CHAPITRE XI

Ites Mojchines,

\ou Lorsqu'on point matériel libre est sollicité par deux forces qui y sont simultanément appliquées ^ il faut , pour qu'il reste en équUibre > que ces deîix forces soient égales en intensité et opposées en direction. Et si plusieurs forces appliquées ainsi à un' même point doivent être ténues en équilibre par une seule force , il faut que cette dernière soit égale et directement opposée à leur résultante. Dans les application's de la Statique , on désigne ordinairement parle nom de/7zm«a7ic««yCeIl^,ou ceilesi des forces, dont on peut' disposer pour tenir ainsi en équilibre les autres forces que Ion veut vaincre » et que l'on appelle résistances.

Nous emploierons souvent , par la suite , ces dénominations , qui indiquent fort bien le but pratique que l'on se propose d'atteindre dans les applications dont il s'agit.

Ces conditions de l'équilibre d^n point libre se modifient lorsque le déplacement du point est gêné ou limité par quelque obstacle. Par exemple, si le point est maintenu forcément à une distance constante d'un certain centre fixe, auquel il puisse être considéré comme lié par une verge rigide sans pesanteur, il est clair que, q uelles que soient les forces qui le sollicitent ,1a puissance que l'on voudra employer pour arrêter le point n'aura pas à détruire directement tout l'effort de leur résul* tante; mais il suffira qu'en la composant avec celle-ci , on obtienne une résultante totale qui se dirige vers le

i4o NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

centre fixe ; car alors elle se trouvera ainsi anéantie par sa résistance, et par conséquent tout déplacement sera arrêté. De même, si le point matériel se trouvait maintenu forcement dans un plan fixe, il su£Brait, pour l'équilibre, que la puissance, étant composée avec les forces qui le sollicitent, produisit une résultante dirigée perpendiculairement au plan. Or, ces simples cbangemeus de direction peuvent être, en général, opérés par des puissances moindres que celles qui seraient nécessaires pour anéantir directement la résultante totale -des résistances appliquées au point matériel*.

Les machines sont des- appareils composés ainsi en partie d'obstacles., complètement ou intomplètement fixes, que l'on interpose entre les puissances dont on dis{k)se et lefll résistances que Fon vent vaincre ^ soit, pour changer seulement' la direction naturelle de la puissance , de manière à transmettre son action aux points ck lés résistances s'appliquent ; soit pour combattre ces dernières avec moins de dépense. de force qu'on' ne pourrait le faire par une Opposition directe; soit enfin pour obtenir ces deux avantages à la fois.

D'après cette définition générale, on conçoit que de tels appareils peuvent être variés d'une infinité de manières , selon la nature des résistances , leur mode «faction , la forme des sj^stèmes matériels auxquels elles s'appliquent , et aussi selon toutes les particularités analogues que peuvent offrir les puisëances que l'on veut leur opposer. Toutefois , les plus compliqués dé ces appareils peuvent toujours se ramener, plus ou moins immédiatement, à un petit nombre d'élémens constitutifs, dont il sont seulement des combinaisons et des assemblages, et que l'on appelle pour cette raison, les mocAin^f simples. Ge sont les seules que* nous devions ici nous proposer de considérer. . . . ,

DE STATIQUE. i4i

Le Levier.

I a2. Le levier, considéré abstraitement et d'une ma^ nicre purement mathématique , est une verge droite ou courbe, que l'on suppose rigide , sans pesanteur , et qui est fixée en un de 9&^ points, autour duquel elle peut seulement tourner en tous sen^f , avec une parfaite liberté. Ce centre s'appelle le point d* appui. On conçoit ]a verge sollicitée en un certain nombre de ses points , par des forces dirigées d'ime manière quelconque dans l'espace.! et dont les unes peuvent être considérés comme .des puissances, les antres comme des résistances: puijs jon demande d'assigner, les conditions d^équilibre d'un tel appareil.

Ces conditions sont évidemment celles que nous avons trouvées dans le 5 99 ^ pour Téqu^ibre d'un système solide fixé par un point; car tous les raisonnemens que nous avons faits alors en général , s'appliquent ici littéralement. Toutefois 9 pour en développer plus spéciale? ment les conséquences, essayons-les sur le cas simple o& le levier serait seulement sollicité par deux forces quelconques, A,F,, A^Fa ou FiyFft, fig; 8i et 82, dont l'une serait la puissance y et l'autre la résistance. Cela pourrait avoir lieu de deux manières , comme le représentent nos deux figures , selon que les points d'application des deux forces seraient situés sur la verge rigide , des deux côtés du centre fixe, fig* 81 ; ou du même côté, fig. 82. Mais le mode de raisonnement e# le même pour les deux cas. . Par le centre fi;iLe C^ menez d'abord, sur les direo<« tions rmpectivès des deux forces des perpendicu-r laires CP^ CPa» dont nous nommerons les longueurs Ti y Tft. En considérant ces perpendictdaires comme des verges rigides invariablement liées au système , noii^ pourrons transporter les points d'application de nos deux

i4a NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

forceâ en Piy^a, sur le prolongement de leurs dîrec* lions respectives, § i/\. Cela &ity appliquez au point C, une nouvelle force Cf, ouf, , égale et parallèle à F, , et contre-balancez aussitôt son effet , en appliquant au même point une autre force ^( , égale et directement contraire, ce qui n'altérera point les conditions statiques du système. Effectues une opération pareille pour la force Fft. Alors la force F, pourra être considérée comme remplacée par la force/*, , appliquée au point G; plus, le couple F, ,^t , ayant pour bras r, ^ ce qui équirautau couple qui serait formé par des forces Ffr^ parallèla aux précédentes , sur un bras égal à l'unité de longueur. Pareillement, la force F» se trouvera remplacée par la force parallèle^, et par un couple construit sur la même unité de longueur, avec les forces F» r^. Lies deux forces /I ,fa , concourant au point d'appui C , se composeront en une seule résultante^, qui passera aussi par ce point, et sera conséquemment détruite par sa résistance, de sorte que les deux couples resteront seuls à considérer. Or, pour ceux-ci, les plans qui les contiennent > ayant le point G commun , ou se couperont^ ou coïncideront dans toutes leurs parties -, et, dansles deux cas, les couples qu'ils contiennent pourront être composés en un seul ,5 9^* U faudra donc , pour l'équilibre , que ce couple résultant soit nul; ainsi, nous n'avons plus qu'à examiner comment cela peut avoir lieu, dans l'une et l'autre supposition.

