CHAPITRE III

De Véquitibre produit par la composition de plusieurs forces appliquées à un même point matérieL

lo. Lorscpi'une seule force est appliquée à un point matériel libre, il est évident que ce point, en vertu de son inertie, doit se mouvoir suivant la direction de la force et sur son prolongement. Mais lorsque plusieurs forces agissent simultanément sur un même point matériel, ou sur un système de pareils points, il se présente deux cas qu'il est nécessaire de distinguer. Il est possible que Fensei^le des forces agis^ santés communique des mouvemens au système; mais il peut arriver aussi que leurs efforts s'entre-détruisent, et alors lé système demeurera en repos. Le repos ainsi produit par la compensation de plusieurs forces actives j se désigne sous le nom d^ équilibre^ pour le distinguer du repos inerte produit par Pabsence de toute force motrice," quoique ces deux états ne diffèrent en rien, quant aux apparences.

L'état d'équilibre étant particulier et unique parmi tous les mouvemens possibles, on conçoit qu'il exige entre les directions des forces, leurs intensités et les positions de leurs points d'application, certaines relations spéciales , sans lesquelles il n'aurait pas lieu. Ces relations se nomment les Conditions d'équilibre^ et leur recherche est l'objet d'une branche des Mathématiques que l'on appelle la Statique; c'est celle dont nous allons nous occuper.

DE STATIQUE. i<7

L'énùncé qui précède semble ne s'appliquer qVi'à dès corps tout-à-fait libres dans Fespace. Cependant on peut concevoir y on peut même remarquer eipérimentalement> beaucoup de cas d'équilibre dans lesquels les corps aont asisnjettis à certaines conditions par lesquelles leur liberté est limitée y comme, par exemple ^ à ne pouvoir que tourner autour d'un poiilt ou d'un aie fixes ^ ou à s'appuyer constamment sûr une surface indéfiniment résistante et impénétrable. Mais ces particularités , pltis compliquées en apparence , peuvent toujours être l'amenées à la simplicité des corps libres , en représentant par des forces spéciales , et convenablement appliquées^ les réactions des obstacles auxquels les corps sont assu-< jettis. Ainsi; lorsqu'une bille spbérique pesante se tient en équilibre sur le tapis borizontal d'un billard , on peut substituer par la pensée , à la résistance de ^ plan y une force verticale , contraire et égale au poids de la bilICf qui en compense à cbaquo instant l'effet Au moyen d'une substitution analogue ^ mais plus ou moins facile > on n'a jamais à rechercher les conditions d'équilibre qu'entre des corps complètement libres dans l'espace. . Par le même motif de simplification ^ quoique tous les corps qui s'observent dans la nature soient pesans , on leur ôtepar la pensée la pesanteur^ que l'on considère comme une force distincte qui exerce ^ ainsi que toute autre ; son influence dans les conditions de leur équilibre; etalors on n'a plus à considérer tous les corps que comme des systèmes matériels inertes et sans poids»

Ces principes posés y nous allons examiner sucdessive* ment plusieurs car d'équilibre très simples, et, pour ainsi dire^évidens par eux-mêmes, qui nous conduiront graduellement aux cas plus composés.

II. Sdit un point matériel A, fig. i'* et 2', sollicité uniquemeni par deux forces égales et contraires , qu^

i8 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

nous représenterons par les droites égales AP , AQ , plagiées sur un même prolongement (9). Ce point sera épidemmenf en équilibre; car, en Tertu de la complète vy^ métrie des actions qui le sollicitent^ il n'y a aucune raison pour qu'il se meuye dans un sens plutôt que dans un autre j' vers P plutôt que yers Q. Ceci est également Trai, soit que las forces AP, AQ, tirent toutes deux le point A, comme la figure 1'* l'indique par le sens des flèches appliquées aux directions des forces y ou le poussent I comme le ref»*ésente la figure 2.

