Si Ton suppose le système donné de position rela

tîvement au plan ZOT, les distancés Xi^ x^^ x^

seront toutes connues. Si^ en outre , la nature physique du système est donnée, on connaîtra les intensités des forces composantes appliquées à chacun de ses élémens matériels, c'est-à-dire Pi, P^^Ps. . . . etc. Alors la seconde équation fera connaître R ou la résultante totale^ et ensuite la première fera connaître X, c'est-à-dire la distance de son point d'application au plan ZOT. Sx l'on mène , li "cette distance, un plan parallèle à ZOT, on sera sûr que le point d'application de la résultante y est contenu. ".

00. Ceci ne suffît donc pas pour le déterminer d'une manière complète \ mais rien n^empéche d'opérer relativement aux deux autres plans^ooordonnés ZOX ,XOY , comme nous l'avons faft relatiTement au plan ZOT ; et, en représentant respectivement par les lettres ^ et ii les distances qui leur sont perpendiculaires, chacun d'eux donnera lieu à deux él[uations pareilles aux préoé-r dentés , de sdrte qu'en les rassemblant on aura

RX = P,x, 4- P.*. + P5*s + ctc^

, . RY = P^^i + P^/a -f Pays -f- etc.,

^■^ RZ = P,zi + Pa^a + Ps^s... . -^ etc., H = P, + Pi + Ps + etc.

La dernière fera connaître R, après quoi les trois autres détermineront respectivepient X, T , Z, c'est-à-dire les trois distances du centre des forces parallèles aux trois plans donnés ZOT, ZOX y XO Y. Ce centra sera donc aii^i complètement connu dans tons les cas possibles sans aucune indétermination , puisqu'il devra.se trouYer à la fols dans trois plans rectangulaires, connus de position ; et l'on voit qu'il sera toujours uniqi^ pour chaque système^ puisque troifii plans rectangulaires ne se cu>apent jamais en plus d'un point.

' Ces formules, comme celles du ^ 36, peuvent embrasser à la fois la composition des forces parallèles dii'îgées. dans un. même sens ou «dans des sens contraires. Pour cela, il su£Gtt d'y supposer les unes positives, et de désigner FinrersioA de sens des autres èti les afiectant du signe négatif , comme nous' l'avons reiparqué dans le paragra^^e cité. Alors, si les deuijL systèmes de forces ainsi opposés sont tels que leur$ résultantes partielles soient égales, leur réduction à une seule résultante deviendra physiquement impossible. C'est ce que ii||>ntrent en jeffet les formules précédentes; car, si l'on suppose R nul, comme cela devrait avoir lieu, dans le cas de l'égalité des résultantes partielles dii^igées en sens contraires , ]es trois premières équations donnant les distances X, T, .!^, infinies*, ee qui est l'extension du ré-* sultat paradoxal obtenu f 3^3 poiir un cas pareil*

En outre, pour pliev les formules ii)k toutes les positions possibles du système relativement au plan ZOY, il faudra ici, de même que dans le § S6y considérer

comme positives lès distances Xi,x^y x$, , , lorsqu'elles seront comptées d'un certain oôté convenu du plan ZOT^ et affectée du signe négatif, ou considérer commef affectées de ce signe ^ celles qui seront situées du côté opposé.

64« Les formules (i), ainsi interprétées , n'ofiprent aucun si^jet de difficulté ou d'incertitude , lorsqu'on le» applique à des systèmes de points matériels distincts y sollicités individuellement par des forces dent l'intensHé est connue. M|iis il y a quelques considérations essentielles k ajouter pour en faire comprendre nettement l'extension à des sjstèrtiès matériels continus, tels que les corps physiques que la nature nous présente.

Oimmençons par considérer le cas simple oh un tel corps serait constitué de manière que toutes les parties de sa masse offrissent des poids égaux à volume égal, quelle que put être d'ailleurs l'identité ou la différence de leur nature chimique. Cet état, est celui que Fon appelle une densité uniforme. Si Von conçoit ce corp9 comme consistant dans l'aggrégation d'un nombre infini d'élémens géométriques tous d'un même volume, et individuellement si petits^ue leur apposition re^irésente, sans aucune erreur appréciable, le volume figuré de la masse totale, l'effort de la pesanteur sur t^acun de ces petits élémens devra ^étre égal, d'après la supposition niéme, c'est-à'*dire qu'ils auront des poids égaux. Alors, chacun de ces poids partiels représentera. Fune des forces ^rtietles Pi, P., P3. . . . qni deviendront ainsi toutes égalés entre elles; et la résultante' totale R ^ égale à leur somme ; deviendra le poids total du^ corps entier.' Il restera donc à effectuer k somme des nkmiens statiques des poids étéînaitaires , c'est-à-^ire la somme de ces'poids k'especti;y«meitt multipliés par leurs^ di»* tances Xx^ x^,X3. . . .. Cette somme, si on peut [Fohtenir ai termes finis , étirtit divisée par le poids total R ,

donnera la dbtanceX du centre de grayité au planZOT. On obtiendra de la même manière les deux autres distances T et Z , qui achèvent de le déterminer.

