PROBLÈME II

Trouver le centre de gravité d^un prisme triangulaire

de densité uniforme,

74. Je supposerai d'abord le prisme droit sur ses bases > f]g. 55 , puis quelconque , %• 57.

Soit, fjg. 55, ABCAiB,C, le prisme droit propose: par une des arêtes CC,, par exemple, et par les milieux des côtés opposés des bases, menez un plan MM,C,C; je dis que le centre de gravité du prisme s'y trouvera contenu.

Le plan MM,C,C partage le prisme en deux portions d'égal volume , mais non symétriques. Pour les rendre telles , menez par la droite MMf un plan qui lui soit perpendiculaire; et, par les arêtes AA|^ BB,, menez deux autres planaïqui lui soient parallèles; puis acbevez le prisme isoscèle aCba^ C, ô, , ayant ses bases dans les mêmes plans que le premier. Les deux moitiés du nouveau prisme seront respectivement égales en volumes des deux côtés du plan M]VI,C,C ; mais , en oulre , elles seront symétriques et même superposables par renversement, en conservant la face commune MM, Ci C. Donc, dans leur position naturelle, leurs centres de gravité se trouveront à égale distance de cette face. Or, ces deux moitiés sont respectivement égales en volume et en poids aux deux moitiés non superposables du premier prisme. En outre , la transformation qui les donne n'a fait que transporter les élémens matériels de ces premières moitiés parallèlement au planMM|C(G, ce qui n'a pas changé les distances de leurs centres de gravité à ce plan: donc, puisque ces distances se trouvent égales après la transformation , c'est qu'elles l'é-

taient déjà auparavant pour les deux moitiés non superposables; d'ailleurs ces deux moitiés ont un même poids; ainsi leur centre de gravité commun , qui est le centre de gravité du prisme total non isoscèle , sera contenn dans le plan MM, Ci C.

D'après cela, ce centre devra se trouver paiement dans le plan AA, N, N, fig. 56 , que l'on peut mener par l'arête A A, et par les milieux des côtés opposés CB, Cfi, des bases; comme aussi dans le plan BB, PjP que l'on pourrait mener par l'arëte BB', et les milieux des côtés AC,AiCi. Ces trois plans se coupent évidemment suivant une même ligne droite OO, qui passe par les centres de gravité respectifs des bases , et même de tonte autre section triangulaire faite dans le prisme parallèlement à celles«ci. Le centre de gravité G du prisme proposé devra donc se trouver sur la droite ainsi conduite, et il se trouvera au milieu même de cette droite. Car si l'on mène par ce milieu, dans le priAie, un plan «ySy parallèle aux bases, conséquemment perpendiculaire aux arêtes , puisque le prisme est supposé droit , ce plan divisera le prisme en deux moitiés d'égal volume, et tel* lement symétriques par rapport au plan «^Sy, que tout ce qui pourra se dire de l'une se dira également de l'autre; de sorte qu'il n'y aura aucune raison pour que le centre de gravité du prisme entier se trouve au-dessus du plan tt/iy plutôt qu'au-dessous. Il devra donc se trouver dans ce plan même ; et puisqu'il se trouve aussi sur la droite OO, , il sera au point d'intersection de la droite et du plan, c'est-à-dire au milieu même de cette droite.

Si , dans cette dernière partie de la démonstration , on ne voulait pas employer la raison de symétrie, il suffirait de considérer que le plan moyen «jSy, supposé mené dans la figure 55 , y partagerait aussi le prisme

îsoscèle en deux moitiés respectiyemcnl équrvalcnles à celles du prisme primitif, situées de part et d'autre de ce plan , et dont les centres de gravité se trouveraient aussi à une même distance de aa^/ifi^yJ puisqu'elles sont produites par un simple transport des particules matérielles parallèlement au plan dont il s'agit. Mais ces deux moitiés du prisme droit isosccle sont superposablés par renversement , en conservant la section «i/3,y pour base commune; donc, dans leur situation naturelle , elles auront leurs centres de gravité à une même distance de cette section ; et par conséquent la même égalité subsistera pour les deux moitiés du prisme primitif situées des deux côtés du même plan , ce qui met le centre de gravité du prisme total dans ce plan même.

