Ô^ NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

parallëlement à CM par les extrémités de la base dd hfangle CDE. Maïs la base DE peut être rendue aussi petite que Ton voudra en la rapprochant de plus en pin» du sommet du triangle ; donc les droites DD,, EE,, pourront aussi être menées assez près de la droite CM , pour que l'espace compris entre elles soit plus petit que toute quantité donnée; et ^puisque cet espace renferme^ toujours le centre de gravité du triangle total ACB, ce centre ne peut tomber que sur la droite CM qui divise constamment en deux parties égales l'espace DEE,D, , tel petit cfu'on le suppose. Si cette conclusion de limite paraissait douteuse, on l'établirait aisément par la réduction à l'absurde , comme dans le cas précédent.

Le reste du problème n'a plus aucune difficulté ; car le centre de gravité du triangle devant se trouver sur la droite CM, menée du sommet C au milieu du côté opposé AB, f]g. 5i, il devra par la même raison se trouver aussi sur la droite AM, , menée du sommet A au milieu du côté opposé CB. Il se trouvera donc au point d'intersection G de ces deux droites.

Pour trouver sa distance aux sommets A et C , menez? MMi : cette droite passant par les milieux desdeuj: côtés AB, CB, les divise par conséquent en parties proportionnelles; ainsi elle est parallèle au troisième côté AC du triangle, et de plus elle est la moitié de ce même côté. Maintenant, si l'on compare les triangles ACG, MGM,, qui sont semblables comme étant équiangles, les côtés CG, GM, y seront homologues, ainsi que AC et MM, , leur rapport sera donc le même; et puisque MM, est la moitié de AC, GM sera aussi la moitié de CG ou le tiers de CM. On démontrerait de même que MjG est moitié de AG ou le tiers de AM, .

Donc, si dans un triangle quelconque ABC, d'une densité uniforme^ on mène une droite d'un des sommets

au tnilUu du cûté oppoaè considéré comme hascj le centre de gravité du trimgle se trouvera sur cette droite ^ et sera ^itué au tiers de sa longueur à partir de la base ou aux deux tiers à partir du sommet.

Nous n'avons opéré que sur deux sommets A et C , mais nous aurions pu opérer de même sur le troisième sommet B^ et, comme le centre de granité doit par sa nature être unique, la ligne menée de ce dernier sommet au milieu du côté opposé AC, aurait dû passeï* nécessairement par le même point G, où se coupent les précédentes. Ceci est en effet une propriété géométrique <jui a lieu dans tout triangle rectiligne, comme on peut aisément le démontrer. Pour cela , par le point G , déterminé comme nous venons de le faire , concevons une droile meuée au milieu de AC. En vertu de la similitude des triangle3 ACG , MGM i , cette droite passera aussi au milieu de MMi : or, divisant ainsi la base AG et sa parallèle MM, en parties égales, par conséquent proportionnelles , elle passe nécessairement par le somr nict B opposé à la base AG.

COBOLLAIRE.

€9. Tout polygone rectiligne peut être décomposé en triangles par des droites menées d'un de ses sommets à tous le^ autres. D'après le problème précédent, on peut déterminer le centre de gravité de chacun de ces tri* angles. En considérant leurs poids partiels comme respectivement appliqués à ces centres et les composant par la métbode successive du § 53 , ou par les formules du § 63 , qui en' sont l'expression algébrique, on obr tiendra le centre de gravité du polygone total. Sî l'on demandait le centre de gravité d'un espace plim terminé par des lignes courbes, on n'aurait qu'à y inscrire et y circonscrire des polygones rectjligues dont on dér

terminerait les centres de gravité propres ; et , en mollipliant de plus en plus les nombres des côtés de ces polygones , on approcherait autant que possible du centre de gravité réel de l'espace curviligne proposé. Ceci suppose évidemment la densité uniforme , dans toute l'étendue de chaoue triangle élémentaire dont se compose l'espace total.