D'abord , si les deux p1an# se coupent sans coïncider, le couple résultant , obtenu parla construction du § §5, ne sera jamais nul, à moins que les couples composans ne soient individuellement nuls tous les deux; et, puisqu'ils ont pour bras l'unité de longueur , cela exigera que les forces F,r, , F^ra ^qui leur sont séparément appliquées, soient aussi individuellement nulles, ce qui doane

DE STATIQUE. i43

pour la première, F, = o , ou bien r, ::= o, pour la deuxième, Fa = o, ou bien r» = o,

c'est-à-dire qu'il faudrait pour l'équilibre que les forces F, , Fa, fussent toutes deux nulles d'elles-mêmes, ou dirigées vers le point d'appui C ; et il est visible en effet , qu'avec ces valeurs, ou cette disposition , la verge rigide , qui est d'ailleurs supposée non pesante > n'aura aucune tendance à se mouvoir. Mais ce mode d'équilibre, évident de lui-même, n'offre réellement aucune application pbysique de la machîpe; et, si nous avons dû le développer, c'était seulement pour mettre en évidence toutes les solutions que l'analyse nous donnait.

Venons maintenant à l'autre supposition, qui est celle où les plans des deux couples coïncident ; ce qui exige que les deux forces Fj , F^ soient dans un même plan avec le point d'appui G.

Alors , d'après les § 92 et 94, les deux couples pourront être transportés et tournés dans ce plan jusqu'à ce que leurs bras se superposent ; et comme ces bras ont même longueur, les foi^ces F,r, , F^r», qui sont appliquées perpendiculairement à leurè extrémités , se trouveront agir aux mêmes points , et suivant les mêmes droites. Ainsi elles se composeront ensemble par simple addition ou par soustraction , selon qu'elles se trouveront alors de même sens ou de sens contraire ; de sorte que le couple résultant sera généralement formé par les forA F|r, -f- Fft^a f égales à leur somme algébrique, appliquées de même à l'unité de longueur. Il faudra donc, pour la nullité du couple résultant , que ces forces résuU tantes qui le constituent soient nulles, c'est-à-dire que l'on ait

F,r, + F.ra=o, (1)

les forces Fi, F^ étant d'ailleurs comprises dans un même

i44 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

plan avec le point d'appui C. L'éqaUibre du levier se trouvera par conséquent établi , si ces deux condition) sont satisfaites.

Il importe de remarquer que i dans l'équation {i),\c signe algébrique des forces F, , F^, ou F^r, , F^r^ , s'applique au sens d'action que ces forces prennent lorsqu'on a fait tourner cbaque couple dans son propre sent jusqu'à ce que leurs bras coïncident ; ce qui fait qu'alors les forces qui tendent à faire tourner le bras commun dans le même senS; s'ajoutent et doÎTcnt être prises avec le même signe algébrique , tandis que celles qui tendent à le faire tourner en sens contraire se retranchent l'une de l'autre, et doivent par conséquent être prises avec des signes opposés. Ce dernier cas , par exemple, a lieu avec le sens que nous avons attribué aux forces dans les figures 8i et 82. Alors, d'après ce qoe nous venons de remarquer , l'une des deux forces F, ou Ffl doit être considérée comme négative par rapport à l'autre, ce qui établit la même opposition de signe entre les produits F,r, et F^r^ ; car les distances r^ , r^ doivent toujours être considérées comme ajant un même signe et un signe invariable, puisque tous les couples qui agissent dans le même plan peuvent, sans cbanger l'état statique du système , être ramenés à avoir leurs bras coin* cidans sur la même direction. On devra donc toujours, dans les applications numériques, employer les dlftances ri , r» comme positives , en ayant seulemen^|^in de donner aux forces F, ,Ffl le signe propre qui convient à leur direction relative , comme nous venons de l'expliquer.

io3. Ceci convenu, si les forces F,, Fa étaient de même signe entre elles, positives, par exemple, le premier membre de l'équation (1) serait la somme de deux quantités positives, et conséquemment il ne pourrai

être nul , à moins q\\e chacune de ces quantités ne fût nulle séparément; ce qui exigerait qu'on eût, comme tout à l'heure 9

F, = o ou r, = o , et en outre F^trro ou ra=o;

c'est-à-dire qu'il faudrait que les forces P., F» fussent nulles aelles-mémes, ou dirigées Ters le point d'appui C Il est vîfiihlei en effet, qu'avec ces valeurs ou cette disposition , la -vergé rigide n'aurait aucune tendance à se mouvoir. Telles sont donc, d'après la formule, les seules manières dont l'équilibre puisse avoir lieu. avec l'identité de signe des forces ; et, en effet, l'on en concevra la raison physique, en jetant les yeux sur les figures 83 et 84) ou cette identité est supposée. Car alors les deux couples partiels, donnés par les deux forces, tendent à faire tourner toutes deux le système dans le même sens; de sorte que leurs efforts s'ajoutent dans la composition des couples , au lieu de se contre^balanœr. L^inverse a lieu dans les figures 81 et 82, ou les sens de rotation des deux couples sont contraires ; et Toilà pourquoi l'équation (i) dit qu'alors l'équilibre est possible avec des forces F| et F» cPînteitoités quelconques , en choisissant convenablement les distances ri , r», auxquelles on les suppose appliquées.

104. En général, la condition analytique quel'équa"^ tîon (1) exprime est susceptible d'une interprétation qui monti'e bien comment elle étfiJ>lit l'équilibre , lors<" que d'ailleurs, conformément à la première condition reconnue nécessaire , les deux forces et le point d'appui sont dans un même plan. En effet , ceci ayant lieu , les deux forces F^ , F^» auront généralement une résultante que nous désignerons par R ; et, si nous appelons aussi r la longueur de la' perpendiculaire menée du centre C sur

i46 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

sa direction , on aura , en appliquant îct le corollaire du $52, pag^6i,

Rr=F,r, + F^..

Si donc Féquation (r) est satisfaite^ il en résaltera

Rr = o ;

ce qui signifie que la résultaote E des devx forces Ft f F» sera nulle dfdle-mème^ ou que r sera imlle; c^est4dii« qu'elle passera par le point fixe ; deux circonstano» qui en effet suffiraient séparément pour établir Péipiilibre de I» verge rigide à laquelle oa suppose les finrces F, , Fa appliquées»

Mais la supposition de r nulle oSËre seule une apfili* eation statique réelle. Car, d'après la constriietîoaqsi donne R dans les figures 8i et 82 y cette résultante se pourrait être nulle sans que ses deux composantes F,, Ftr ne fassent nulles individuellement , auquel cas le le? ier ne serait sollicité par aucuneforoe.

On voit aussi que, d'après œs résultats» le point d'ap* pai supporte généralement tout l'eflbrt dé la résultante R, et doit par conséquent l'anéantir par sa résistance. Cest aussi ce que nous avait donné notre fvremiere transformation géométrique des forces F| , F^.

io5. Tout ceci suppose le point d'appui Ç absolu^ ment fixe sur la Terge rigide à laquelle les forcés F| » F» sont appliquées. Mab si ce point , au lieu d'être absolument fixe , était seulement arrêté par un plan ou psc unelignedroite, sur lesquels il put d'ailleurs gUsàsr librement , il ne suffirait plus pour l'équilibre que la résultante R des deux forces fût dirigée vers lui » il ftadrait encore qu'elle fût perpendiculaire à la durectioa du plan ou de la ligne fixe> afin qu elle fût complètement anéantie par sa résistance normale.