Si la constitution physique du corps proposé est telle que les diverses.partiesde sa masse offrent des poids différena^ à volume ^al , ce que l'on appelle ayoîr une densiU variable, il faudra encore le décomposer, comm^ tout à. l'heure, en élémens géométriques d'un méme^ Tolume ; mais il faudra concevoir cette subdiTision . ma* thématique poussée à un tel point , que la variation de la densité puisse être considérée comme insensible , daos toute l'étendue d'un même petit élément- Quelle que puisse être la variabilité de nature et de densité d'an corps., le calcul^ que rien^ n'arrête, peut toujours atteindre cette limite de décomposition idéale, qui ramène le corps à être composé d'élémens matériels d'égal volumeindividuellement de densité uniforme j ou du moins, si près de l'être que la différence soit au-dessous de toute^ quantité donnée. Alors- le poids de chacun de ces élémens représentera dans nos formules une des forces composantes PijPtyPs. . • . etc. ; jet K. représentera la somme^ totale dé ces poids , comme précédemment. Mais , à cause de la variation de densité, d'un élément à l'autre, Jies poids partiels P» , P», Ps . . . . etc.-, seront inégaux , et il &udra les introduire avec cette inégalité ^ams les formules, en les multipliant toujours respectivement par les distances JCiy x^^ x$ .... etc., qui leur afSpartiennent.

Si l'on peut effectuer la somme de tous ces produits partiels, et en obtenir l'expression .finie , il n'y aura qu'à la diviser, comme précédemment, par le poids, total R, et le quotient sera la distance du centre^de gravité du. corps au plan que; l'on aiîra considéré. On sent combien la variation de poids des élémens partiels doit' rendre ici le calcul plus compliqué et plus difficile.

X^is sommations de produits ep nombre infini , s'o1> tiennent par un genre particulier de caloul qui est trop élevé pour que son nom même ait ici sa place. Mais , lorsque l'on se borne à considérer des corps d'une densité partout égale , et de la configuration la plus simple , l'opération peut quelquefois s'effectuer assez facilement pour que nous devions en offrire ici des exemples , afin de donner une idée complètement nette et précise de cette importante tiréorie.

65. A. cet effet, nous ferons remarquer un C/aractëre qui se tire de nos formu|es générales , et qui , dans beaucoup d^ cas , donne d'une manière très simple une ligne droite^ ou un plan qui contient le centre de gravité. Ce caractère consiste en- ce que , si l'un des plans coor-* donnés ZOY , ZOX, XOY , ae trouve passer par le centre de gravité même, auquel cas la distance X, Y ou Z, relative à ce plan^ devient nulle, la somme algébrique des produits des poids partiels par leurs distances respectives ^ qui composé le second membre des équations (i), devient nulle aussi *, ce qui tient à l'opposition désignes et à l'égalité parfaite qu'acquièrent alors les sommes partielles des momefis statiques, effectuées des deiix côtés du plan de partage; et réciproquement, si Ton peut partager le cor]^ par tin plan qui rende. cette somn^e nulle, on sera sûr qu'il rend X, Y ouZ nuls, par conséquent qu'il contient le centre de gravité.' Or, c'est à quoi la seule raison de symétrie conduit dans beaucoup de cas^ comme on en verra plus bas des exemples.

FROBI«èBiE X.

4Soit proposa de trouver le centre de gravité d*un parailéîogramme de densité uniforme ABCDj^, ^5,

66. D'ab(H*d, pour donner à cette question .une réalité physique y H ne Caut pas se figurer le parallélogramme

8o NOTIONS ÉLÉMENTMRES

tBOBdtta it.

Déterminer le centre de gravité d'un trapè%e die densité

uniforme-

67. Soit y fig. 48; ABDE, le trapèze proposé, aaqnel noua devons, pour la réalité physique^ attribuer tacitement , comme dans la question précédente , une petite épaisseur partout égale. Menez la droite CM par les milieux G^ M , des bases parallèles } je dis que le centre de gravité du trapèze se trouvera sur la droite CM.

Pour le prouver , divisez cette droite en un nombre quelconque de parties égales MM ^ 1 M^ M^ , M^ M3 , . . . , et, par tous les points de division menez des parallèles aux bases AB, DE, du trapèze. Celui-'ci m trouvera alors partagé en autant de trapèzes plus petits , xlont les bases seront parallèles aux siennes ; et la ligne CM passera également par les milieux dé toutes ces parai* lèl^s. Car, si l'on prolongeait les côtés AD|BE jusqu'à leur rencontre mutuelle , elles passerait par leur point cottimun d'intersection; et alors, d'après la similitude des triangles dont MA, MB, M, Ai , M, !^i , etc. , deviendraient les bases, on verrait que le rapport de MA à MB est le même que celui de M^A, à M|Ëi , de Ma A^ à M» Bft . . . . , c'est-à-dire le rapport d'égajiîté. Ceci reconnu , par les points B, B,, B». . . . , où les parallèles successives rencontrent le côté oblique BE du trapèze total , menez des droites parallèles à l'autre côté AD, et terminez ces droites iiux divisions immédiatement supérieures et inférieures; vous forcerez ainsi deux systèmes de parallélogrammes de miême bauteur que les trapèzes partiels ; et dont l'un leur sera intérieur , l'autre extérieur.

