CHAPITRE YtL

Conséquences générales des théorèmes

précédens.

Composition d'un nombre quelconque de forces pèirah lèlea expliquées à un corps éoîidê»

53. Lorsque. FoD sait composer ensemble deoz forces parallèles appliquées aux extrémités d'une droite rigide, il e^ fBK^ile d'étendre cette opération à un nombre quçl« conque da forces parallëlfi entre elles, ai)pliqnées aux sooimets d^un polygone rigide de figure qndconque , compris ou non>dans jcui même plan. £n effet , soient ^ fig. 4i , Al y Aft , As >•«.••• ces sommets en nombre quelr conque; et Ai Pi , A» Fa, A3 Psy les forces parallèles qui y sont ândiTiduellement appliquées, lesquelles noos supposerons d'abord dirigées dans un même sens. On pourra, en Tertu du S ^^9 composer Pi et P» en une seule résultante Ri égalé à leur, sonmie Pi -f- P^ et appliquéê«8ur la même droite en un point Ci , tel que les produits P,.AiÇi I etPft.AaCa soient égaux entils eux. Puis, joignant te point G, i^u sommet suirant Aj du polygone, on pourra considérer G1A3 comme une droite rigide, puisque, 4*api*ès la^ature même du polygone , les points Çi et A3 'qui en font partie se trouvent maii^tenus à une distance inyariable entre eux; lUUis alors

64 NOTIONS ELOfENOrAlRES

les forces R. et Ps étant appliquées anx extrémités de cette droite, pourront se composer en une seule résultante lU égale à leur somme, c'est-à^ire h R, -j- P3 ou Pt+P.+Pj, et appliquée en un point C^ dont la position sur CiAs sera pareillement déterminable. Cette seconde résultante à son tour étant composéçavec P4, donnera une tiouTelle résultante B3 égale à B^ -f- P^ , et ainsi de suite ; d'où l'on Toit qu'en définitif toutes les forces -se composeront en une seule résultante &, ^ak

à leur somme totale P, + P» +Pt et appliquée m

un certain point G dont la position se trounera déterminée par la succession même de ces opératiq^is.

Et si, au lieu de supposer toutes les; forces dirigées dans un même sens, on supposait qu'il j en a un certain nombre dirigées dans un sens et les antres en sens contraire, en les laissant toujours par^lèles, il est clair que l'oû pourrait, comme nous Tenons de le dire,ol>tenir d^adwrd une résultante partielle peur cbaqu^ sens de forces ; pi}is, si ces deux résultantes étaient inégriei^ on pourrait par le § 82 les oontposer en une seule , ^le à l'excès de la plus grandie sur la plus faible, et dont le point d'application serait pareillement déterminé; mais si les deux résultantes opposées se trouTaient ^ales, elles ne seraient plus réductibles a une seule force, ^ 33, de sorte qu'il faudrait tes laisser subsister IndiTiduellement ou les considérer comme on (H>uple appliqué au polygone donné.

^Enfih, si le système des forces parallèles, n'était^ pas immédiatement appliqué à un polygone rigide, mais à divers points d'un corps so^ide^ coAime, d'après la défi* nition d'un pareil corps, ^ n, tous ses points sont rigidement liés ensemble, §i ipaîntenu^ entre eux à des distancés inrariables les uns des autres, 6n pourrait représenter cette inyariabilité en supposant les. points

«l'application pigrticulîers des forcées, joints entre eux par autant de droites rigides faisant partie du corps même; ce qui formerait un polygone rigide aux somr mets duquel les forces seraient appliquées ; de ^sorte que l'on pourrait les combiner par composition successive > €t les réduire à une résultante unique, ou à deux résultantes égales agissant en sens contraires, comme dans les cas précédens : et celte résultante totale ou ces résultantes partielles devraient être considérées comme agissant sur le corps solide aux points respectivement obtenus pour leur application,

54* l-^es choses étant ainsi disposées, concevons que les forces composantes Pi, P», P3, primitivement appliquées au système solidC) prennent toutes simultanément une nouvelle direction dans l'espace en restant toujours parallèles entre elles, et conservant toujours leurs mêmes points d'application primitifs. Il est clair que leur composition successive s'opérera encore de la même manière. Ainsi les résultantes, soit totales, soit partielles , auront eucoi^e les mêlées valeurs-, puisque elles sont respectivement égales à la somme des composantes qui agissent dans leur sens propre ; et leurs points d'application respectifs dans le corps solide resteront également leà mêmes, puisque le polygone rigide auquel les composantes sont censées appliquées et le mode de division successive des côtés de ce polygone, seront absolument les mêmes que précédemment. Il n'y aura donc en tout de changé que la direction des résultantes définitives, soit totales, soit partielles, laquelle se trouvera parallèle à la nouvelle direction que les composantes auront prise dans l'espace.