106. Si 9 au lieu de deux forces appliquées à la verge rigide, ou en voulait concevoir un nombrequeloonque , le même mode de trausfomation des forces employé ici et dans le 5 98 conduirait encore aux conditions d'équi-»libre. On trouverait pareillement que le point d'appui est presffé par la résultante de toutes les forces supposées transpcirlées en ce point parallèlement à eHeMnémes, et l'on devrait en outire rendre nul le couple résultant engendré par toutes ces forces. Cette dernière conditioA serait seulemeat jJors plus difficile à exprimer en g^ néraly à moins que toutes les forces ne fassent dans un ixiéme plan avec le point d'appui > ce qui rendrait le couple i*ésu{tant égal à la somme algébrique des con^ pies partiels. Mais, dans ce cas et dans tous les autres, cette condition reviendrait toujours à établir que tontes les forces appliquées an levier fussent individuellement nulles , ou donnassent une résultante passant par le point d'appui supposé fixe; et, 3i ce point n'était pas absolument fixe , mais limité dans ses déplacement par une ligne droite ou un plan , il faiidrait encore que b. résultante des forces fàt perpendiculaire à la direction de ces obstacles f afin qu'dle put être détruite par leur

résistance*

107* Josqu^ici nous avons , pour plus de simplicité 9 supposé la verge rigide non pesante; mais il est ifacile de lui restituer cette propriété. En effet, l'action de la pesanteur sur cbacun des élémens de sa masse étant verticale, toutes oes forces , ou poids partiels, peuvent être composés en une seule résultante qui sera le poids total de la verge , et qui se trouvera appliqué à son centre de gravité. Alors il ne restera qu'à faire entrer cette force dans les conditions d'équilibre avec toutes les autres , par la méthode générale de combinaison exposée plus haut , § 98, 109J

i48 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

I o8. Ayant aiqsi établi les lois de Féquilibre da le* yiec d'une manière abstraite , considérons les applications pratiques que peut avoir un semblable appareil, en nous bornant , pour plus de simplicité , an cas de deux forces que nous avons résolu ccnnplëtement.

D'abord, il est dair que les seules dispositions réalisables de ces forces , sont celles que représentent ]e» figures 8 1 et 8a. Or , en j supposant la première oonditiou de l'équilibre satisfaite, c'est-à-dire qae lesdeax forces F,, F^ se trouvent dans un même pian avec le point d'appui , il est clair que le produit F, r, pourra égaler — Fars^ce qui est la secoiide condition de Féqailibre, sans que F^ égale — F»; l'infériorité relative de la plus faible force pouvant être compensée par l'excn de la perpendiculaire r, ou r^ , à l'extrémité de laquelle on peut la considérer comme appliquée, et que l'on a coutume d'appeler le bras du Urier:

Par exemple, si F, est la puissance dont on dispose , et Fft la résistance qu'il faut vaincre ou balancer, et que nous supposerons supérieure àF^, il n'j aura qu'à lui opposer celle-ci, non pas directement, mais par l'intermédiaire du levier A,GAa, en donnant a F, un bras de levier plus long qu'à F^. Car alors en augmentant suffisamment cet excès de longueur, ou pourra, quelle que soit la force F^, non-seulement la balancer avec F, , mais encore la vaincre.

On a sans cesse sous les yeux , dans les arts les pivs usuels, des exemples de pareilles combinaisons. Le maçon qui veut soulever et renverser la masse M, iîg. 85, engage dessous l'extrémité A« d'une pince de fer qu'il fait poser en C, sur une pierre un peu élevée au-dessus du sol; et il presse en A, avec tout son poids jusqu'à ce que la masse M soit soulevée. C'est précisément la disposition statique de la fig. 8i ; et la puissance exercée

DE STATIQUE. i49

€11 Â, est d'autant plat £a¥onsée par la machine , que le rapport de CA( à CA« est plus considérable. D'autres fois, comme on le voit fig. 86, c'est le sol même qui sert de point d'appui. Alors la masse k soulever pèse en Aa , et la force musculaire de l'homme , appliquée en Ai y pousse en sens contraire. Cette disposition est analogue à celle de la figure 82. Les manœuvres des leviers dans l'artillerie offrent des exemples continuels de semblables opérations.

On peut remarquer que , des deux forces qui réagissent ainsi l'une contre l'autre, celle qui a le plus long bras de levier, et dont l'effort se trouve ainsi favorisé par la machine ^ est atts4 celle qui parcourt le plus de .chemin , oh dont le point d'application est le plus déplacé quand l'autre cède. Lors donc que l'on veut économiser l'intensité de la puissance, comme cela est nécessaire dans presque toutes les applications mécaniques, il faut lui donnée les plus grands espaces à décrire , ce qui fait faire à la résistance de plus petits déplacemens; et au contraire y si l'on avait une grande intensité de puissance à sa disposition 9 et que l'on voulût la faire servir à produire de grands déplacemens sur des résistances plus Csiibles, il faudrait appliquer la puissance le plus près du centre de rotation. On remarque une disposition pareille dans le mode d'application des muscles qui font mouvoir, les unes autour des autres, plusieurs parties des membres des êtres vivans, par exemple, la main et l'avant-bras de l'homme,

109» Z^a balance représentée fig. 87, est un levier droit à bras égaux , aux deux extrémités desquels on suspend des plateaux D,, D^, dans lesquels on place les corps dont on. veut comparer les poids.

L'appareil .doit être disposé de manière que ses deux moitiés; situées des deux côtés du centre C, se fassent

^5o NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

mutuellemèkit équilibre lorsqu'il n'y a rien dans les plateaux; de sorte que, dans ce eaS| la barré AiAa, que l'on appelle le fléau de la balance, soit liorisontâle. Alors, si l'on veut connaître le poids d'un corps M, on le place dans un des plateaux D, , par exemple, puis mi place dans l'autre D» les étalons de poids, Veât-à'^ire-les kilogrammes, et parties de kilogrammes que Fon troore être nécessaires pour ramener le fléau à l'horizontalité. Ces poids réunis équivalent au poids du corps M. ■ Cedi suppose que la balance est primitÎTem^ent réglée eonformément aux conditions d'égalité étaJblies plus haut. Or , il est difficile de s'assurer qu^tl en est ainsi , et plus difficile encorei^e corriger l'inexactitude si elle existe; mais oa peut en éluder l'efiet de la manière snifante.