Recherche des centres de gravité des solides:

70. Les centres de gravité des solides terminés par des surfaces planes ou courbes s'obtiennent par des procédés de décomposition pareils à ceux que nous venons d'exposer. Mais l'impossibilité que l'on trouve À superposer des solides, d'ailleurs ^uivalens en volume, lorsque leurs parties né sont pas semblablement disposées, y rend la composition des forces élémentaires plus embarrassante. Heureusement on peut éluder celte difficulté à l'aide d'une remarque très simple ^ fondée sur le principe même de la composition successive , tel que nous l'avons e^^posé, § 60, fig. 44*

Lorsque nous avons composé les deux premières forces élémentaires Pi y Ps, en une seule résultante Bi^ on a vu, par la construction même, qujà\^ distance du point d'application de cette résultante au plan desmomensZOY dépendait uniquement des intensive des composantes Pf , Pfl , et des distances respectives de leurs points d'application au plan dont il s'agit. La même indépendance a lieu encore par le même motif, pour la seconde résultante partielle Ra, et enfin pour la résultante totale R. La distance de son point d'application au plan des momens ^OT, ne dépend absolument que des intensités des composantes P19 Pa, P3,. ... et des distances respectives Xi, Xft, X3,. . • . de leurs points d'application

respectifs ^u plan ZOT. Cest aussi ce que montre la première des équations (i) du § 63; et les deux autres indiquent la même chose pour les distances aux plans respectifs auxq^iels elles se rapportent.

Il suit de là qu'en général, la distance du centre des forces parallèles à un plan quelconque demeure la même^ quelque arrangement relatif que Von donne aux points d'application des composantes ^ pourvu que^ dans ces transformations,, on n altère ni leurs distances perpen^ diculaires au plan dont il s^ agit ^ ni les intensités propres des forces qui leur sont individuellement appliquées.

Pour un corps solide pesant et de densité uniforme, par exemple, ces oHiditions seront remplies relativement à un plan donné si, sans changer le volume de ce solide, on le transforme géométriquement en un autre solide dont toutes les sections parallèles k ce plan soient lesi mêmes, ou seulement équivalentes, à égale distance, comme cela a lieu, par exemple, dans les pvramides qui ont des bases équivalentes situées dans un même plan, et qui ont de plus leurs sofnmcts également compris dans un;même plan parallèle à leurs bases. Car alors, non-seulement les sections faites a égale distance du plan commun sont égales dans, les deux solides, mais encore les volumes compris entre ces sections égales, quelque intervalle que l'on veuille supposer entre elles, sont aussi égaux , ce qui est le caractère sensible d'un simple transport des élémens matériels parallèlement au plan pour lequel cette égalité a lieu.

A Faide de ce principe, la recherche du centre de gravité des solides se trouve extrêmement simplifiée , parce qu'elle se ramène toujours à opérer sur des solides rectangulaires symétriques ou superposables. C'est ce que montreront les exemples suivans.

FBOBLiME PREMIER.

Trouver le centre de grapitè d'un parallélépipède cU

densité uniforme.

71. Je supposerai d'abord le parallélépipède droit et rectangulaire > puis seulement droit mais non rectangulaire, et enfm quelconque.

Dans le premier cas, soit, fîg. 52, le parallélépipède pro|)Osé. Par les milieux des arêtes opposées AB, AiB, , ED7 E|D|, menez un plan MM,m;m; je dis que le centre de gravité du parallélépipède sera contenu dans ce plan.