55. Œanger ainsi la direction générale des composantes dans l'espace, le corps restant fixe; c'est absolu*^ ment la même choâe que de changer U position du

eorpi autour de la dîrectîondes forces, celle ««et àtmeûrant fixe , et les forces restant appliquées a«x uBêmes poinijs malérids , avec Içur Tnèeie intensité. Les points d'application des résultantes, sbit partielles, aoit total», resteront donc encore les mêmes dans le corps solide, si on le fait ainsi tourner autour de la direction des forces supposées invariables. Cette propriété « fait donner dus: points dont il s'agit le nom de centres des forces fHU^llèleêf lequel s'emploie ordinairement d'une ma^ nière spéciale pour chaque système de forces partUMo agissant dans un même sens.

56. L'extrême simplicité de ces résnlttits aixrait sans doute permis de les placer immédiatement à la suite des théorèmes relatifs k la composition de deux forces parallèles; mais nous n'avons pas voulu les «énoncer d^une manière purement abstraite^ comme nous aurions été obligé de le faire alors. NoU's avons trouvé préférable de les accompagner des importantes applications qui s'en déduisent relativement à la pesanteur tcrresEtre et aux actions magnétiques du globe , deux des phénomènes les plus grands et les plus remarquables que l'rinîvers physique présente à nos réilexions.

Pour nous élever à ces conséquences , il faut remarquer d'abord quelles théorèmes démontrés dans les précédens paragraphes sont vrais, quel que soit le nombre des forces ou composantes partielles qui se trouvent i^ppliqtiées au corps solide que l'on considère. Ils sriÀsist^nraient encore dans toute leur rigueur quand même le nombre des forces ainsi «appliquées serait infini; ce dernier cas est précisément celui que ta nature réalise dans l'action de la pesanteur. '

'57. On sait que tous les ôorps qui se rencôntreift sur la terre sont/>^sa7i9^ c'est-à*-dire qu'abandonnés libre- Mfnt à eui^tnémes> ils tombent aussitôt vers la surfaos

MB STATIQUE. 67

terrestre ; et méinç^ lorsqu'ils sont soutenus par quelque obstacle fî^e, leur teqd^i^ce à tomber se fait sentir encore par la pression qu'ils exercent contre cet obstacle , et que l'on appelle leur poids, hà pesanteur qui les tire ainsi yers la terre est une force qui pénètre leur niasse et sollicite leurs if^oindres particules. £n effet , chacune de ce» particule^, si petite qu'on la suppose* étant détachée du reste du corps, et ^ndoiinée librement à elle-même dans 1q TÎde, tombe encore ^ quoique isolée; et l'effort qii^'elle fatjt pour cela est exactement le même qu'elle faisait fiyimt d'étre.détachée du système total dont elle fair sait partie; car des expériences journalier^ prouvent que le poids d'un corps ne change pas après qu'on l'a divisé.

La direction suivant laquelle la pesanteur s'exerce, est le premier élément de son action que nous devions cher* cher à déterminer. On y parvient à l'aide d'un appareil nommé fiUà-rplomb j il consiste en un corps pesant M, fig. 4^ > de forme quelconque , que l'on suspend par un de ses points à un fil flexible et inextensible CM, doqt l'autre bout est attaché à un point fixe 0. Ce corps , sollicité par la pesanteui* , tombe jusqu'à ce que la tension du fil l'arrête; donc , lorsqu'il est ainsi arrêté, la résultante de la pesanteur qui le sollicite est dirigée suiva|it le fil , et se transmet par lui au point fixe qui la détruit. Maintenant, que l'on suspende ainsi, dans un même lieu de peu d'été d- 4uQ, un nombre quelconque de fils-à-plomb aussi fins que l'on voudra , auxquels soient suspendus autant de corps pesant déforme et de nature quelconque; si l'on regarde ces fils de manière à les projeter successivement les uns sur les autres, on verra qu'ils s'y alignent exactement dans toute leur longueur ; et l'observation pouvant se répéter en tous sens, il s'ensuit qu'ils sont sensiblement parallèles entre eux. De plus , si l'on place au-dessous d'eu^ un large vase rempli d'eau ou d'un autre liquide pesant quelconque » à l'état de repos , dont la sur-

face soit par conséquent plane et horizontale, on observe que l'image de chaque fil , vue par réflexion, coïncide ayec son image vue directement. Or c'est une r^le de la réflexion , que chaque point de l'objet et l'image de ce point; sont toujours dans un même plan perpendiculaire k la surface réfléchissante, donc, ici, tous les points du fil se trouvent dans un même plan ainsi conduit; et comme la même coïncidence s'observe dans tous les sens autour du fil, on voit qu'il se trouve être la commune section dPautant de plans perpendiculaires à la surface plaAe et horizontale formée par le liquide en repos; d'où il suit que sa direction , qui est celle de la pesanteur , est elle-même perpendiculaire à cette surface.