Ayant placé le corps M dans le plateau D^ , plaoez dans le plateau D^, non pas les étalons de poids, mais d'autres corps quelconques dont quelques-uns sèîent susceptibles d'être diviséi en très petites parcelles , jusqu'à ce que vous parveniez ainsi à ramener le fféan Â^CAft à î'horiiEontalité. Alors, étee le poids M du pAateau D( , et remplacez*le dans le même plateau par des étalons de poids -que tous ajouterez successivement jus* qu'à, oe que le fléau redevietnie de nouveau horizontal. Il est clair qife là somme de ces poids égalera exactement le poids du corps M, puisqu'elle produit de même l'équilibre étant placée dans les mêmes conditions que lui. Cette méthode des doubles pesées est due à Borda , et la sommé des poids ou corps auxiliaires que l'on place dans le plateau D», pour faire équilibre au corps M, s'appelle la tare de ce corps. '

I lo. La romaine y représeatée fig. 88, est un levier droit à bras inégaux , qui est surtout employé pour peser de lourds fardeaux.

t)Ë STATIQUE. i5ï

' Les corps que Ton Veut peser se suspendent à l'extrémité du bras le plus court €Âa ; et on. leur fait équilibre en suspendant à l'autre brasCA(L un |K>ids cOttstaut P, dont on \arie la distance aii poïni a*àppui G jusqu'à ce que le fléau LAiCAa devienne horizontal : ce que Pon reconnaît quand l'annéaû t|«i suspend le poids mobile P, ne glisse pas de lui-même , ou plutôt n*a |)as de tendance à glisser , Sur le bras CL. Des divisions tracées sur le bras CL indiquent le poids du corps M <pii correspond h cbàcunè des positions du poids P. ^dict comment ces dîvisidfls s^obtiénnent.

Désignons ^'aâlord par m le poids total dé Ift fcarre LGA^y qui constitue le levier seul , sans y ttiin^Tênàré le {X)tds P ni le corps M. Le poids éi agita dans toutes les pesées comme une force verticale appliquée au centre de gravité de la barre, que noUs supposerons placé à une distance inconnues; du centre.

Maintenant y concevons que l'on suspende en A» l'espèce d'étalon en fonction duquel on ^eut que les pesées soient exprimées , et teprésentohs par J9 le poids d'un de ces étalons qui sera, par exemple, le kilogramme. Nommons l la distance constante CA^. Alors promenant le poids constant P sur le long bras CL, marquons le point A| oii il faut le placer pour rendre le fléau horizontal, et représentons la distance CA, par X,>. Il est clair qu'alors 1^ levier sera en équilibre en vertu de son poids propre, et des deux forces verticales P et /> qui y sont a]i|>liquées. 11 faudra donc qu'en prenant les signes de ces !t$rccs, confôrihément aux- conventions du ^ 102 , la somme al^brique d^e leurs momens statiques , relativement au centre C, soit nulle; c'est-àdire que l'on ait

mx

; -f /7/ + PX. =0.

Maintenant remplaçons l'étalon p par uo autre plus fort| égal y par exemple, à deux fois sa valeur} et marquons de nouveau sur la barre CL le point où il faudra porter le poids constant P, pour opérer ce nouTel équilibre.

Soit X^ la distance de ce second point au centre C\ on aura pour ce cas ^ comme pour le précédent,

mx + 2/>/ + PXa = o ;

ajoutant de nouveau un troisième poids p^ puis un qua^ trième y un cinquième , et ainsi de suite , et marquant toujours sur la barre CL les distances X3, X4.«. X., ou il ^ttt successivement transporter le poids constant P pour opérer l'équilibre , nous aurons cette série d'équations pareillea aux précédentes*

mx + p^ + PX, =s o.

mx + ap/ + PXa = o, >nx + ipl -f- PX3 == o, mx + ^pl + PX4 = o,

ms -f- npl -f- PXn ^=^ o ;

et, en les retranchant successivement les nnesdes autres, à commencer par la première, il viendra

pi + P(X. - X. ) = o, pi + P(X3 — X. ) 5= o, /./ + P(X< — Xs ) = o,

pi + P(X. — X.,) = o.

DE STATIQUE. i55

Ceci nous montrç que les différefiGes succcessives X^ — Xj^Xs — Xa, X4 — X3. . . sont oonstantes, puis-

qu'elles ont toutes pour yaleur la quantité — ^ 9 dont les

élémens sont constans. De là^ résulte la règle suivante. Ayant suspendu au bras CL l'étalon p^ et marqué le point de la barre o& il faut placer le poids constant P pour l'équilibre, remplaces p par un étalon np^ égal à n lois sa valeur 9 et marquez de nouveau la place du poids P. La distance des deux points ainsi obtenus sur la barre y sera X» — Xi •, et en divisant cette distance en n — 1 parties égales 9 chacun des points de division ainsi obtenus, sera le lieu du poids P, pour toutes les valeurs intermédiaires entre p et np. On pourra donc marquer à chacune de ces divisions le poids correspondant ; et j lors^ qu'on aura suspendu au bras constant ly une masse M quelconque, il suffira de transporter le poids constant P, le long du bras opposé jusqu'à ce qu'il opère l'équilibre: le nombre qui se trouvera marqué au point oii il s'arrête, exprimera le poids du corps M en fonction de l'étalon/?, d'après lequel on a déterminé les divisions. Cette règle, déduite delà différence des équations successives, peut se vérifier immédiatement d'après la preuiière et la dernière, car en les retranchant Fune de l'autre on en tire

d'où l'on voit qu'en divisant X» — Xi en 7>— i parties égales, le quotient sera égal à ^, ou à la distance constante des points d'équilibre consécutifs.

m. Dans les applications précédentes, nous avons toujours considéré le centre de rotation C, fig. 87 et 88 , comme absolument fixe; de sorte que la b^rre rigide

i54 l^OTIONS ÉLÉMENTAIRES

qui forme le levier, et qiiel'otiappelle^âtf dans les balanees^ ne pût absol oinent que tourner autotir de ce point Pour réaliser physiquement cette condition , il finidrait percer la barre y ou fléau y datas le point C , et l'y faire traverser, soit par un tfxe rigide dé méorê dîaihëtre que l'on fixerait sur des appuis iovariables, soit par un anbeàu également rigide que l'on suspendrait a un point fixe avec tout le système du levier et des poids qu'on y Suspend. Or, les surfaces du trou, et de Paxe on de Fanneau rigide ainsi en contact, éprouveraient, pftrFeffet du contact même 9 une résistance à glisser et à tourner les unes sur les autres. Cette résistance, que l'on appelle frottement ea Physique, générait donc la liberté delà rotation autour du centre C; et môme l'expérience montre que son énergie augmente proportionnelleuient aii poids total qui pr^se les unes contre les autre» les surfaces ea contact. De là résulte que le IcTier^ supposé accidentellement amené h l'horizontalité, pourrait rester dans cetle position sous l'influence de poids qtii ne se feraient pas réellement équilibre ; car il suffirait peter cela que la somme algébrique de leurs fUdmens statiques fàt, non pas nulle, mais inférieure au tnomeni statique de la force tangentielle eugendfée k la Surface intérieure du trou par le frottement. Cette oaude d'èr* reur pouvant devenir ainsi d'une extrême ifhportanee, on s'est attaché à l'affaiblir autant que possible, en employant les moyens de suspension les plus propres a as* sùter la liberté de la rotation. Par exemple, dans les balances destinées à des {Pesées délicates, au. lieu defiiire traverser la barre du fléau en son milieu par un axe ri* gide , on lui donne en cette partie là forme d'an ccattdan à tralichant obtué, comme le représente la fig. 8g; et l'on fait reposer toilt l'appareil par ce seul tranchant, sur tin pla;n horisontai formé de quelque matière très