Pour abréger les énoncés, nous désignerons désormais les forces AP, AQ, ou toute autre quelconque, par les lettres P, Q,*. • représentant les nombres qui expriment les rapports de ces forces à la force particulière prise pour unité (g).

1 2. La ifl^me raison de symétrie démontre également que l'équilibre aura lieu si les deux forces P et Q, supposées toujours égales et de directions contraires, sont appliquées simultanément aux deux extrémités d'une droite rigide et inextensible AB , fig. 3 et 4 > de manière que leur direction coïncide ayec celle de cette droite; éar il n'y a aucune raison pour que la droite AB, ainsi sollicitée , se meuTe vers P plutôt que vers Q.

Ce raisonnement ne s'appliquerait plus, si les deux forces, en conservant d'ailleurs tous leurs autres carae* tères d'opposition et d'égalité, n'étaient pas appliquées 8](iiYant la direction même de la droite rigide AB , mais obliquement à cette droite, comme le représentent le* figures 5 et 6; car alors l'effqrt de P sur A n'étant pas directement égal et contraire à celui de Q sur B , la con* dition <]|e symétrie permettrait à la droite AB d'obéir i l'action de l'une et l'autre force, en tournant autour dé ton centre G , qui seul resterait en repos»

i3. Il importe de remarquer qu'à la riguevr une pa-

reîlle droite, complètement rigide et inextensible, n'existe point dans la nature, quoique la conception mathématique en soit souTent utile pour simplifier et faciliter lesraisonnemens. Toutes les molécules de matière qui composent chaque corps naturel y sont seulement retenues dans un état de proximité plus ou moins intime, en vertu de forces physiques qui agissent entre elles, et « non pas dans un état immédiat de contiguité. Ainsi, en tirant ou poussant ces particules par de nouvelles forces ' suffisamment énergiques, on doit pouvoir généralement les séparer davantage ou les rapprocher. C'est, en efifet, ee qui a lieu ; car il n'y a aucun corps naturel oui ne soit compressible et extensible, même ceux qui, comme le fer et la pierre la plus dure, résistent le plus énergiquement à tout changement d'état. Mais, si l'expérience ne présente aucun corps où cette résistance soit com-^* plète^ la pensée peut en concevoir, sauf k introduire dans les applications réelles les modifications particu* lièresque nécessite cette abstraction. Ainsi, en Statique, on appelle corps solides, des systèmes de particules ma-* térielles de fornie quelconque, liées inyliris^leméni les vues aux autres : et, lorsqu'on a démontré les Joi^ abiX \' traites de l'équilibre pour un pareil système, il reste encore à y faire les modifications convenables, si l'on veut les appliquer à des corps physiques réels. C'est ce qui ^f^ souvent fort difficile à faire avec rigueur , et l'on n'y parvient d'ordinaire que par des approximations , de . l'exactitude desquelles il ^ut souvent se défier. Mms' les lois d'équilibre trouvées pour les corps rigoureusement solidô^, ^'en sont pas moins très utiles en élles'^ mêmes , parce qu'elles offirent la limite de celles qui doivent avoir lieu dans le cas des corps imparfaitement solides que la nature nous présente.

i4* A l'aide d'une conception pareille , on démontre

ft..

qu'une force appliquée à un point matériel peut étrt considérée comme appliquée à tout autre point quelconque pris sur sa direction j pourpu que ce point soit'liè au premier point d* (application par une droite rigide et inextensible.