75. Supposons maintenant le prisme quelconque, et représentons-le par ABCA,B,G, , fig. 67.

Par deux de ses sommets B,B, , situés sur une même arête ; menez des plans perpendiculaires à cette arête— là; et, traçant leurs intersections sur les faces latérales indéfiniment prolongées, construisez le prisme 'droit aBcaiBiCi. Ce prisme sera équivalent au premier en volume et en poids, comme étant construit sur les mêmes arêtes et compris entre les mêmes plans latéraux; en outre, la transformation qui le donne ayant consisté seulement dans une transposition de matière parallèlement aux arêtes communes, la distance du centre de gravité aux faces latérales sera la même avant et après cette opération. Donc g étant le centre de gravité du prisme droit, si par ce point on mène une ligne parallèle aux arêtes communes, cette droite contiendra le centre de gravité du prisme oblique ; mais elle perce les bases du prisme droit dans leurs centres de gravité propres; elle percera donc aussi celles du prisme oblique

gG NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

on O, O, , à (les distances proportionnelles des sommets ABC, A,B,Ci, c'est-à-dire pareillement dans leurs centres propres de gravité ; et elle contiendra encordes centres de gravité de toutes les sections triangulaires qui pourront être faites dans le prisme 'parallèlement à ses bases obliques.

Or, parmi ces sections, considérons celle qui contient les milieux des arclcs, et qui est représentée par«^, fig. 58. Le plan qui la donne partage le prisme total en deux moitiés d'égal volume non symétriques ; mais transformons ces moitiés en deux prismes droits d'égale hauteur, construits l'un et l'autre sur la base ^«iây: alors ces deux derniers prismes seront non-seulement équivalens, mais symétriques de part et d'autre duplan tf/8y ; et,d'ao près ce qui a été démontré tout a l'heure , pour les prismes droits , leur centre de gravité commun sera dans le plan flC/8y lui-même; d'où il suit que leurs centres de gravité propres seront placés à égale distance de ce plan. Or, la transformation qui produit ces prismes n'a fait que transporter les parties matérielles des deux moitiés obliques parallèlement au plan «^Cy ; donc les moitiés obliques auront aussi leurs centres de gravité à une même distance de ce plan ; et comme ces moitiés sont d'ailleurs égales en poids, leur centre de gravité commun, qui sera celui du prisme oblique entier, tombera dans le plan delà section même; mais nous avons vu qu'il doit aussi se trouver sur la droite OOi , menée par les centres de gravité des bases obliques, il se trouvera donc au milieu même de cette droite en G.

P110BL£MB III.

Trouver le centre de gravité cPune pyramide triangulaire de densité uniforme,

*)&, Soit y Ijg. 59, SABC la pyramide proposée : par une quelconque de ses arêtes , SG y par exemple , menez un plan SMC qui coupe l'arête opposée AB en deux parties égales en M. Ce plan contiendra le centre de gravité de la base ABC ; et même il est facile de voir qu'il contiendra également les centres de gravité de toutes les sections triangulaires faites parallèlement a cette base, puisqu'il passera toujours par leur sommet situé sur SC, et qu'il divisera leur côté opposé en deux parties égales. Or, je dis que le centre de gravité de la pyramide sera aussi dans ce plan.

Pour le prouver 9 considérez d*abord qu'il partage la pyramide totale SABC en deux pyramides SAMC, SBMC d'égal volume , ayant une face commune SMC , et leurs sommets A et B situés à égale distance du plan de cette face. Ces deux moitiés ne sont pas généralement symétriques autour de ce plan, à cause de l'obliquité de leurs ])ases; mais, pour les rendre telles , menez par la ligne MC un plan perpendiculaire à la face SMC ; puis, dans ce plan, et par le point M, menez à MC une perpendiculaire indéfinie, et enfin coupez cette perpendiculaire en a et 6 par des plans menés respectivement des points A et B parallèlement à la face SMC. Si vous joignez Sa et Sb , vous obtiendrez ainsi deux nouvelles pyramides SaMCj S^MC , ayant toutes deux la même face SMC commune aux pyramides primitives ^ et ayant aussi la mémebauteur, puisque leurs sommets a et b, extérieurs à cette face, sont situés sur des plaos menés par A et B