DE STATIQUE. i55

dure, Aussi bien que le couteau lui-même. Alors le levier n'est pas complètement fixé en G; il y est seulement arrêté dans le sens vertical , de sorte qu^I glisserait si on le tirait dans le sens de sa longueur avec uiie force supérieure à celle que le frottement développe au contact du tranchant du couteau avec son support. Maïs tout effort dans ce sens est une chose que Ton évite avec grand soin, et qui ne se produirait dans les pesées que si l'on amenait le fléau AiGAa dans une position très oblique à la yerticale. Afin d'empêcher tout accident de ce genre, on limite la rotation du fléau, soit par l'élargissement du plan du support, dont alors les bords l'arrêtent, doit k l'aide dé tiges de métal horizontales £^E, attachées à des obstades fixes, et dirigées perpendiculaire tû^nt à la longueur du iléau, tant au-dessus qu'au-dessous de lui. Il y à même, dans les balances délicates > ded tigéd métalliques verticales qui sont {^rtées sur la base de Pappareil, et qui, étant suscept3>les d*un mouvement asceuéionnel, vont saisir par des fourchettes le fléau et le àoulëvétit lorsqlie l'instrument n'est pas mis en usage , afin que le tranchant du couteau ne s'émousse pas pendant ce temps par là continuité de la pression^ Par uU niotif analogue, oti à soin de donner au trandiant du couteau une forme plutôt obtuse qu'aiguë, afin qu'il ne forme pas de sillon dans le support, et que son tranchant résiste davantage à s^ aplatir; deux effets qui auraient pour résultat inévitable d'augmenter conddérablement lé frottement en G, et par conséquent de diminuer la sensibilité de la machine. Enfin, pour n'omettre aucune précaution qui puisse contribuer à l'exâCtitudé , oii a soin , dans la méthode des doubles pesées, de soutetel* le fléau par les fourchettes verticales avant d'Ôter d'un des plateaux le corps dont on a fait la tare pour le retiiplacer par les étalons de poidè qui doî-

tiâ NOTIONS ËL£MENTAIR£S

veut produire le méqae équilibre; et r<»n redesœnfl cloacemeut les fourchettes pour rendre le fléau libre lorsque cette substitutioa a eu lieu. On agit ainsi pour éfiter les altérations que la diminution «ubite cîe la charge de la balance , et son rétablissement «paiement subit 9 pourraient produire sur le contact du oouteau avec son support, et par conséquent sur leur frottement mutuel 9 si ces alternatives s'opéraient brusquement.

Le Treuil.

112. Dans le chapitre X, nous avons donné en général les conditions d'équilibre d'un corps solide £xé par deux points ou assujetti à ne pouToir que tourner autour d'uu axe fixe. Deux machines simples très usitées dans les travaux de force présentent cette disposition. L'une est le treuU qui s'emploie dans l'exploitation des mines et des carrières; l'autre est employé dans la marine sous le nom àt cabestan. Il nous suffira presque d'en donner ici la description ; car leur théorie ne sera que l'application littérale des principes généraux que nous avons établis dans le chapitre déjà cité.

Un arbre cylindrique AB, fig* 90 , est termixié par deux tourillons , également cylindriques T, , T« , lesquels ont le même axe y et sont ordinairement métalliques. Ces tourillons reposent sur deux supports fixes, S, y Sa y paiement élevés au-dessus du sol , de manière que le cylindre soit horizontal et puisse seulement tourner sur lui-même. Une roue OL, d'un diamètre plus grand que celui de l'arbre ^ est fixée à celui-ci, dans un plan perpendiculaire à sa longueur. C'est à la circonférence de cette roue que l'on applique la puis* sauce dont on dispose, et quc> pour plus de simplicité , nous supposerons dirigée dans le plan même de |a roue.

DE STATIQUE. iSj

suWant OF, tangentiellemenl à sa circonférence. La résistance est ordSoairement an poids P, suspendu à une corde dont l'extrémîté est primitivement fixée au contour de Farbre, mais qui l'enveloppe généralement d'un certain nombre de tours, de sorte que le poids P, peut être censé agir suivant une direction verticale, tangente à la circonférence même de l'arbre au point M , 0& la corde commence à se développer. Cet appareil admet plusieurs autres modes (f application de la punsance et de la résistance; mais ils reviennent tous , plus ou moins immédiatement, à^^hii que nous venons d'expliquer.

Les conditions de Téquilibre , dans cette machine , s'obtiennent immédiatement par la méthode générale, exposée dans le chapitre X. Concevons au centre C de la roue, et par conséquent sur Taxe du cylindre, deux forces auxiliaires C/, C^, égales entre elles, ainsi qu'à la force F , et dirigées parallèlement k cette force , en sens opposé. ËfiPectiaons une addition analogue en c , centre du cylindre , an point où la corde fait autour de lui son dernier contour. Alors , au lieu des forces OF et MP ou F et P, agissant en O et en M, perpendiculairement aux rayons R,r, de la roue et du cylindre, on pourra con* sidérer le système des mêmes forces F et P^ appliquées respectivement aux points C et c de l'axe, plus le système des deux couplesFf ,P «*, agissans aux extrémités des bras R, r, ce qui retient h deux couples situés dans les mêmes plans et formés par les forces FR,Pr, appliquées à l'unité de longueur. Or, les forces appliquées en C et c , sur l'axe, sont immédiatement détruites par sa résistance, conséquemment elle^ ne contribuent en rien à l'équilibre. Celui-ci doit donc s'établir uniquement entre les deux couples. Mais ces couples sont compris dans des plans parallèles-, on peut donc les remplacer par deux autreé couples pareiU, situés dans un même plan qui

i58 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

sera 9 si Von le veut, celui de la roue ou celui de la section du cylindre que le dernier tour de la corde eînbrasse. Ces couples étant i^uîta au même bras y la condition de leur équilibre sera , que la aomme algébrique des forces qui s'y appliquent soit nulle > c^6ift4h<dtre que l'on ait

FR-rPr = o,

pourvu que l'on considère les forces F^P comme de même signe lorsqu'elles tendent à faire touriiar k cylindre dans le même sens p et eomme de signes oeo* traires lorsqu'elles tendent à le faire toomer eu Aras opposé. On voit par l'équation même que cette dwnjjkn condition d'opposition est nécessaire pour l'équilibre; car, si les fbrces P et F étaient de même signe, les distances R> r, devant aussi, parleur nat1^^, être toujours prises avec un signe commun, l'équation |Nrécédente serait impossible à satisfaire. En admetti^nt que l'opposition ain^i nécessitée existe, l'équation signifie q«e le poids à soutenir et la force qui le maintient en équÛî* l^re y sont en rapport inverse des rayons aux extréiiiitél desquels leurs actions s'opèrent Ainsi, plus le rayon delà roue sera grand, comparativement à celui du cylindre, moindre devra être lapuissai|ceF pour faire équilibre aa même poids. Mais aussi, par compensation, loînque Fûd voudra élever le poids?, ii Taide d'une pai^eiUç iliaiGliiiie, plus la force employée agira k l'extrémité 4V« rayon considérable et plus le mouvemept d'un point de la circonférence de la roue devra être grand, pg^r faire monter le poids d'une même hauteur.