En effet , le parallélépipède ayant toutes ses faces rectangles, il se trouve ainsi partagé en deux solides égaux , dont toutes les parties sont placées de la même manière des deux côtés du plan MMim,?/^. Car, si Ton considère, par exemple, le solide MM i/7i,77iBBiD,D, qu'on le fasse tourner de 180® autour de la ligne MMi, comme charnière, on pourra ensuite iàire glisser sa face BB,D,D sur la face AAiEiE de l'autre solide, et alors toutes les parties des deux solides coïncideront complètement eu conservant la face MM^miT/j commune. D'après cela, si l'on replace les deux solides dans leur position naturelle, lem^s centres de gravité se trouveront nécessairement à une même distance de la face MMiZ/ii/»; et comme, d'ailleurs, leurs poids propres sont aussi égaux, le point d'application de leur résultante commune, qui est le centre de gravité du parallélépipède total, tombera nécessairement dans le plan MMi/Wj/w.

Le même raisonnement appliqué aux autres faces, prouvera que le centre de gravité du parallélépipède total devra aussi se trouver dans chacun des deux autres

plans NNi Wi w, abde^ que Ton peut mener par les milieux des deux autres systèmes d'arêtes opposées. Ce centre G sera donc placé au point d'intersection des trois plana ainsi conduits, et de plus, il sera unique, puisque ces trois plans ne peuvent se couper qu'en un point. Il est d'ailleurs visible que ce point d'intersection est aussi celui des trois diagonales que l'on peut mener dans le parallélépipède par les angles solides opposés. ( Géom, de JLegendre j lip. VI j prop, W,)

72. Soit maintenant , jGg. 53, le parallélépipède droit et non rectangle , dont les bases sont les parallélogrammes ABDE, A» B,D,E,.

Par les milieux des côtés opposés des bases AB, ED, A|B,, E,D, , menez , comme tout à l'heure, un plan coupant MM| m, m \ je dis que le centre de gravité du parallélépipède s'y trouvera contenu.

Ici le plan coupant partage encore le parallélépipède en deux portions d'égal volume*, mais on ne peut plus superposer ces deux portions en leur conservant MM 1 m lin y pour face commune, comme dans le cas précédent ; de sorte que l'on ne peu^lus prouver ainsi que leurs centres de gravité propres isont également distans du plan MM i7/ïx/7z, quoique cette égalité soit pourtant réelle , comme on va le voir.

~ Heureusement on peut éluder cette difficulté d'après la remarque que nous avons établie tput-à-1'lieure , § 70. Enefifet, par les droites parallèles MM|/7iim menez deux plans perpendiculaires au plan coupant M^Mnl^my et terminez-les aux faces latérales AEA, E, , BDB,D( du parallélépipède proposé : vous aurez ainsi transformé chaque moitié de ce parallélépipède en un parallélépipède équivalent, mais droit et r^langulaire j dont MM,/7i,/7i sera encore la section moyenne. Ainsi, le centre de gravité de ce nouveau paraîlélcpipcde sera

qo NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

contenu dans la section dont il s'agit. Or , qa'avez-votis fait par cette transformation , sinon défaire glisser tons les élémens matériels de chaque moitié primitive, prailëlement au plan "MM^m^my conformément au principe du § 70, par conséquent sans altérer leurs Tolu^es , ni leurs poids, ni leurs distances à oe plan? La distance du centre de gravité de leur système au plan MM, m^ m n'est donc nullement changée par ce mouvement; et puisqu'elle est maintenant égale des deux cÀtés du plan, dans les moitiés rendues rectangulaires , elle l'était également dans les moitiés parallèlegrammiques ; ainsi , ces moitiés étant d'ailleurs ^ales en poids, leur résultante commune, ou le centre de gravité du parallélépipède total proposé , se trouvera encore dans le plan moyen Mill{m{m.

Par une raison pareille, il se trouvera également dans l'autre section moyenne que l'on pourrait faire par les milieux des autres côtés opposés des bases; et enfin il sera également contenu dans la troisième section «/S^f, ainsi effectuée par un plan mené à égale distance des bases perpendîculairemMit aux faces latérales. Car le parallélépipède étant donné droit , les deux portions supérieure et inférieure au plan «^^h seront égales en volume et parfaitement symétriques dans toutes leurs parties, de sorte qu'il n'y aurait aucune raison pour que le centre de gravité du parallélépipède entier se trouvât dans l'une d'elles plutôt que dans l'autre. Ainsi îl devra se trouver dans le plan commun t^^S'î, Le centre de gravité G sera donc ainsi donné par l'intersection mutuelle des trois plans moyens menés à égale distance des faces opposées du parallélépipède , ce qui le place encore au p»int d'intersection des trois diagonales menées entre les sommets opposés.

