PA P

(a) F = P.tangi=---, R = :.

^ ° arr cos *

Résultats dont l'évidence peut être aisément vérifiée d'une manière immédiate^ sur la figure loa.

En outre , la force ou puissance dont on dispose ne se trouve jamais appliquée immédiatement au point M de rhélice, fig- loi. On la fait presque toujours agir sur ce point par l'intermédiaire d'un levier LO, dont le point d'appui est placé en O, sur l'axe du cylindre, la puissance y étant appliquée horizontalement à l'extrémité L. Pour effectuer cette transformation^ il n'y a qu'à placer d'abor4 au point O de l'axe deux forces auxiliaires f,ç y de directions contraires , égales entre elles , et de plus égales ainsi que parallèles à la force F. Alors, au lieu de celle-ci , on pourra considérer, 1°. son égale y* ou F, appliquée au point O de l'axe; 2^ le couple formé par les forces F, ç, appliquées perpendiculairement au bras r, ou, ce qui revient au même, le couple formé par les forces Fr appliquées à Fupité de longueur. Maintenant, si Ton veut remplacer ce dernier couple par un autre équivalent formé sur le bras LO ou /, il n'y a

qift*à représenter par F' les forces qui doiveot constituer celui-ci , et la condition de l'égalité des momens statiques^ §88, donnera évidemment

Fr = F7, d'où F == — .

Cette expression doit donc être substituée au lieu de F, dan? les formules (2). En tirant la valeur de F', oa trouve que le rayon r du cylindre disparaît et il reste

c'est-à-dire que la puissance horizontale F' est au poids vertical P qu'elle doit retenir , comme la hauteur h du pas delà vis est à la circonférence utI que la puissance F' tend à décrire. Cette condition définitive est donc la même que si le poids P était posé sur une hélice de même pas que l'hélice. primitive, mais décrite sur vn cylindre du rayon /^ ou encore, sur une hélice dout

l'inclinaison à l'horizon aurait pour tangente — - aa

lieu de . Il est visible, en outre, que l'axe du cj-

lindre se trouve poussé en O par unç force horizon-

PA taie F , égale à , ou P tang i , laquelle est d'autant

plus énergique que l'hélice s'élève plus rapidement.

120. Maintenant concevons un triangle quelconque ahcy fig. io3 y dont la hase ah soit égale à la hauteur h, des pas de l'hélice ; et plaçons le verticalement d^ns un plan mené par l'axe du cylindre, de manière que sa base ah coïncide avec une des arêtes génératrices. Puis faisons tourner le plan diamétral avec le triangle autour du cylindre de la fig. loi , en assujettissant les points a et ^à

monter sur sa surface suivant Phélice décrite par les diagonales BM, , M,Mt , M.Ms , etc. Dans ce mouvement, tous les points du triangle décriront évidemment des hélices de pas égal, qui pourrontétre considérées comme tracées sur autant de cylindres de différens diamètres, ayant tous €(/ pour axe. Cette construction engendrera l'espèce de surface courbe que l'on appelle une vis triangulaire , fig. io4, et le triangle générateur en est ce que l'on appelle le filet Quelquefois ce triangle est remplacé ftar un rectangle afrf/f, fjg. io5, situé, de même dans un plan diamétral , et mu de la même manière. La surface ainsi engendrée s'appelle alors une. vis rectangulaire, fig. 106 : généralement sa dénomination est établie d'après la forme du filet générateur.