Telles sont les conditions de l'équilibre. Maintenant si l'on veut connaître les efforts exeroés sur l'axe par les forces p,/*, il n'y a qu'à considérer d'abord que h force p ou P, agissant en c, peut être considérée comme

la résultante de deux, forces parallèles à sa direction , et dont l'une serait appliquée en S, , l'autre en Sa > aux points de oontapt des supports. D'aprèi la loi de composition des forces parallèles , la première aura pom:

yaleur ' ■ ; la seconde, J ^ • ; de même, la (ofcefy

ou F, appliquée en C, donne en S| la oompofante

F. es» ^ ^ F. es,

__,etenS., -g^.

Les deux composantes relatives a chaque support étant composées en nne seule y donneront la direction et Tintensité de la pression totale à laquelle ce support ^^t soumis 9 et qu'il doit pouvoir soutenir pour ne pas $e fompre.

II 3. Dans ce qui précède , nous avons considéré 1^ pjlindre , la roue et la corde comme sans pesanteur» Mais il serait facile de se rapprocher en cela des réalités. Le poids de la corde , du moins celui de la portion dé^ veloppée, s'ajoute évidemment au poids P, et n'influe que de cette nianière , soit dans l'équilibre , soit dans 1^ pressions. Quant à la roue et au cylindre , si on les sup-r

poçededensitéuniforme^leurcentrede gravité sera, pour la première à son centre, pour le second sur son axe. Leurs poids agissant en ces points , n'auront aucune influence pour faire tourne^ la machine; mais il se distribiieront comme pressions sur les supports S,, S^, et joindront leurs composantes^ celles qui proviennent de la décomposition de F et P. Si, au. contraire, ces deux corps ne sont pas uniformément denses, et que leurs centres cle gravité res^pectifs soient hors de l'^pLc, leurs poids supposés appliqués. 9 ces centres produiront de plus deux coupleS; pftr;[^l^\es au couple P/'^.et qui accroîtront son effort ou lui fier9nt co^aires, selon qu'ils tendront à faire tourner la n^ichinedans le méine sens ou en sep»

iCo NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

opposé. Ainsî^ génénlement, ces nouveaux couples ajouteront seulement à Péquatlon de l'équilibre la somme algébrique de leurs momens statiques autour de Taie AB.

Maisy pour adapter complëtement le calcul du treailà l'état physique des parties qui le composent^ il faudrait encore faire entrer dans les conditions de son équilibre, la résistance opposée à la rotation du cylindre par la friction des tourillons sur les supports, en Si , S^. Car cette résistance doit être vaincue, pour que le cylindre toarae, dans quelque sens que ce soit. Or , on peut la considérer comme une force appliquée tangentiellement au contour des tourillons, dans un plan perpendiculaire à Paxe, avec cette particularité , de n'avoir pas , comme les antres forces, une direction propre et constante, mais , au contraire, dépendante et variable; étant toujours opposée à celles des deux forces P ou F, qui l'emporterait sor l'autre et ferait tourner le cylindre si la friction ne s^y opposait. Ce genre de variabilité dans la dirècïtion s'exprime, dans le calcul, par une variabilité du signe de la force par laquelle la friction doit être représentée; et cette force , n'ayant d'ailleurs d'action que pour ré* sîster à la rupture de l'équilibre, mais non pour faire mouvoir le cylindre, il s'ensuit qu'elle complète seolement l'équilibre, en le rendant possible , toutes les fois que le couple résultant des forces actives Pr + FR, est, non pas nul, mais seulement inférieur au couple opposé que la friction fait naître eii agissant à la surface des tOBrillons. Nous nous bornons à indiquer ici cette extension du problème , sans nous y engager d'une manière plus spéciale; car nous ne voulions que faire eomprendre généralement de quelle manière la friction^ influe dans les conditions d'équilibre, et comment elle doit être introduite dans les calculs qui espriinent ces conditions.

DE>5TATIQUE. 161

Le Cabestan.

114. Le cabestan, fig. 91 , n'est autre chose qu'un treuil dont l'axe est vertical, et dont la roue est rem-* placée par des leviers horizontaux AL^ dont les extrémités libres sont poussées par des hommes. On l'emploie & tirer des fardeaux mobiles , par exemple , des navires 'set^ un point fixe auquel le cabestan est attaché; ou bien encore on érige le cabestan sur le navire^ et l'on haie celui-ci sur un point du rivdge auquel on a attaché l'extrémité de la corde. Pour éviter d'accumuler sur l'arbre ÂB toute la corde qui ^^^ enroule, à mesure que la distance du point fixe au fardeau mobile diminue^ on n'attache pas l'extrémité de la corde à l'arbre AB j mais on lui fait faire seulement quelques tours sur sa surface, après quoi un homme retire constamment à lui l'extrémité libre; de sorte que son effort d'une part , et la résistance de l'autre^ serrant la corde sur l'arbre y j font naître une friction suffisante pour Pempécher de glisser; ce qui produit le même effet que si elle y était attachée fixement. Du reste, il est évident que cette machine n'est qu'un véritable treuil , et qu'ainsi les conditions d'équilibre y sont les mêmes.

le Plan incliné.

1 15. Dans le chapitre X, nous avons donné générale*ment les conditions de ^équilibre d'un corps solide sollicité par des forces quelconques et contraint de rester en contact avec un plan résistant. INous allons maintenant faire une application particulière de cette méthode à l'équilibre d'un corps pesant posé sur un plan résistant incliné à l'horizon , et retenu par une force unique, qui l'empéehe de glisser le long de ce plan.

i62 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

Soit, fig. 91, ABDË le plan résistant , formant on angle i avec le plan horizontal ABH^; représentons par ahdeaVcte ^ le corps pesant de figure quelconque qai repose sur le plan ABDE^ et qae nous supposerons généralement le toucher en un certain nombre de points. L'action immédiate de la pesanteur sur toutes les particules de ce corps, se compose en une seule résaltante verticale GP ^ale à son poids P, et appliquée à son centre de gravité G ; de sorte qu'en employant cette résultante ainsi appliquée > on n'aura plus à considérer le corps que comme solide et impénétrable.

