]B. ou QMR ; les deux dngj^s a » :i(/itànt cdnnus ainsi que P et Q, R derieAJLnt coiii|f|tètemçiit calculable par Véquatipn (a). Mmoû poiif |i*aft| dans ce cas particulier^ ob* tenir R d^une Hiamëij^ j^loa sim:plev çàr» si l'on prendLllt Taleur deP daps F^qation (*) et qu'on la substitue

dans l'équation {pk\ on JtouTéra après les réductions

« Q8În(a + a^)

^ JK. -■-■' : i w ■■>■ y ^r

sin a

€€ qwL donwra fi. pm* la simple, pnaportion des*<STnus> oonmite 1^; effet ..le^^coBsidârationa géomètriqo^s nous

"rMdenimaiqttéV^i- :

49* Prenons. p<rar seeiaid «umplé le ou àa % 4^ofc

rem se donne les iorœa^smnpùêatLHa 9 jert Qr.avecPattgle

PMQ ou /»/*+• a' compris entre ellesr

'Aknra awnÉnt des équatiom (i) ^(s) ifeit ÎMniédia-

tèment calc^flble, pviaqna Von pe contiatt bi. «, ni d/^

nsaia aetilenieiit leur sommo: il Ibit deacmodlifier nos

équationà da iftanlerè à iolrodsiire éet élément VoÉr

etla, U^de la première* ai%£/v ^vouiasm i-.

' . . Psîna. .

Ajoutant de part et d'av^e skia et le retranchant successiyement^ il vient

56 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES •ina'+8ina=^ ~ , sina' — siuasss ^ ^^^-— •

En divisant ce^ deux égalités Pune^r Tautre. ma disparait du second membre , et il reste -

sina'— -sîna P — Q ' sma 4- «iïï^ • ^ + Q ' ,

or, on a engénéra^ ^ .

sin a — sin a tapfe~'(</T. a)

sîna' + sin a "*" tan|^ {a' -f- a) '

substituant dans Péquation précédente, il rient

tangi(a' — a) = Ç^T^Î.tangH^' + a).

Le second membre est maintenant calculable, puisque a -f" ^ est donné ainsi que P et Q. Oa en déduira donc a -— a, et par suite a' et a,, ce qui nous £era retomber sur le ca9 précédent, et alors on trouyèni R par la-pro* portion des sinus. Or, ces calculs sont a^ssi'ûientiqQe'> ment ceux que la méthode trigonométriqnè nous a ifa-' diqués dans le § 4^, pour le cas que nous venons de considérer.

48. Enfin/ reut-oa prendre pour dernier temple celui du 5 4^> où Pon se donne seulement les trois forces P, Q, Ry'sans assigner autrement leurs directions? Aiôrs'a et à' sont tous deux inconnus dans nos formula et il faut nécessairement chasser l'une de ces quantités par Pélimiiiatiou pour pouvoir conclure l'autre. Passons donc tous les termes qui contiennent a'^ par exemple^ dans un seul membre; nous aurons

Psina = Q sin a\ R — P cosa = Q cos a'.

DE STATIQUE- S'j

,M ainteDant-Aleyoïis les deux membres de ces èqaalions aa carré et ajoutons-les ensemble : a^, disparaîtra par cette opération ; car on aura alors dans le second membre Q* ( sin* a -|- cos*. a' ) , et* les relations des " lignes tri^ooométriqués entre elles nous apprennent que le carré du sinus d'un angle plus' le carré de son cosinus 'forment toujours une somme égale au carré du rayon qurest ici, prie poar unité. Il se présentera dans le premier membre une réduction pareille à Retire sur les termes P* sin^a«-f"P* cos^ a; mais a ne disparaîtra pas oomplëtament de ce premier membre, à cause du doublé l^rodintde H par P oos a, de sorte qu'il restersi ' après les réductions

R» — aRP cosa + P* = Q% et par conséquent on en tirera

Ra^P»:Q» •