gff MOTIONS ÉLÉMENTAIRES

parallèlement à SMC. Ces deux nouvelles pyramides seront doDC encore respectWement équÎTaletites aux deux premières ^ non-seulement dans leur Tolume total , mais dans toutes les sections qui pourront j être laites parallèlement à SMC; d'oii l'on Toit que la transformation qui les donne ne sera qu'un simple transport des élémens matériels parallèlement à ce plam Ainsi la distaDoe des centres de gravité au plan SMC sera la même pour les pyramides primitives et pour les pyramides transformées. Or , pour celles-ci j ces distances de part et d'autre du plan SMC sont égales entre elles , puisque les deux p]rramides transformées sont sjmétriques eo tout des deux côtés du plan, et que l'on ne peut rien dire de l'une que l'on ne dise de l'autre* La même égalité subsiste donc aussi pour les pyramides primitives ; et comme elles sont d'ailleurs égales en volnme , cooséquemment en poids, puisque leur densité est la méme^ on voit que leur centrede gravité commun, qui sera celui de la pyramide totale , se trouvera dans le plan SMG

Ce qui vient d'être démontré pour le plan SMC, le sera également pour tout autre plan mené de même par une des arêtes de la pyramide et le milieu du côté opposé. Soient, fig. 60, SMC, SMiB deux plans ainsi oondaits par les arêtes SC, SB. Cl»cun d'eux devant contenir le centre de gravité de la pyramide, ce centre devra se trouver sur la ligne SO résultante de leur intersection. Or, d'après la manière dont les deux plans sont menés » il est visible que la ligne SO passe par le centre de gravité O de la base ABC ; et comme elle perce toutes les autres sections parallèles à cette base à des distances proportionnelles de leurs sommets respectifs , il en résulte qu'elle passera pareillement par les centres de gravité proprés de toutes ces sections.

Voilà tout ce qu'on peut conclure des plans menés par

le sommet S ; car le troisième plan quq l'on pourrait mener par l'arête S A. , et le milieu du côté BQ contiendrait évidemment le même point O que les deux autres; et comme il contient aussi le sommet S , il se couperait encore avec ces premiers plans suivant la même droite SO, de sorte qu'il ne particulariserait pas davantage la position du centre de gravité de la pyramide S ABC.

Mais il en sera autrement des deux autres plans que l'on peut mener par Farëte AB et le milieu du côté SC , ou par l'arête BC et le milieu du côté SA. Car ces derniers plans, contenant le centre de gravité O, de la face ASC, et passant de plus par le sommet B| , ib se couperont avec le plan SBMi suivant une droite BOi , qui passera par les centres de gravité de toutes les sections parallèles à ASC , et qui devra pareillement contenir le centre de gravité de la pyramide totale SABG. Cette droite BOi et la droite SOse trouvant toutes deux dans le plan SBM( , sans être parallèles , se couperont en un point G qui sera le centre de gravité cherché.

Il est facile de déterminer la distance de ce point au sommet de la pyramide. En effet, M|0 étant le tiers de M,B comme MiO| est le tiers de M,S, puisque O et 0, sont les centres de gravité des faces , il s'ensuit que , si l'on joint 00(, la droite 00( divisera les côtés du triangle SBlVf, en parties proportionnelles; d'où il suit qu'elle sera parallèle an troisième côté SB, et sera le tiers de ce côté. En vertu de ce parallélisme, les triangles 00|G , SGB seront semblables; et d'après l'égalité de rapport des côtés homologues, OG sera le tiers de GS ou le quart de SO ; <le même 0|G sera le tiers de GB ou le quart de 0( B ; ce qui fournit l'énoncé suivant :

Le centre (i0 groi^ité d'une pyramide triangfilaîre de densité uniforme se trouifé sur chacune des droites menées paries sommetseùpàrles centrè$ de gravité des faces oppo^

loo NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

lèea; ^t il est sur ces droites ^ au quart de leur longueur à partir des faces, ou aux trois quarts à par Hr des sommets. Delà , on pourra aisément déduire le centre de gra? ité d'un tronc de pyramide triangulaire de densité uniforme, dont la hauteur et les bases seraient connues; car avec ces données, on peut conclure la pyramide qui •omplètc le tronc , et en forme une pyramide entière. Le centre de gravité de la pyramide totale et celui de la pyramide complémentaire se trouveront sur la même droite menée de leur sommet commun aux centres de gravité de leurs bases, et ils seront respectivement placés aux trois quarts de la longueur de cette ligne, à partir du sommet connnun. Connaissant ainsi les lieux de ces centres , et les poids propres des deux pyramides, proportionnels a leurs volumes, on conclura aisément la position du centre de gravité de leur différence, sbit par la composition successive, soit par les équations du $ 63.