Au lieu d^emplo} er la raison de symétrie pour prou-

ver que le centre de gravité du parallélépipède se trouve daus le plan «jS^c, on aurait pu considérer que les deux, moitiés du parallélépipède transformé ahde afi^d^éi situées des deux côtés de ce plan , sont respectivement équivalentes en volume aux deux moitiés symétriques du parallélépipède primitif situées du même côté qu'elles; et de pluS| la transformation qui les donne, satisfaisait aux conditions du § 70 , ne change point la distance des centres de gravité au plan a^i'u Or , ces distances sont égales pour les deux moitiés transformées, puisqu'elles sont superposables par renversement eu conservant «^^i^t pour base commune : donc cette égalité avait pareillement lieu dans lés moitiés symétriques et équivalentes du parallélépipède primitif; ce qui pUce le centre de gravité de ce parallélépipède dans le plan moyen «iS^ .

73. Venons enfm au cas où le parallélépipède est quelconque , fig. 54-

Ce cas se résout de suite par ceux qui précèdent. En effet, soit ABDEA(6(D(E( le parallélépipède oblique. Par deux quelconques de ses sommets B, B( situés sur une même arête, menez deux plans perpendiculaires à cette arète-là , et tracez leurs intersections avec les quatre faces du parallélépipède supposées indéfiniment prolongées. Vous aurez ainsi formé un parallélépipède droit aBcfea,B(C/i ^, , compris entre les mêmes faces que le parallélépipède oblique y et ayant des arêtes de même longueur. On démontre en Géométrie que ces deux pa^ rallélépipèdes, droit et oblique, sont équivalens en volume (liv. 6, prop. 8) ; car cette transformation revient à détacher de la partie supérieure le solide A,P| B,E| a,c/,&, , et à le faire glisser le long des arêtes jusqu'à la partie inférieure pour lui faire remplir le volume vide ABDEacf^y qui lui est équivalent. Un pareil meuve-

ment n'altère donc point les distances des élémens matériels aux plans des faces latérales le long desquelles il 9*opère ; par conséquent la distance du centre de grayité h chacun de ces plans est la même pour les deux parallélépipèdes, ce qui place les deux centres sur une même droite parallèle aux arêtes communes. Or, d'après ce qui vient d'être démontré tout à l'heure, le centre de gravité du parallélépipède droit est situé en ^au centre de sa section moyenne ; et une ligne droite menée de ce point parallèlement aux arêtes communes des deux parallélépipèdes , va percer les bases obliques à leurs centres. Cette droite contient donc le centre de grayité du parallélépipède primitif : on voit de plus qu'elle s'obtiendrait également ici par l'intersection de deux plans menés dans le parallélépipède oblique par les milieux des arêtes opposées , comme cela avait lieu dans les constructions précédentes. Chaque plan moyen mené de cette manière dans le parallélépipède oblique, contient donc son centre de gravité.

Or, il est visible qu'outre les deux précédens , on en peut mener encore un troisième suivant cette condition, en le faisant passer parles milieux des arêtes latérales , et ce troisième plan contiendra de même le centre de gravité comme les deux autres, puisque le même raisonnement s'y appliquera. Ce centresera donc déterminé complètement, puisqu'il se trouve ainsi donné par trois plans connus; et il est également évident qu'ici, comme dans les cas qui précèdent, il coïncide avec le point d'intersection des trois diagonales menées par les sommets opposés *, telle est donc généralement la position du centre de gravité dans un parallélépipède de densité uniforme.