En effet, soit, fig. 7, A ce premier point, et AP ou P la force donnée; ayant pris un autre point A' quelconque sur sa direction, joignez -le avec A, et considérez A A' comme une droite rigide et inextensible de longueur constante. Cela fait , appliquez à l'extrémité A' deux forces contraires + P, — " P , ^ales entre elles et à la force P , et agissant suivant la direction de AA^ Le point A de la droite rigide se trouvera encore sollicité de la même ma- • nière qu'auparavant ; car l'effet absolu des deux forces auxiliaires + Pj — P^ appliquées en A% est nul de luiinéme, puisque ces deux forces s'entrcilétruisent; et ainsi leur introduction dans le système ne change rien aux phénomènes réels de mouvement et d'équilibre. Mais, si Von considère séparément les forces -{-P appliquée au point A, et — P au point A^ la droite AA^ se trouvera en équilibre entre elles comme dans le § 12. On, peut danc supprimer ces deux forces; et il ne reste plus que la force + P appliquée au point A', laquelle n'est autre chose que la force primitive P transportée, et appliquée au point A' de sa direction.

Pour que l'introduction de la droite rigide ne change rien aux conditions du problème , il faut évidemment admettre qu'elle est une pure matière impénétrable, exempte de tout^e force propre, par exemple, qu'elle est tout-à-fait dépourvue de pesanteur; c'est ce qui devra toujours être convenu quand nous ferons usage de pa* reilles conceptions.

Tout le raisonnement qui précède serait encore vrai, si le point A, au lien d'être libre , faisait partie d'un

DE STATIQUE. 2t

qrstëme matériel quelconque. Ainsi , dans ce cas général, on peut encore changer à volonté les points d'application de toutes les forces, let les porter sur d'autres points quelconques de leurs directions respectiyeSy pourvu que ces nouveaux points soient liés aux pre-* mîers par autant de droites abstraites , rigides et inextensibles. Cette condition indispensable devra donc toujours être sous-entendue , quand bous supposerons un pareil transport *^ et ainsi nous pourrons nous dispenser de la répéter à chaque fois textuellement;

i5. Considérons maintenant un point matériel A , fig. 8, sollicité à la fois par deux forces P et Q, agissant dans un même sens. Si Ton représente ces forces par les droites AP, PQ, proportionnelles à leurs intensités respectives , conformément aux conventions du $9 ^ je dis que le point A se trouvera sollicité comme il le serait par une seule force AQ égale à la somme P+Q des deux précédentes, et agissant dans la même di-* rection.

En efiet, prolongez QA^ du côté opposé au point A5 puis, sur ce prolongement, appliques une force unique Q ou AQ^, opposée aux précédantes et égale à leur somme ,^x'est-à-dire à AQ ou P-f»Q : il est évident que le point A sCTa réduit à l'état d'équilibre j car la portion P Ae AQ détruira la portion correspondante de Q^ et le reste de .celle-ci sera détruit par la force Q. Ainsi le système des deux forces P et Q est équivalent k la seule force P«|-Q> qui agirait sur le même point qu'elles et suivant la joiéme direction.

16. Réciproquement, si le point A est sollicité à la fois par deux forces P et Q agissant en sens contraire, %• 9y >1 se trouve dans le même état que s'il était sollicité par une seule force P — Q agissant dans le ^ns de la plus grande P.

En effet 9 Goncevons la force P décomposée en deux autres P — Q et + Q; oelle-cî détruira la force ÂQ dirigée en sens contraire; et ainsi il ne restera que la force P -*- Q agissant dans le sens de la plus grande P.

17. liorsqu'une seule force se trouve ainsi éqnîralente à deux ou plusieurs autres agissant simultanéméat sur un inéme point matériel , on Taj^pelle leur résultante; et celles dont elle résulte sont appelées ses composantes.

A l'aide du même raisonnement , employé dans les deux paragraphes précédons , on peut prouver que, si lUi point matériel est sollicité par un nombre quel" conque de forées agissant suiuant la même direction et dans le mime sens , ces forces ont une résultante égale à leur somme; et^ si la direction seule desfbrces est commune j leurs sens d'action étant divers^ il y aura d'abord, deux résultantes partielles pour les forces qui agissent dans chaque sensj puis une seule résultante totale égale à la différence de celles-ci et agissant dans le sens de la plus grande somme,

18. Soient maintenant deux forces P et Q^ agissant encore sur un même point matériel j mais suivant des directions incliàées l'une à l'autre, fig. 10, Je dis qu'elles auront encore une résultante unique.