COBOLLAIRB ohxksiXl^

77. Tout polyëdre terminé par des faces planes peut être décomposé en pyramides triangulaires. Si ces pyramides sont individuellement d'une densité uniforme dans toute leur masse^ on pourra, par ce qui précède, trouver leurs centres de gravité propres ; et, en y supposant leurs poids appliqués, la composition suoœssÎTefera connaître le centre de gravité du polyèdre entier* ^ Les centres de gravité des solides terminés par des surfaces courbes , se déterminent en général par la décomposition en élémens géométriques assez petits pour pouvoir être considérés individuellement comme terminés par des faces planes; mais il y a une grande classe de ces solides pour lesquels la raison de symétrie seule feit découvrir une ligne droite sur laquelle le centre de gra* vite se trouve situé nécessairement , lorsque la densité est

DE STATIQUE. loi

uni forme : ce sont Us solides de résolution. On appelle ainsi les solides engendrés par unecourbe,ou portion de courbe quelconque, plane ou non plane, AMB, iig. 6i , tournant autour d'une droite ou axe fixe AB.

La courbe qui tourne s'appelle la génératrice du solide; et toute section AMB, fig. 62, faite par un plan passant par Taxe de rotation , s^appelle un méridien.

D'après le mode de génération de ces solides » les sections méridiennes sont identiquement pareilles , pour toutes les directions du plan coupant. Car chaque point M de la courbe génératrice, fig. 61 , décrivant autour de l'axe fixe une circonférence normale dont le centre est sur cet axe, tout plan mené par l'axe coupe ces circonférences en des points dont les situations relatives sont pareilles ; ce qui établit l'identité des sections.

D'après cela, on peut évidemment prendre pour gé'* nératrice les méridiens mêmes , ce qui simplifie la définition du solide. Par exemple , la sphère est un solide de révolution, engendré par un demi-cercle tournant autour d'un de ses diamètres; mais on peut encore la • concevoir comme produite par la rotation de toutes les courbes qui pourraient être tracées sur sa surface, avec la condition de passer par les deux extrémités .c^u diamètre situé sur l'axe de rotation.

Si, dans un solide assujetti à ce mode de génération , on mène par l'axe AB, deux plans formant entre eux un angle quelconque, fig. 63, il est clair qu'a cause de la symétrie de la rotation, ces deux plans isoleront dans le solide deux tranches absolument identiques des deUx côtés de l'axe j de sorte qu'en faisant tourner une de ces tranches autour de l'axe AB, elle irait coïncider complètement avec l'autre. Les centres de gravité de ces deux tranches seront donc situés à égalé distance de l'axe si le solide a une densité uniforme; et comme d'ailleurs,

loa NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

dans oe cas » leurs poids seront égaax k canse de Pëgalîté de leurs Tolumes, il s'ensuit que leur centre de grafité commun tombera sur l'axe. La même ^alité pooTant se démontrer pour tous les élémens opposés, qtie Fon peut ainsi isoler dans le solide, il s'ensuit que le centre de gratité de sa masse entière se trouvera également sur l'axe de révolution, du moins en supposant toujours cette masse de densité uniforme.

78. Un cône droit, fig. 64, est un solide de révolution engendré par un triangle SBC rectangle en G et tournant autour du côté SB. Le centre de gravité d'nn pareil corps supposé de densité uniforme , est donc situé sur son axe de rotation SG. Mais, sans changer les distances d«s élémens matériels de ce solide au plan de sa base, on peut le transformer en une pyramide triangulaire, ayant SG pour hauteur et pour base un triangle rectiligne, équivalent au cercle AMB. Ainsi le centre de gravité du côiie sera placé au-dessus du plan AMB à la même distance que le centre de gravité de la pyramide , c'est-àdire qu'il se trouvera à un quart de SG, à partir de la base ou aux trois quarts , à partir du sommet. De là , on peut aisément conclure le centre gravité d'un tronc de cône. Ce résultat nous ofiPrira bientôt une application utile , et c'est pour cela que nous l'avons donné.

Applications de la théorie précédente.