A u lieu du cylindre plein ACBA'C'B', fig. ioi,con* cevons un cylindre creux de même diamètre intérieur, qui lui soit con^ntrique : puis, ayant placé le filet générateur autour de AGBA'C'B', pour lui faire engendrer la vis, supposons qu'en même temps ce filet creuse sa trace dans le cylindre plein eltérieùr. Il y formera une empreinte qui offrira en creux la même surface que la vis offre en relief. Cette surface enveloppante est ce que l'on uoTome l'écroui Kous en verrons tout à l'heure les Usages; pour le moment,nous nous bornerons à dire qu'en général on donne à l'écrou une hauteur totale moindre qu'à la vis, qu^l enveloppe seulement dans un petit nombre de tours, comme; on le voit en EE^ fig. io4 et 106. Alors, on peut faire parcourir' à l'écrou toute la longueur de la vis , en le failant tourner autour de son axe; et il monte ainsi , ou descend, selon qu'on le tourne dans ïe sens qui lui fait décrire l'hélice en montant ou en descendant s^r elle.

isii. Maintenant, laissant toujours lavis verticale,

concevons que la matière de l'éeroii soit pesante, et

ajoutons-j même un poids additionnel également vertical. Le poids total^ que nous exprimons par P, se répartira sur tous les points de contact par ïesquel^ la surface creuse dePécrou repose sur la surface saillante des filets ; etainsi^ chaque élément superficiel des filets se trouvera pressé verticalement par une petite force p qui représentera la portion oorrespondante du poids total P. Conséquemmentysi PoB vent faire équilibre à ce poids partiel à l'aide d'une force horizontale appliquée à Pextrémité d'un levier de la longueur /, l'intensité de c^tte force ou puissance devra , d'après ce qui précède , être égale à

-—p h étant la hauteur du p^s de l'hélice génératrice.

Or , cette hauteur est la même ||Dur tous les points de la surface des filets saillans ou creux; ainsi , en siipposant tous les poids pai'tiek retenus par autant dé bras de levier xle la longueur /, l'expression "de la puissance propre à chacun d'eux conservera toujours ^e rapport

— ■ comme fecteur constant. Mais Fécrou étant solide,

l'efibrt de chacune de ces puissances pour le faire tourner restera le même, quel que- soit le point de son contour oùl'on insère le levier, pourvu que 1a longueur du bras demeure la même, ainsi que l'intensité de la puissance et la direction relative de son action sur le contour du cylindre. Transportant donc ainsi tous les leviers partiels sur une même ligne diamétrale, les forces ou puissances horizontales, qui les sollicitent perpendiculairement, se réuniront en une seule résultsmte égale à leur

sopime, c'est-à-dire à la somme de toutes les quantités ~.f

. . Vh laquelle deviendra ainsi — -y P étant le poids total de

L'écrou et de la charge verticale qui j est ajoutée.

Noud venons de supposer la vis fixe , et Féorou libre de se mouYOÎr autour d'elle. Si Ton voulait supposer au contraire Vécrou fixe et la vis mobile, avec l'addition d'une force qui la solliciterait dans le sens de son axe, les relations de cette force à la puissance horisontale, nécessaire pour lui faire équilibre , seraient exactement les mêmes. (7est ce qu'il est aisé de vérifier , en reprenant la mémo série de raifonnemenâ pour cette nouvelle tiypotbèse. Mais on peut le conclure immédiate* ment de^cequeles surfaces de l'écrou et de la vis étant en contact continu et complet , toute force qui sollicite les élémens d'une de ces surfaces, se transmet aussitôt ii chaque élément contigu de l'autre sans rien perdre de son intensité) et s'y décompose de la même manière ; d'o& il suit que les composantes détruites par la résistance delà surface ^\.e, et les composantes que la puissance doit équilibrer , soM les mémesf ^.^ns les. deux cas, seulement avec des directions absolues contraires dans l'espace.

122. On voit, par ce qui précède, qu'une force médiocre F' appliquée à l'extrémité du levier'/, peut. exercer, dans le sens de Faxe de la vis, un effort P très consî-^ dërable; d'autant plus considérable que le letfer est plus loûg, et la hauteur du pas de vis moindre. Cette propriété^end la vis d'une utilité continuelle dans les^rCs itiécàliiques.

