I70 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

tion de l'équilibre doit donc être

Fsin (*— i) = P8inî,

ce qui est précisément la relation générale exprimée aussi parles équations (i), page i65.

L'expression générale de la résultante R, . , j rr

est aussi également d'accord dans les deux constructions. £n effet y en la calculant par la fig. 98, conforme à celle sur laquelle notre formule générale est établie, R est égale à la somme des composantes normales Qp-f^O/* ou P cos i + F cos ( « — * ) ; et en effet , si Pon reprend notre expression générale de R, on pourra la mettre sous la forme *

^ Psin(« — i+î) ^ . , PsinicosT* — i) R = — r-^7 r--=;Pcos*H • r -^ '

= Pcos^-|-Fcos(« — 0> * •

ce qui est précisément la même valeur.

Nous avons insisté spécialement sur ce mode de décomposition y pour faire bien voir la portion de chacune des forces P et F, qui agit dan& l'équilibre ^ n'étant pas combattue par la résistance du plan; et il- est sensible, comme nous le voyons, que cette portion active de chaque force ne peut être que sa composante parallèle au plan incliné.

Il nous reste peu de chose à dire , pour achever la discussion complète des formules (i) : il suffit de suivre les valeurs successives qui se trouvent données à F et à R, par les valeurs particulières de «,que l'on vent employer. Nous ferons seulement remarquer, comme limite, le cas où l'angle « devient égal à 180^, ce qui rend la force OF verticale, comme l'action du poids P lui-même « fig. 100. Alors nos formules générales donnent

F ^s\ni T> ^

sm(i8o® — * *

c'est-à-dire que la force F doit être totalement égale au poids P^ qu'elle soutient ainsi tout çuticr à elle seule, sans que la résistamce -du plan y contribue en aucune manière.; et c'est pourquoi la valeur de R^ qui exprime généralement la pression que le plan supporte^ se trouve alors égale à zéro.

D'après tout ce qui précède, on Toît que l'effet du plan incliné, dans l'équilibre des corps pesans, consiste à supporter la portion de leur poids, qui est représentée par la composante normale au plan , et de diminuer ainsi leur effort pour descendre le long dii plan , eiUe réduisant k la seule composante qui lui est parallèle; d'où il suit que, plus l'angle i du plan avec l'horizon est petit , plus cette dernière composante s'affaiblit , et plus en conséquence le poids peut être facilement retenu contre l'effort, oblique de la pesanteur. L'inclinaison du plan offre donc le moyen de retenir ainsi des corps pesans sur sa surface, et même de les y faire monter contre l'effort de la pesanteur, en n'em* ployant pour cela qu'une force moindre que leur poids , et d'autant momdre que l'inclinaison i est plus petite. Mais aussi, plusla puissance don ton dispose aura d'avantage par cette circonstance, plus il faudra qu'elle traîne le borps sur ^un long espace pour l'élever verticalement d'une égale quantité; ce qui produit ainsi une compensation entre la faiblesse du moteur que la ma-' chine permet d'employer et la prolongation qu'il faut donner à son action pour faire monter un même poids d'une hauteur égale; résultat pareil à celui que le levier nous avait déjà offert et qui a également lieu dans tous les modes possibles de transmission du mouvement.

17a NOTIONS ELEMENTAIRES

Dans tout ce qui précëde, nous avons suppose qae le plan Incliné n'offrait au cocps posé sur sa surface que des résistances normales. Mais, dans la réalité physique, k seule pression exercée par un corps contre an plan, fak naître à leur surface mutuellede contact vn frottaient fpii s'oppose ayéc une certaine énergie à tout monvement longitudinal, soit descensionnel , soit ascensionnel; de sorte que, par Tinterrention de cette circonstance, l'équilibre peut avoir lieu sans que la somme des composantes paitellëles an plan incliné soit çomplëtement nulla 11 suffit qu'elle soit moindre que la résistance longitudinale opposée par le frottement mutuel des surfaces en contact, quel que soit d'ailleurs le sens dans leqnd cette résistance doive s'exercer.