. 7^ Le premier usage que nous ferons de la théorie pr^édente , c'est d'en tirer le moyen de déterminer les centres dt$ gravité des corps solides qui ont une grande ma^se*. D'après tout ce que nous venons de démontrer, il est clair qu'il suffira poUr cela de poser ie corps sur uik axe sensiblement rectiligne et horizontal , en

DE STATIQUE. loî

faisant varier la position de cet axe, jusqu^à ce qoe les poids des deux moitiés du corps fassent^ de chaque côté, des eQbrts égaux; ce qui aura lieu lorsque le corps n'aura pas plus de tendance à tomber d'un côté que de l'autre. Alors le centre de gravité du corps se trouvera dans un plan vertical, mené par Vaxe de suspension*

Si l'on fait cette épreuve sur une pt^ce de canon , Von trouve que le plan vertical dont il s'agit passe, à très peu de chose près , par Taxe des tourillons de la pi^. Or, sans l'addition des tourillons , la pièce serait un so* lide de révolution autour de son axe longitudinal; ainsi le centre de gravité se trouverait sur cet axe; mais les tonriUons étant symétriques des deux côtés de l'axe longitudinal , et ayant des poids égaux, leur centre de gravité propre s'y trouve placé, et conséqucrameht il n'en <xarte point le centre de gravité de l'ensemble Ce centre se trouve donc ainsi placé sur l'axe longitudinal de la pièce et à très peu près sur le diamètre transversal mené par le centre des tourillons.

80. Si l'on applique Pépreuve de la suspension au corps de l'homme, on trouTe que son centre de gravité se trouve généralement très près de Faxe transversal* mené par les deux hanches, du moins lorsque les jamlies sont maintenues parallèles dans le prolongement du corps, et les bras appliqués sur les côtés. Or, à cause de la disposition symétrique des membres, le centre de gravité se trouve aussi dans l'axe longitudinal du corps même. Il est donc placé à peu près entre les deux hanches au milieu du corps. Un homme qui se tient droit sur un plan horizontal ne peut donc être supporté qu'autant que le centre de gravité ainsi déterminé se trouve verticalement au<^essus de Fespace quadrangulaire que les contours des pieds embrassent sur le sol; puisijue c'est seulement dans cet espace que

ib4 NOTIONS ÉLÉMENTAIEES

le poidB du corps peat être détmit par la résUlanoe da plan sur leqael les pieds posent , résistamv qui se trmsmet au centre de gravité par l'intermédiaire des barres rigides que forme la charpente osseuse da oerps. Aussi) lorsque les pieds s'écartent beaucoup ran de l'autre en ligne droite I comme lorsque l'on se fend dans l'eserime; la stabilité est très grande dans le sens de ce mouTement, k cause de la grande longueur sur laquelle le cur[M peut osciller sans cesser d'être soutenu par lé sol; nais elle est beaucoup moindre daas le sens rectangulaire, ou le centre de gravité ne peut sortir du triangle très étroit qui a son sommet au pied d'avant et sa base au pied d'arrière. Tous les mouvemens si gracieux des patineurs ont également pour but et pour effet de maintenir le centre de gravité du corps dans la verticale menée par le tranchant du patin qui pose à chaque instant sur la glace.

8i. Les radeaux sont des assemUagea cParfave» disposés parallèlement les uns aux autres, graduellement en retraite comme le représente la fig. 65. On les fixe par des ancres dans les rivières que l'on veut traverser à la guerre , et ils servent comme de piles pour établir le plancher dont on forme les ponts. On dirige leur dimension longitudinale dans le sens du courant ; et la retraite graduelle des arbres qui les composent a pour but d'en mieux diviser l'effort. Cela posé, il importe que le plancher du pont soit disposé à peu près Clément de part et d'autre du centre de gravité du système SAB, afin que leur poids propre et le poids des fardeaux qui passeront sur le pont ne donnent pas aux radeaux une charge trop inégalement distribuée autour de leur axe transversal PP| , ce qui les ferait plonger in^alement à l'avant et à l'arrière , et pourrait fatiguer le pont ou même en déterminer la rupture. Or, la position de ce centre est facile à déterminer par les principes qui

DE STATIQUE. io5

précèdent; car d'abord les arbres peurent être indWidaellement considérés comme des troncs de cône , dont on peut déterminer le centre de gravité, soit par suspension, soit par le calcul, d'après la position de ce centre dans un cône entier. Alors, connaissant le nombre des arbres dont le radeau se compose , ainsi que leurs poids individuels et la disposition qu'on veut leur donner , il devient facile de déterminer le centre de gravité de leur assemblage. Cq n'est qu'une application très simple du principe de la composition successive , ou des équations des momens du $ 63 , qui servent à représenter cette composition.