Cette direction s'appelle la verticale de chaque lieu. Or, d'un lieu à un autre, la surface des eaux tranquilles change dans l'espace , en suivant partout la convexité du sphéroïde terrestre. Donc , la direction de la pesanteur , qui lui est partout perpendiculaire, change également; mais, par cela même , on conçoit que son changement ne doit devenir sensible qu'à de grandes distances, qui surpassent incomparablement les dimensions de tous les corps que nous pouvons avoir besoin de considérer. Ainsi, pour chaque corps en particulier, la pesanteur qui sollicite ses diverses parties peut être censée agir suivant des directions parallèles entre elles et verticales j c^est-à-dire normaies à la surface plane des eaux dans le lieu de l'observation. D'après cela, nous pouvons appliquer à ce cas tout ce que nousavons démontré plus haut en général, relativement à la composition des forces parallèles. Les efibrts partiels de la pesanteur sur divers points d'un même corps, se composeront en une résultante unique et Verticale, qui sera son poids j et dont la direction passera toujours par un certain point unique de sa masse,dans quelque sens qu'on le tourne relativement à la verticale. Ce point, ou centre desiorces, prend alors le nom de centre

de granité j et sa position clans chaque corps peut, comme nous le verrons tout à l'heure, se déterminer d'après les principes expliqués plus haut

58. Supposons-le connu. Si on le fixe d'une manière invariable, on pourra tourner le corps comme on voudra autour de lui ; ce corps restera en équilibre dans toutes les positions on on le placera. Si ce n'est pas le centre de gravité ^ui est fixe, mais un autre point faisant partie du corps solide, alors il est nécessaire et il suffit pourl'équi* libre, que la droite qui joint ce point et le centre de gra« vite soit verticale, ce centre pouvant d'ailleurs se trouver au-dessus du point fixeou au-dessous. Car le poidsdu corps étant une force Terticale, dont la direction passe par son centre de gravité, et peutlui être censée appliquée, cette direction, dans les deux situations que nous venons d'in* diquer, passera aussi par le point fixe*, et son efibrt, transmis par les molécules rigides du corps jusqu'à ce point, sera détruit par sa résistance.

Si le centre de gravité est plus haut que le point fixe, le corps sera supporté; dans le cas con traire, il sera auspendu. ' On peut employer le fil-à- plomb pour déterminer la position du centre de gravité d'un corps. En effet, si l'on suspend successivement celui-ci par deux de ses points , et que l'on trace dans chaque cas , effectivement ou idéalement, la prolongation du fil de suspension à travers le corps lorsque l'équilibre est parfaitement établi , ces deux directions se couperont nécessairement en un point , qui est le centre de gravité.

On peut aussi déterminer la position de ce centre en faisant supporter le corps par un plan horizontal , de manière qu'il ne touche ce plan qu'en un de ces points, et essayant de le dresser de manière qu'il se tienne en équilibre sur ce point là. En effet, si cela avait lieu, son centre de gravité se trouverait alor^ sur la verticale menée par le point de contact. C'est ce qui peut s'opérer ai-

,0 NOTIONS ÉLÉMENTMRES

sèment et avec beaucoup d'exactitude , en l'appuyant U<téralement par un petit plan incliné, susceptible d'être élevé graduellement sous divers angles au moyen d'une vis, comme le représente la fig. 4^; et alors tout sq réduira k observer l'inclinaison de ce plan au mooieat ou le corps qu^il appuie se renverse du côté opposé« Une autre ^expérience pareille, faite dans un sens différent, donnera une autre verticale qui devra aussi passer pur le centre de gravité; et T intersection mutuelle de ces deux lignes déterminera sa position dans le corps*

59. Ces déterminations sontpuremer»te«périmenjtaIe9- Mais ne pourrait-^n pas y arriver également, ou du moins en limiter la recherche aux termes les plus simples, par le secours du calcul mathématique? Cela irapprte à G%ar miner , car les applications du calcul , lorsqu'elles sont possibles, ont une rig^enr d'exactitude que l'expérien^ seule n'atteint jamais. Or, puisque le centre de gravité de chaque corps résulte de la composition de toutes les actions que la pesanteur exerce sur les diverses particules matérielles dont ce corps est l'assemblage, on conçoit que sa position doit de'pendre à la fois de la forme du corps et de la manière , égale ou inégale , uniforme ou variable, dont la matière pesante se trouve distribuée dans son intérieur. Le premier de ces élémens, lajbrm^j se peut conclure par des mesures immédiates : le second; le mode de distribution de la matière pesante, s'obtient par des expériences qui font connaître, pour chaque portion du corps, ce que l'on appelle en Physsque sa densité. Avec ces données, la détermination du centre de gravité n'est que l'application^ littérale du procédé de la composition successive que nous avons exposé plus haut, § 53. liais, pour rendre ce procédé d'un usage commode, il faut d'abord le réduire en formule immédiatement calculable; tel est l'objet des paragraphes suivans.