n nous reste aussi un mot k ajouter sur le déveloyement des ré^stances normales. Si le corps ne touche le plan qu'en un seul point, c'est évidemment en ce seul pdlnt que peut s'exercer la résistance , et que doit passer la résultante R des forces actives qui sollicitent le corps : s^il y a deux points de contact, il n'y a qu'à répartir la résultante R entre ces de^x points , par le principe ordinaire de la décomposition des forées parallèles, § Zo, et l'on aura les résistances qui doivent s'engendrer en ces mêmes points pour la détruire. Lorsqu'il y a trois points de contact, cette répartition est encore facile. Car, si l'on joint ices trois ^points* par des droites qui limitent l'espace dans lequel la résultante R perce le plan de contact, on peut d'abord lui substituer deux composantes , dont l'une s'appliqne k un des sommets de ce triangle , et l'autre au point de la base qui se trouve opposé sur ta même ligne droite ; SLprhs quoi cette seconde composante peut être répartie, comme tout à l'heure, entre les deux autres sommets. Mais, si l'on suppose plus de trois points de contact.

la décomposition de la résuTtante R, et sa répartition , peuvent s'effectuer d'une infinité de manières, toutes également admissibles; de sorte que la détermination individuelle des résistances devient indéterminée, da moins lorsque l'on suppose , comme noua l'avons fait y le plan et le corps complètement rigides , ce qui, au reste, n'a jamais lieu dans la nature.

La P^is,

118. La machine appelée F'is y n'est autre chose qu'un plan incliné^ tournant en spirale autour d'un axe rectiligne : c'est ce que l'on comprendra aisément, d'après sa génération.

Soit AB A'B', fig. ro I , un cylindre vertical droit , à base circulaire, dont le rayon soit r, et la hauteur* quelconque. Par les centres C, C, de ses bases, menez deux diamètres AB, A'B', parallèles entre eux, et prolongez les hors du cylindre d'une quantité égale au développement des bases ou à 2Tr, vr représentant le rapport * delà circonférence au diamètre, ou le nombre 3,1415927. Si l'on joint les points extrêmes de ces prolongemens par une ligne droite HH', ce sera la hauteur du cylindre. Divisez-la en un certain nombre de parties égales, dont A soit la longueur commune-, et, prenant les mêmes divisions sur l'arête BB', menez autant de parallèles M|ii2( M%ni^'. ... à la base BU. Enfin, menez aussi les diagonales BM, , m^M^y m^Ms .... de chaque division de 6B', à celle de HH', qui lui est immédiatement supérieure. Toutes ces diagonales seront évidemment parallèles entre elles; et leur inclinaison coraiâune sur l'horizontale BH étant désignée par î, on aura pour toutes

^"8*=mr = 2-^r'

de sorte que l'inclinaison i sera connue.

D'après cette construction , le plan rectangulaire BH H'B', est le déreloppement de la surface latérale du cylindre. Si on l'enroule sur cette suirTace en le faisant tourner autour de l'arëte BB', chacune des diagonales BM( , 77i(Mfl^ mJVfs. . • se pliera pour s'applîqaer sur lui aussi bien que la base BH ; et cette rotation ne changera rien ni à l'horizontalité de BH^ ni à l'inclinaison des élémens obliques des diagonales sur cette base. Mais BH étant égal à airr, ou au déyelopperaent de la circonférence du cercle du rayon, r^ il est clair que chaque diagonale dont ce déTeloppement e^t la projection horizontale, fera, comme BH^ un tour entier sur la surface du cylindre; c'est-à-dire que le point M^ , après ^'enroulement; rejoindra ti»,; de même Ma, rejoindra rn^'y M3 rejoindra ms, et ainsi de suite*, de sorte que le système de toutes les diagonales , ainsi enroulées , formera sur la surface du cylindre une courbe continue , dont chaque élément fera arec sa projection horizontale , un angle constant ù Une telle courbe s'appelle une hélice , et elle constitue réellepient une ligne inclinée courbe , formant avec l'horizon un angle i. Conséquèmment , si Ton suppose qu'un point matériel pesant M, y soit posé et abandonné à lui-même, il devra descendre le long de l'hélice, par l'effort de la pesanteur; et, si son poids est P et qu'on veuille le retenir par l'opposition d'une force MF ou F, dirigée dans le plan vertical de l'élément curviligne, sur lequel le poids P repose, en supposant que cette force forme un angle «, avec la verticale, la condition de l'équilibre sera, comme dans le ^ ' 16 ,

sm(tt — i) sm(« — i)

La valeur de R repré^nte la pression normale, i

exercée sur Phélice par la résultante des deux forces P et F. 11 faut de. plus se rappeler que Paugle i est donné en fonction du contour du cylindre et de la hauteur des divisions de Taxe, que l'on appelle le pas de Phélice , au moyen de la formule

119. Dans les usages pratiques , la direction de la force F est ordinairejnent horizontale. Nous nous bornerons en conséquence à considérer spécialement ce cas. Alors l'angle « devient égal à gp" , ce qui donne