Par exemple, veut-on presser' avec beaucoiup de force des corps mous, tel» que d^es papiers, des Hnges ou des plantes? On c<mstruit avec des pièces de bois un ehAs^is solide AB9S, ^f^. 107, dans lequel AB représente une table épaisse capable d^une grande résistance. TTest une ^utre table pin'etlle, mais mobile vertici^Iement entre Àe» support» SA, SB. La pièce supérieure SS est Une hêxte épavsse, pereéo en 9on-n«ilieu d'«n

i8o NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

écrou qui se trpuye ainsi faire corps avec les supports. Dans cet écrou entre une vis OV dont la téteOy terminée par un tourillon métallique ^> tourne librement dans un trou percé sur la planche mobile TT.

Maintenant , si l'on fait tourner la vis autour de son axe par le moyen d'une force ou puissance horizontale , appliquée perpendiculairement à l'extrémité du lerier OL, il est clair que, selon le sens de cette rotation, la vis montera ou descendra dans son écrou , en entraînant ou poussant la table mobiU TT. Donc, dans ce dernier cas y s!il existe des corps compressibles dans l'espace ABTT, la force F, appliquée au levier l, produira sur eux une pression P dont la relation avec F sera ^ comme tout à l'heure,

F = --., d'où P =

Si la longueur / du bras de levier est très* grande par rapport à la hauteur h du pas de la vis , la pression ainsi exercée par une force médiocre F', pouiTa devenir énorme. Les presses d'imprimerie , les balanciers qui servent à frapper les monnaies , et une foule d'autres applications mécaniques sont fondées sur ce pro- .cédé.

123. Mais la vis accompagnée de son écrou, a. encore un autre genre d'utilité dont nous n^avons pas dû parler )U8ii(u'ici| parce qu'il est fondé sur l'adhérence phjsique qui s'établit entre les surfaces en contact de Fécrou^de la vis et des corps auxquels on les applique, lorsqu'on les terre fortement. Par exemple, veut-on fixer l'une à l'autre deux pièces de bois ou de métal, A, B, fig. io8? On les perce toutes deux d'un trou circulaire, dans lequel on fait passer la pièce métallique YY/ appdée

DE STATIQUE. i«i

boulon j dont la partie située vers Y^ est un cjlin^e à tète plus large que le trou^ et l'extrémité \' est trayaîllée en forme de vis. Après que cette extrémité est sortie de B, on y place I^écrou par le bout Y' y pub on le tourne à la main jusqu'à ce qu'il arrivé au contact de la pièce ^, en ayant soin de maintenir la tète Y fixe^ pour que le bou- Ibn ne tourne point sous le frottement de l'écrou. Quand la tète Y, ainsi que l'écrou E, sont arrivés au contact avec A et B, on continue de faire marcher l'écrou autant que possible, en le tournant par force avec la pièce CC, qui est un véritable leviçr et que l'on appelle une clef. L'e£Port F' ain^i exercé si|r l'écrou, produit dans le sens de l'axe de la vis une pression énergique P qui comprime momentanément les pièces A et B et les serre l'une contre l'antre. A la vérité, lorsque l'on cesse de tourner le levier, la réaction élastique des deux pièces rqM'oduit le même effort P en^sens contraire j c'est-À-dire qu'elle tend à faire glisser obliquement les filets de l'écrou sur le plan incliné que forihent les filets de la vis avec lesquels ils sont en contact, ce qui aurait pour effet de détourner l'écrou et de détruire le serrage. Mais la friction qui s'est établie sous la pression P, entre les surfaces dés filets de l'écrou et du boulon, jointe à celle qui s'opète également entre la surface plate de la tête de Pécroù et la pièce &> s'opposent à ce que l'écrou se tourne et empêche l'écart dés deux pièces, qui demeurent ainsi fixées l'une à l'autre a^ec beaucoup d'énergie*

124* Dans cette opération , l'écrou est mobile et la vis fixe; mais on peut également employer la disposition inverse, comme on le voit fig. 109. Pour cela, on commence par percer la pièce A d'un trou cylin* drique qui travei^ toute son épaisseur, et qui est destiné à laisser passer le boulon YY'. On .prolfloge ce trou