Car y si elles ne se font pas mutuellement équilibre , leur effort oommun ne pourra que pousser ou tirer le point A dans nncertai9 sens unique^ puisque ce point ne peut prendre qu'un seul chemin k la fois. Plaçons sur cette direction une force R équivalente à PeSRoi^t simultané des deux autres,, mais agissant en sens contraire, ce que nous exprimerons, pour abréger , en l'écrivant .*- R. On doit nécessairement admettre la possibilité d'une telle opération, puisque l'on conçoit des forces de

^ DE STATIQUE. aS^

toutes grandeurs y depuis zéro jusqu'à l'infini. Il est clair que le point A se trouvera ainsi arrêté et réduit à réquilibre. Cette force *— R, prise en sens contraire, ou derenant + R > sera donc la résultante des deux autres, dans le sens que nous avons attaché à cette expression § 17. Le cas oh les deux forces composantes se feraient équilibre d'elles-mêmes n'est pas une exception à ce raisonnement; il répond seulement à une lïésultante nulle en intensité.

19. La résultante R^ dont nous venons de prouver l'existence , doit en outre se trouver dirigée dans le plan PAQ mené par les deux composantes dont elle dérive; car chacune de celles^ ayant son action propre dirigée dans ce pian', il n'y a aucune raison pour que leur action simultanée soit dirigée hors du plan , plutôt au-dessus qu'au-dessous; d'o&il suit, qu'étant -unique > elle s'y trouvera comprise*

20. Si les deux forces composantes P et Q sont égales entre elles en intensité, fig. i^, la résultante R de* vra, par la raison de symétrie, partager l'angle qu'elles comprennent en deux parties égales; car il n'y a aucun motif pour qu'elle s'approche de l'une plutôt que de Pautre composante.

ai. Maintenant, sans changer les direetions de P et de Q, concevez qne ces forces deviennent inégales, fig. 12 , et soit, par exemple, Q plus grande que P. Alors vous pouvez, par la pensée, décomposer Qen deux parties P et Q — P; la première, étant égale àP, se composera avec elfe suivant une résultante AR ou R, qui divisera l'angle PAQ en deux parties ^l<es; de sorte qu'il ne restera plus à composer que R avec Q — P. Opérant de même sur celle-ci, on en tirera une nouvelle résultai^te R', et une nouvelle composante (Q — P) — - R, ou R — (Q — P), selon que l'une de ces deux quan-

!î4 NOTIONS ÉLEMENTAmES

tités surpassera l'autre ; mais, dans tous les cas, la non' telle résultante R^ divisera en deux parties égales l'angle RAQ, et par conséquent elle se rapprochera davantage de la nouvelle composante. En poursuivant ce raisonnement, on parviendra, de plus enplus^ à réduire par bissection l'angle compris entre lès compoposantes successives que l'on devra combiner ensemble; de sorte que les efforts de celles-ci approcheront de plus en plus de s'exercer suivant une même direction ; et par CQn,séquent , la résultante totale différera de moins en moins de leur somme. Qr, comme toutes ces bis' sections se trouvent toujours comprises dans l'angle PAQ, il s'ensuit que la résultante définitive , de laquelle on approcbe ainsi sans cesse, devra aussi être comprise dans cet angle et tomber entre les directions AP, AQ.

22. Telles sont les propositions élémentaires sur la composition des forces, dont on découvre, pour ainsi dire, la vérité à priori. On ne peut aller plus loin sans des démonstrations spéciales , que nous allons ex* poser suivant leur ordre ^e déduction le plus facile. Ces démonstrations se rapportent aux trois cas suivans , qui embrassent toute la statiquç des corps solides.

