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a étant ainsi connu; oh aura a par la proportion des sinus/ eomnie r indique l'équation (i). Cette n^â>che est encore identiquement celle de la-métbodctrlgMiométrique; oan l'expression précédente de cosa est exactement cdle qui sert à résoudre un triangley connaissant les trçis côtés.
49. Les exemples qui précèdent comprenant tous les cas qui peuvent se présenter dans les applications , ne peuvent laisser aucune obscurité sur l'emploi et sur l'interprétation des formules (î) et (2) du § 44, et elles achètent de mettre dans une complète évidence la gé^ uéralité des expressions algébriques, et la simplicité de leur usage quand onsah les interpréter.
5o.\ Néanmoins, en voyant les formules (i) et (2) reproduire ainsi à elles seules la solution de tous les cas
58 NOTIONS EL£MENTAIR£S
de la Trigonométrie^ on peut se dema«der encore q«elie est la raison géométrique qui ienr donne celte élendhe; de mèipe que nous avons chprehé dans le 5 4^ conuocnt elles se trouyaient exprimer toutes les conditioas itaii* qae$ de la composition de deux forces oonoôurantet.
C'est qu'en effet ces deux formules renferment el expriment tontes les conditions néœ^ires peur ifae b triangle PMR, construit sur la résultante ïi etaea txnutr posantes, existe géométriquement. Car soit PMlC, filg. 36^ ce triangle dont les côtés doiTent être P, Q» B. Da sommet P, menés Pp perpendiculaire au côté R» tous anm ainsi partagé le triangle total PMR en 4ettx triangles rectangles VMp, PB/?^ qui devront aypirP/» ponrluittteur commune^ c'est ee qu'exprime l'équation
P sina^Qsina'.
Mais cette relation n^ su£5t pas pour écrire que les trois côtés P, Q^ R appartiennent k on même triangleî ^^ elle pourrait s'appliquer également k deux triangles rectangleç séparés Tun de l'antre^ tels que PMfp, P'R/) fig. 37 y pourvu que les hauteurs Ppy^V^p' de ces. deux triangles* fussent égales entre elles. Il iaut doue encore une condition qui rejoigne ces deux triangles Fan à fatttre pour en faire un triangle unique PMR'. Cest précisément là ce que fait l'équation
(2) R = p cos a + Q cos a^]
car elle exprime que la longueur MR, représentée ioi par R, est exactement égale à la soinme des lignes Mp , Rp', dont les valeurs algébriques sont respectr?ement P cosa et Q.c(»sa . Or cette égalité ne peuft aty>ir lieu sans que les points P, p' ccnncident. Elle acbève donc ainsi At fermer le triangle eonstruit sur les' trois Ugnes 1^) Qy R.yoiU/H^i4^ii9iles éqnations (i)el(2) réunies
ensemble reniisviiieÀt tontes les relations de la Trigonométrie plane, et suffisent ponr.ei^ reproduire tous les résultats.
COHOLLAIRE II. .
5i. Ij nous sertf utile par la suite de signaler ici un cas particulier de la décomposition des forces^ qui s'est '<3éji présenté à notis dans ce qui précède et qui revient continuellement dans les applications. C'est celui od l'on se propose àe décomposer une force B. ou MR, fig. 38^ suivant deux directions rectangulaires l'une à l'autre. Alors la construction générale rend le parallélogramme rectangle ; et si l'on représente par a, a\ les deux angles PMR, QMR qui, pris ensemble, valent alors un angle droit, les tiAanglei PMB.^ qIvIR donnent
PMssMRcosa, ou p3=Rcos<»,
QM == MR cosa^, ou Q = R cosa',
c'est-à-dire que, dans les décompositions rectangulaires^ chaque composante se trom/e égale au produit de la rè~ sultante par le cosinus de leur mutuelle inclinaison. Dans ce oàèj les longuefirs MÇ, MQ^qui représentent les deux composantes j sofit le^ projections orthogonales de la résultante sur chacune des directions de ces forces. Ceci est une manière différente et assez usitée d'énoncer le théorème précédent.
COROJLJiAlBE lU.
52. Les résultats dç la composition des forces concourantes 'peuvent se présenter sous une forme analogue à celle que nous 'avons employée 5 3i, 36 pour les forces parallèles; et il y a d'autant plus d'intérêt à le faire, que ces deux cas sidîfférens en apparence, Se rassemblent ainsi diins un éftoneé cottibun.