82. Dans tout ce qui précède, nous avons considéré l'intensité de la pesanteur comme sensiblement constante dans toute l'étetidue d'un même corps , de densité uniforme; c'est-à-dire constitué de manière que lorsqu'on isole diverses portions de sa masse d'un volume égal , on trouve qu?elles ont des poids égaux.

Mais cette constance d'intensité n'est vraie que pour des espaces d'une étendue bornée, c<nnme celle qu'occu'^ pent en général les corps soumis à nos expériences ; elle cesse d'exister quand on compare les actions de la pesanteur dans des lieux éloignés les uns des autres, soit verticalement , soit borizontalement.

En effet , on prouve par les oscillations des pendules que, sur les divers points d'une même verticale , la pesanteur a d'inégales intensités. Elle devient progressivement de pi us en plus faible à mesure que l'on s'élève au-dessus du sol, et aussi à mesure que l'on s'enfonce dans l'intérieur de la terre; mais des lois différentes régissent ces deux sens de variation. Dans le premier , l'intensité suit se;nsiblement la raison inverse du carré des disUfbces au centre de la masse terrestre ; dans le second, elle suit sensiblement la raison directe des distances simples.

I o6 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

On troQTe fmreillementy qa'i égale hauteur mi-flessus de la surface y Pînteosité absolue augmente en allant de l'équateur yers le pôle , à ]ien près comme le carré du sinus de la latitude. Mais la détermination des lois de ces phénomènes et leur obserration même , reposent sur des considérations trop délicates pour pouvoir être exposées ici. On les mesure par les oscillations des pen-* dules ; et l'on trouye ainsi , qu'en prenant ponr unité l'intensité de la pesanteur à l'équateur même, cette intensité au pôle est plus forte de o,oo52o8.

83. J'ai dit y au commencement de ce chapitre , que l'action du globe terrestre sur les corps aimantés offrait vue application remarquable de la théorie des forces parallèles; cette application est d'autant plus remarquable en effet , que l'on y Toit se réaliser l'exemple de deux résultantes partielles , d'intensités exactement égales, et opposées en direction.

Toutes ]e8 expériences que l'on peut faire sur les corps aimantés se représentent ayec la plus parfaite exactitude, en supposant qu'il existe dans ces corps deux principes distincts , d'un poids si faible qu'ils échappent à nos balances^ les plus parfaites , mais doués d'ailleurs de toutes les propriétés matérielles qui constituent les fluides incompressibles. Ces deux principes s'attirent mutuellement ', mais chacun d'eux exerce sur ses propres particules une force répulsive , qui tend à les faire s'écarter les unes des autres , et qui les écarterait en effet à toutes distances , si elles n'éprouvaient pas deux sortes de résistance: l'une, dans l'intérieur des molécules mater ielleis mêmes, qui leur donne de la difficulté à s'y mouvoir; l'autre plus énergique et invincible, à la surface extérieure de chaque particule, qui les empêche absolument de passer d'une de celles-ci dans une autre placée aussi près que l'on voudra. Il résulte de ces

DE STATIQUE. lo-j

dispositions que^ lorsque ces deux prinerpes sont séparés dans les particules d'un corps , ce que Ton appelle être aimanté j ce corps exerce par ses extrémités opposées des résultantes d'action de nature 'contraire, l'une de ces résultantes étant due à l'action prédominante d'un des principes magnétiques , l'antre à Taction du principe opposé. Sous ce rapport I le globe terrestre agit comnie un véritable aimant dont les actions émaneraient de points intérieurs , très éloignés de la surface , et voisins du centre; de sorte que , dans la petite étendue des corps généralement soumis aux expériences pbjsiques, ces actions peuvent être considérées comme s^exerçant èuivant des directions parallèles, ainsi que nous avons vu qu'on pouvait le faire pour la pesanteur ordinaire. Mais les actiotis magnétiques du globe différent de la pesanteur ]^ar deut: caractères : d'abord parce qu'elles ne sont pas dirigée^ verticalement , mais dans des directions plus ou moins inclinées à la surface terrestre , selon les latitudes; et ensuite parce qu'elles agissent en sens opposés sur les diverses partie des corps aimantés où les^ résultante^ àes princi|xis opposés dominent , de manière à y produire l'effet de deux pesanteurs de sens contraires, et d'é-«^ gales intensités.