1®. Deux forces parallèles appliquées aux extrémités df une droite rigide j et agissant dans le jnême sens»

2,°, Deux forces parallèles appliquées aux -extrémités (fune droite rigide^ et agissant en sens contraire. - 3v^. Deux forces non parallèles appliquées simultanément suivant des directions quelconques j à un même point matériel

L'examen dé ces trois questions fondamentales sera Vpbjet des chapitres suivans.

DE STATIQUE. a5

aiAPITRE IV,

Composition de deux forces parallèles appliquées aux. extrémités d^une droite rigide et agiésant dans le mém^ sens»

TIlioRÈlIE I.

23. Lorsque deux forces P et Q^ ayant des intensités quelconques j agissent suitHint des directions parallèles^ et de même sensj aux deux extrémités d'une droite rirgide AB^ fig. i3, ces deux forces ont une résultante qui leur est parallèle ^ égals à leur somme ^ et dont le point d^application Cj, situé entre A et Bj diifise la 'droite AB en parties réciproques aux intensités des forces Tf et Q.

Pour proaTQT les deux premières parties de la proposition ^ appliques aux points A et B deux nou'velles forces M et ïïy dont les intensités absolues soient aussi quelconques., mais ^ales entre elles, de sens contraire, et dirigées suiyant AB; de sorte qu'elles tendent à écarter Pun de l'autre les points A et B. VeSet propre de ces deux' forces sur lai droite AB sera ni^l, puis* qu'elles se font mutuellement équilibre], en yertu de sa rigidité $ 12; par conséquent, l'état de cette droite ne sera pas cbangé; et ainsi l'on pourra, au lieu des deux forces primitives P et Q, considérer le système des quatre forces P, M, Q, N, comme agissant simultanément sur elle. Or, les deux forces M et P étant concourantes et appliquées au même point

A , ont une résultante qui est aussi appliquée en A et dirigée dans l'angle MAP, § 18, 21. De même, les deul. forces concourantes N et Q ont une résultante qui est aussi appliquée en B et dirigée dans l'angle NBQ. Quoique nous ne sachions pas encore former ces résultantes partielles, nous avons prouvé qu'elles existent. Désignons leurs intensités par S, T, et leurs directions par SA , TB ; il est facile de voir que ces directions prolongées iront se couper inutnellement en un certain point D si tué au^elà de AB, car elles sont comprises dans un même plan^ qui est celui des deux forces et de la drpîte AB; et en outre , d'après le sens que nous avons donné à M et à N , les angles SAB^ TBA, pris ensemble, font une somme plus grande que deux angles droits.

Gela posé, considérons les deux forces partielles S, T, comme appliquées en D à leur point commun d'intersection, ce qui est permis, pourvu que nous unissions ce point avec A et B, par des droites rigides § i^.' Alors elles auront une résultante commune ^ui devra être aussi celle des deux forces P et Q-, à cause de Téquivalence des deux systèmes. Or , cette résultante devant être appliquée en D et comprise dans l'angle ADB , il est visible qu'elle ira couper la droite AB en un certain point qui sera compris entre A et B , et auquel on pourra la supposer appliquée.

Maintenant ^ pour trouver la direction de cette résultante, et son intensité 9 menez par le point *D une droite DG parallèle aux forces données P et Q , et une autre droite M'DN', parallèle à AB : puis, défaisant en D ce que tous aviez fait en A et B^ résolvez chacune des résultantes partielles S et T dans ses deux composantes primitives M et P, Q et N , ce qui sera certainement possible, puisque toutes les circonstances

de direction et d'angles ^ relatives à ces forces, sont les mêmes en D qu'elles étaient en À et B. Alors vous aurez^ sur la direction MDN^^ les deux forces égales et contraires M, N, qui se détruiront encore; et il restera sur la direction DC les deux forces primitives P, Q^ qui, étant de même sens, s'ajouteront l'une à l'autre; leur somme P + Q^ ou R^ sera donc la ré^ suUante des deux forces primitivement proposées j et de plusj elle leur sera parallèle*