Pour j paryenir, guÎTcms une àiarche semUaUe à celle duÇ'Si, soient P et Q nos deaiç. forces oomposantesy formant les angles a et a ^yec leur IréMiltante R. Nous avons à construire ici la relation
R == P cosa + Q cosvz'J
C|ni est analogue à R = P-f-Q du>5 3i« Par k point d^anplication M^ fig. Sg, menons,, dsins le plan des forces y une droite indéfinie MZ suivant Une dirèctioD absolument arbitraire ^ et nommons A Pangle ZMR qu'elle forme avec la résultante MR. Si nous multiplions les deux membres de l'équation précédente par sin A; il Tiendra
Rsin A=:Pco8a.siil A-f^Qcosa'.âin^A ;
remplacez cosaisin A par sin (A— a) + cos A«sina dans le terme en P^etcosa^sin A parâinCA-HsO'^^^Cfts A.sina^ dans le terme en Q, vous aurez
R sin A = P sin (A — a) + Q sin (A + a ) .
+ co8A(Psina — Qsina^).
Or la portion du second membre qui est multipliée par cos A est nulle d'elle-même^ d'après la relatibii gêné* raie (i)
P sina = Q sina';
on a donc siâiplement
RsinA=Psin(A— a) -|-Qsin(A + a') ;
c'est-à-dire
R sin ZMR = P sin ZMP -)- Q sin ZMQ.
Cette forme est déjà analogue à celle du ^ 3i ; maifi on peiA encore l'en rapprocher davantage. Pour cela ayant
DE STATIQUE. 6i
pris arbitrairement un point O sur la droite MZ^ oonatruisez sur MO comme corde ^ un arc de cercle capable d'un certain angle quelconque C, que tous choisirez à ▼olontti. Alors si A, B, G, sont les trois points oi cet arc coupe les trois directions des forces, les droites OA, OB, OQ, que nous représenterons respectivement par Xp-, X^, Xr, feront toutes lé même angle G avec chacune de ces trois directions ; ainsi dans les trots triangles formés par MO avec ces droites , la proportion des sinus aux côtés opposés^donnera
«n ZMR =• X, . *^; . sinZMP = ^i"^^.'
sinZMQ = X,.'^;
Substituant ces trois sinus, dans notre équation, le rapport -jrTTT disparait comme facteur commun ,. et il
(a) RXr = PXp+QX,; \
relation parfeitement analogue à celle djes § 3 1 , 36, à cela près que les droites Xp , X^ , Xr, qui coupent les forces sous le' même, angle f ont dA directions diverses , tandis que dans les Ç'3i, 36,1e parallélisme des forces P, Q,'R, les faisait é(A'ncider«
Gette relation ayant été déduite de la combinaison des équations fondamentale* (i) et (2), peut servir à remplacer une quelcoifque d^entre elles. Nous la substituerons à l'équation (1); alors pour compléter Içs pondit tons du problème, il faudra lui adjoindre l'équation (2), savoir:.
{b) R = Pcosa+Qcosa',
. 6i NOTIONS ÉLÉMENTAIRES
qui est analogue à RssP*f-Q.du §3i« et 1^ équations (a) et (è) ainsi préparées conviendront généralementà la composition de deux forces soit concourantes. soit parallèles.
En effisty pour passer d'un de ces cas à l'autre , Vous n'aTes qu'a supposer que dans la fig. Sg, le point d'application M s'éloigne de plus eq plus du point O sur la droite file OZ| en laissant les distances OC, OA, OB constantes ainsi que l'angle commun C. Gela est toujours, géométriquement possible; seulement il faudra que les angles ZMfi^ZMP, ZMQ, dont nous avons trouvé pins haut les sinus, diminuent en même temps que MO augmente, conformément à leurs expressions algébriques ; ce qui les oblige h devenir tout-à-fait nuls lorsque le point M se sera éloigné du point O sur la droite OZ ji-une distance infinie. Or, quand il en sera ainsi, les directions des forces P, Q, R,. deviendront toutes trois parallèles à la droite ZO, fig. 4o, côi^séquemment elles seront parallèles entre elles ^ leurs inblinaisons mutuelles' a et a deviendront donc nulles, ce qui repdra leurs cosinus égaux à l'unité ; et les droites OA^ OC, OB, coïncidant les unes sur les autres en direction, sans changer de* longueur^ Iront toujours coujper bs <1irections communes des forces sous un même angle C^ comme précédemment: on aura donc toujours '^•
' (a) BXr=PX,+QX,,
comme dans le cas des forces concourantes; maisPéquation (b) sera i^éduitc à ' ^
précisément comme le veut l'équation (2) du J '3i. Cet exemple, en montrant k découv/ert la transition progressive u^iAi de ces cas à l'autre, est très propre à las éclairer tous deux.
DE STATIQUE. Ci
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