Pour suivre les conséquences de cette disposition , séparons*la de Inaction de la pesanteur ordinaire, en suspendant le corps aimanté âB , €g. 66, à un point fixe S I par un fil inextensible, attacbé à son centre de gravité C. Pour plus de simplicité, nous supposerons que le corps AB est un simple fil d'acier cylindrique de densité uniforme , auquel cas son centre de gravité sera né<^ cessairement placé au milieu de sa longueur. Cela posé, les actions du globe terrestre , soit attractives , soit répulsives , s'exerçant dans toute la longueur de l'aiguille , suivant des directions sensiblement -parallèles, celles de

io8 NOTIONS ÉLÉMEKTAIIŒS

chaque espèce se composeront en une résaltante unique gNf ggSf qui pourra être appelée le poids magnétique dû k chacune d'elles, et qui sera appliquée eo un point g^^gti lequel sera réellement le centre des forces parallèles pour ce genre d'actions-là. Ainsi, de même qu'un corps pesant ne peut être en repos si son centre de granité n'est pas soutenu ou supporté directement contre Pefibrt de la pesanteur , de même ici l'aiguille ne saurait être en repos sous l'influence des deux forces parallèles ^j gx&fk moins qu'on ne la tourne , et qu'on ne Findine, dans la direction même de ces forces, comme le représente la fig. 67 ; auquel cas les deux résultantes, li elles sont égales, comme on l'a énoncé tont k l'heure, parviendront k se neutraliser mutuellement. Or , en effet, on trouve par l'expérience qu'il existe ainsi, dans chaque lieu de la terre, une direction unique, 0& les aiguilles aimantées ainsi suspendues par leur centre de gravité, peuvent rester en repos lorsqu'on les y a une fois placées , et vers laquelle elles font effort pour revenir lorsqu'on les en écarte; de même qu'un pendule revient en oscillant vers la verticale lorsqu'on l'en a dévié, ce qui est déjà un résultat conforme aux conclusions exposées plus haut.

Mais est-il certain que les résultantes opposées ^ , ^,S, soient exactement égales? Pour vous en assurer , supposes qu'elles ne le soient pas, et placez l'aiguille horisontalement dans un plateau de balance , %• 68. Alors les résultantes partielles ^N,^, S, sei*ont en général obliques à sa direction ; donc, si vous concevez chacune d'elles décomposée en deux autres, l'une verticale ^V , g^ X , l'autre horizontale ^H , ^, H, , comme vous pouvez toujours le faire par le parallélogramme des forces, l'effort des composantes horizontales , quel qu'il puisse être, sera toujours détruit par la friction de l'aiguille

sur le plateau de la balance^ ou tous pouvez même l'attacher au besoin ; maïs rien ne détruira , ni même n'affaiblira l'effet des composantes verticales , si ce n'est leur opposition mutuelle. Conséquemment y si elles ne sont pas exactement égales et que^V l'emporte, l'effort de la pesanteur terrestre en sera augmenté, et ainsi le poids de l'aiguille se trouvera plus fort après l'aimantation qu'auparavant. Au contraire littleriendra plus faible si ^,V, l'emporte. Or, les expériences les plus précises n'j montrent dans la réalité aucune différence appréciable : donc, dans les limites de sensibilité que ces expériences atteignent, nous devons conclure que les deux composantes verticales ^Y , ^(V, , sont égales entre elle». On démontre pareillement par d'autres épreuves la par» ^aite égalité des composantes horizontales ^y^iHi; et l'on en conclut ainsi l'égalité complète des résultantes partielles ^N,^i S. Cet exemple 9 qui s'applique h un des phénonënes les plus remarquables de la natifre , réalisant ce cas singulier d'égalité que nous avaient annoncé les formules, est très propre k faire sentir leur généralité et à en éclairer l'application.

iio NOTIONS ELEMENTAIRES