Soit M le point où s'applique la force MF ou F qui doit le retenir, et faire ainsi équilibre à la force P par l'intermédiaire du plan ABDE, supposé indéfiniment résistant.

Pour trouver les conditions de cet équilibre, choisissons sur le plan ABDË un )K>int quelconque I dans l'intérieur de l'espace qu'embrassent les points de contact du corps; puis, appliquons en ce point deux forces auxiliaires p, ^, opposées l'une à l'autre, égales entre elles, et respectivement égales et parallèles à la force?. EfiPectuons une opération analogue pour la force F« Ceci ne changera évidemment rien aux conditions statiques du système puisque les forces ajoutées s'entre-détruisent mutuellement deux à deux. Mais alors, au lieu des deux seules forces primitives P et F, on pourra considérer: 1**. le système des deux forces />,/*> respectivement égaies aux précédentes, et appliquées au point I, lesquelles se composerotit en ce point en une force unique que nous représenterons par R; 2^. deux couples formés par les forces Pr , F^ , agissant aux extrémités des perpendiculaires menées du point I sur les directions des forces P et F, lesquels se composeront en un couple résultant unique dont le bras passera par le point L

DE STATIQUE. i63

Maintenant, la résistance du plan ABDE ne fait autre chose que dérelopper^ en chaque point de Pespace de contact, une force, dont l'intensité est à la yérité supposée sans limite, mais dont la direction doit toujours être parallèle à la normale IN , et dirigée de bas en haut dans le sens NI. Ainsi toutes les forces de ce genre se composent en une résultante unique r, qui perce aussi le plan dans l'espace de contact; de sorte que le point I , o& l'on yient de transporter les autres forces, peut être supposé celui-là même ou ce phénomène a lieu. Alors, sans connaître la résultante r, et quelle que puisse être son intensité actuelle , on peut la conceroir composée avec la première résultante R , ce qui donne au point I une force unique R, , laquelle, avec le couple résultant des forces P et F, complétera tous les élémens de l'équilibre. Or, la force R( ne pouvant faire équilibre au couple, il faudra que l'un et l'autre soient nuls séparément , c'èst-*à-dire : i^ que la force B, soit nulle, ce qui exige que les forces P et F, transportées à un même point de Tespace , j donnent une résultante normale au plan ABDE , et contraire à la résistance de ce plan ou dirigée dans le sens IN ; 7^. que le couple résultant des forces P et F, autouxglu point I, soit nul, ce qui exige que ces deux forces soient dans un même plan , passant par un des points I de l'espace de contact, et que la somme de leurs momens statiques soit nulle relativement à ce point, ce qui j fait passer leur résultante. Ainsi , en réunissant ces conditions à la précédente , il faudra en définitive que les forces P, F, soient dans un même plan ; que leur résnl* tante soit normale au plan incliné, et qu''elle perce ce plan dans un dej points de l'espace de contact , en se dirigeant de manière à presser le corps sur le plan. En efièt , si cela a lieu , on pourra toujours distribuer

i64 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

les résistances normales de manière que leur résultante r passe par le même point .-de cet espace et j détruise la résultante R.

ii6. Ceci connu y nous pouTOus simplifier la figure en coupant le plan incliné, ainsi que le corps solide, par un plan mené suivant les forces P et F ; car. la section ainsi formée, et qui est représentée fjg* 92^ contiendra toutes les forces qui doivent se faire mutuellement équilibre. Le plan de cette section contenant la force verticale P» est lui-même vertical, et passe par le centre de gravité du corps pesant. De plus» contenant les deui forces PetvF, il contient leur résultante qui doit être normale au plan incliné. Ainsi, étant à la fois perpendiculaire à ce plan et au plan horisontal, il Test à leur commune section ; et il coupe l'un et l'autre suivant des droites dont l'obliquité mesure leur angle dièdre, c'est-à-dire l'inclinaison du plan oblique sur le plan horizontal , laquelle a été désignée plus haut par i.

Alors, si nous prolongeons les directions des forcçs MF,GPy indéfiniment jusqu'à ce qu'elles se coupent, le point O où elles se rencontreront, sera un des points de leur résultante. Il faudra donc ensuite qu'en leur appliquai:]^Je parallélogramme des forces, cette résultante se trouve perpendiculaire à la droite AD, qu'elle tombe dans l'espace de contact de la section o^, et qu'elle soit dirigée vers l'horizon. Cette oonstructioa est représentée £g^ gS , et il est facile d'obtenir les conditions analytiques qui en dérivent.

£n effet , puisque la composante OP est perpendiculaire à AH, et que la résultante OR doit, dans le cas de l'équilibre, être perpendiculaire à AD, il s'ensuit que, dans ce même cas, l'angle POR est égal à l'angle DAH ou à i, inclinaison de AD sur ^hori^ontale•^Si,de plus, nous nommons • l'angle POF-des deux furoes oa

DE STATIQUE. i65

l'angle formé par OF avec la portion de la verticale inférieure au point O, Pangïe ROF sçra — i, et ce sera aussi la valeur de l'angle ORP qui lui est égal. D'après cela , si dans le triangle POR, formé par les deux forces P, F et leur résultante inconnue R, on établit les relations trigonométriques qui lient ces diverses parties , ce seront les conditions mêmes de l'équilibre. Ot', la proportion des sinus aux côtés Oppo-^ ses donne

F sîni R sin «

P "" sinC4 — 0' P ~8in(« — 0'

La première exprime là relation que les deux forces F et P doivent avoir entre elles pour l'équilibre ; la seconde fait connaître l'intensité delà résultante en fonction de l'une d'elles, ou si l'on Teul^ aussi en fonction de Tautre, puisque leur rapport est connu.

117. 11 est sensible que, pour une même intensité de la force P, la force F qui retient le corps, devra avoir des intensités inégales, selon qu'on la rendra plus ou moins oblique au plan incliné. Suivons ces variations dans la formule qui exprime le rapport de ces forcer, nous en tirerons

, . * Psini ^ Psin*

sin (« — i) ' sin((t— i)'

i étan^ l'obliquité du plan incliné sur l'borizon, nous devons la supposer constante 'dans l'application qui nous occupe, puisque nous considérons toujours le même plan incliné. Cela posé, pour éprouver toutes les directions possibles de F, rendons d'abord l'angle « nul, ce qui fera coïnciderOF avec la verticale OP, fig.949 puis faisons graduellement croître cet angle jusqu'à une <nrconférence entière; nous aurons d'abord, « étant nolj^

i66 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

c'est*à-dire qu'alors la force F qui retient le oorps doit être égale à son poids total , mais dirigée en sens contraire, ce qui est en effet évidemment indispensable pour l'équilibre dans cette position. En outre, nous trouvons que, dans cecas^ la résultante R est nulle; de sorte que la condition de sa direction vers l'horizon devient indifférente ou peut Âtre supposée satis&ite, ce qui est en effet évident.