Comparons successivement cbaque trapèze partiel

DE STATIQUE. 8i

aux deux parallélogrammes qui le comprennent , et commençons par AA,B,B.

Le parallélogjramme intérieur AA|B,/8 aura son' centre de gravité «itué sur la ligne M,/«, menée par le point de division M, parallèlement à ses côtés AA,, T^ifi, et au milieu même de cette ligne.

Le triangle /8BjB,qui complète le trapèze , a nécessairement son centre de gravité situé dans l'intérieur de sa propre surface. Ainsi , lorsque l'on composera le poids de ce triangle avec le poids du parallélogramme AA,B,/8, pour obtenir le centre de gravité du trapèze, ce centre tombera nécessairement quelque part h droite de la ligne M,^^ dans l'espace M.^BBi.

Maintenant, si nous considérons le parallélogramme extérieur AA,^B , le centre de gravité propre de ce parallélogramme se trouvera sur la ligne M/ti, menée par le milieu de AB, parallèlement aux côtés AA,, B6, et au milieu de cette ligne. Or , ce centre peut être considéré comme donné par la composition du poids du trapèze AA,BjB, avec le poids du triangle extérieur BB^by et il est le point où s'applique la résultante do ces deux poids. Mais le centre de gravité du triangle BBji , tombant néceèsairement dans l'intérieur de sa surface, si on le représenta par g, et que de ce point on mène une ligne droite au milieu de Mot, il faudra bien que l'autre composante, c'est-à-dire le centre de gravité propre du trapèze , tombe au-delà de ce point milieu, par conséquent, à gauche de Mtti, dans l'espace //iMAAr* Nous avons vu tout à l'heure que ce centre devait se trouver aussi à droite de M,^ -, il devra donc nécessairement tomber dans l'intérieur du parallélogramme M/7iM,|ie, que ces deux droites, limitent. -

Un raisonnement exactement pareil , appliqué au second trapèze A, AjBaBi, prouvera de même que son

centre de gravité propre doit se trouver dans l'intérieur du parallélogramme M,7/i,Mft/i,; et il est éridentque la conséquence analogue aura également lieu pour tons les autres trapèzes dans lesquels le trapèxe total ABDE a été divisé.

Or, il est facile de voir que les points d'intersection m,mi,m^ym3. , . y se trouvent tous sur une même ligne droite KN , parallèle à CM ; et que les points ^ « ^^ , /k. . . . se trouvent pareillement sur une autre droite FH é^lement parallèle k,CM, Les centres de gravité propres de tous ces trapèzes partiels sont donc compris entre ces deux droites , puisqu'elles limitent tous les espaces parallélogrammique9 où ces centres se trouTent. Ainsi, lorsque l'on composera les poids partiels des trapèzes entre eux pour avoir le point d'application de leur résultante totale , qui sera le centre de grayité du trapèze entier AD£B , ce centre devra également se trouver contenu entre les deux droites KN et FH.

Ce raisonnement est indépendant du nombre de divisions égales f établies sur CM. Le résultat en demeure donc vrai , quel que soit ce nombre. Mais, k mesure que l'on multiplie les points de division de CM, les lignes KN^FH y se rapprochent continuelleraent l'une de l'autre et de la ligne CM ^ jusqu'à coïncider enfin toutes denx avec cette ligne lorsque le nombre des diTÎsions devient infiniment multiplié. Donc , puisque ^dans ce rapprochement indéfini, elles contiennent toujours le centre de grayité du trapèze total, qui est cependant invariable) il faut nécessairement que ce centre se trouve placé sur la ligne CM elle-même , comme nous l'avions annoncé.

£t si ,^ par impossible, on voulait prétendre qu'il en est autrement et que le centre de gravité du trapèze total ^ iig. 49 > tombe hors de la droite CM , à droite ou à fauche, en G ,par exemple, on démontrerait aussitôt

l'absurdité de cette supposition. Caf on pourrait toujours rendre les divisions de CM assez nombreuses pour quefdes deux droites limites KN, FH, celle qui serait située du côté du point G , passât entre lui et la ligne CM f puisque par la multiplication des divisions , les droites KN,FH, peuvent être indéfiniment rapprochées de la ligne CM. Mais alors le centre de gravité du trapèze total devrait se trouver compris dans Pespace FHKN ; il ne pourrait donc pas se trouver au point G, hors de la droite GH , comme on l'avait supposé.