« n'étant plus nul , mais moindre que iy\e dénominateur sîn (# — i) reste négatif. Alors les équations (i) montrent que la force F doit, pour l'équilibre, rester négative, c'est-à-dire avoir une direction contraire à celle que nous avons primitivement supposée dans les fig. 91 et g3, sur lesquelles nos formules sont établies. O^ltç nouvelle construction se trouve effectuée, fig. 96. Dans cette même supposition, R se trouve aussi n^atif, c'est-à-dire que sa direction est . également intervertie. Avec ces modifications le triangle des forces est donc possible. Cependant l'équilibre ne peut avoir lieu physiquement si le corps pose sur le plan^ conune nous avons tacitement admis dans tout ce qui précède ; car le signe négatif de R indique que cette résultante ne le presse pas contre le plan, vers l* horizon ^ïasiis au contraire le tire de bas en haut. Pour que réquilij)re fût physiquement possible avec ces valeurs, il faudrait que le corps pesant fût placé sous U plan ; car alors la résistance de celui-ci pourrfiit anéantir la résultante négative R.

Ce genre de solution subsiste tant que l'angle « est moindre que û Lorsque «=i, la force F se dirige perpendiculairement au plan incliné, par conséquent sui*

tant la normale même, qui doit être aassl la direction de la résultante commune des deux forces P et F. Cette dernière condition devient donc alors impossible à remplir, à moins que la force Pne soit nulle, c^est*4i-dire à moins que le corps n'ait aucun poids. C'est aussi ce qu'indique l'expression générale de F; car, pour cette circonstance elle donne F fnfinie comparativement à P; relation qui he peut se réaliser physiquement à moins que P ne soit nul. En effet , dans cette supposition , toute valeur quelconque donnée à F^ suivant la nor* inale, dans l'espace enibrassé par les points decontact> devient capable de fixer le corps non pesant sur le plan incliné.

Lorsque m surpasse i, les valeùrii de P et de H deviennent positives*, l'équilibre e&t donc possible avec la div rection.de forces primitivement adoptée dans la fig. 98. Comme î-est supposé constant ainsi que P, la variation de F ne tient qu'au dénominateur sin (« — »'); et par conséquent la plus petite valeur que F puisse avoir ré* pond à la plus grande valeur que le dénominateur puisse prendre, ce qui arrive lorsque « — issrgo®, d'où sin («— * î) = I ; ce qui est la plus grande valeur positipe que puisse prendre un sinus. Cette valeur donnant tf =9o' + i,eli étant l'angle POR, dans cette figure fondamentale, on voit qu'elle rend OFtperpendiqulaire *à la normale OR, conséquemment parallèle au plan incliné. Cette disposition est repré;sentée fig. g6. Dans çp cas, la valeur de la résultante R devient égale à + P cos i) ce qui est pareillement évident, puisque l'angle ORP se trouve droit, §5(1.

Il y a une autre solution q^i rendrait F également petite, mais négative. Ce serait le cas où l'on aurait sin («t — £)= — ^.15 d'oi u — 1=270®, et par conséquent #5=270*^-1. Cette valeur de «f^n'est donc que la précé-

i68 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

dente augmentée de i8o®, et ainsi elle place encore F sur une direction perpendiculaire à la normale OR^ %• 97> <^ ^^^ 1^ rend toujours parallèle au plan incliné. Mais son signe négatif indique qu^ alors son sens d'ac« tioii doit être contraire à celui que lui attribuait la construction primitive de la iig. g3 ; et en effet , cette inversion étant opérée» reproduit absolument la même disposition statique du cas précédent. Il est bon de remarquer que cette nouvelle valeur de «, donne également pour la résultante 'R, une valeur positive, et la même que dans le cas précédent, c'est-à-dire -*f*Pcosi; ce qui tient à ce que « étant égal k 270° -f- i, sîn m deyient négatif et égal à — cosi en même temps que sin(«^— devient égal à sin— -sini, ce qui ne change pas le rapport de ces deux quantités.

Lorsque l'angle « surpasse 90^-f-iy la force deyîent de nouveau oblique au plan incliné ;et^ ce qui est-digne de renaarque, les valeurs qu'il lui faut prendre pour l'équilibre sont, à obliquité égale, les mêmes au-dessus de cette limite qu'au-dessous. En effet, comparons deux valeurs u et «'' de Vangle « , qui offrent cette correspondance entre elles > c'est-à-dire qui soient telles que l'on ait

pour la première » t= go° -(- » — a:,

pour la seconde «* =90^ + ^ + a^>

on en tirera u — i = go* — jc ,

et en substituant ces valeurs dans les expressiofis générales de F et de R , on aura

.-, P cos i -, F eos(* — *)

<;as. r = , n = ^—

coso; cosir

^ P cos i -. P cos(£ + x)

r =: , MX = %

co«x cos a:

er

2* cas.

Les intensités de la force F nécessaires pour l'éqailibre seront donc les mêmes, comme nous l'avions annoncé tout à l'heure; mais les intensités delarésultanteR seront différentes; et elles seront plus grandes avant qu'après le parallélisme , parce que , pour une même valeur yro* sitive de x, cos (î-f-^p) est généralement moindre que cos (i — x).

On concevra facilement ces résultats en j[etant les jeax sur les fig. gd et 9g , oii l'on a réalisé les relations précédentes des forces P et F, tant en intensité qu'en direction. 11 est visible que, d'après la construction même du parallélogramme des forces, la résultante OK est moindre dans le cas de la fig. 99, que dans celui de la fig. 98 , les intensités absolues des forces P et F étant d'ailleurs supposées égales dans les deux cas.

£t si l'on veut concevoir la raison statique pour laquelle il en est ainsi, il n'y a qu'à opérei' ici comme dans le § 44> c'est-à-dire décomposer les forces P et F, perpendiculairement et parallèlement à leur résultante commune, et les remplacer par leurs composantes prises suivant ces deux directions; c^est encore ce que représentent les figures citées. Alors on voit que Ta résultante est formée , dans la fig. 98, par la somme des composantes normales Opj 0/*qui agissent dans le même sens; tandis que, dans la fig. 99, elle l'est par la diff'érence de ces mêmes composantes qui agissent alors en sens contraire. D'ailleurs, dans un cas comme dans l'autre, cette résultante normale est détruite par la résistance du plan AD, de sorte que l'équilibre est établi par la seule opposition des composantes parallèles à ce plan. Il faut donc que ces dernières composantes soient égales entre elles pour qu'il y ait équilibre. Or l'une, OY, est constamment égale à P cos POY , ^ ^^,o\i kP s?n i , et l'autre OZ, est égale à F cos FOZ ou F sin (« — i). La condi-