Rieste maintenant à découvrir son point d'application G
Cela est. facile quand les deux forces Pet Q sont égales entre elles ^ fig. i/{. En efiSst, pour ce cas, prenez les forces M et N égales aux forces P et Q elles*méraes : cela est permis , puisque ces forces auxiliaires se détruisant toujours l'une par l'autre, le choix particulier de leur intensité ne cbange rien à la démonstration» Mais alors, les deux composantes M et P se trouvant égales entre elles ^ leur résultante S diviisera l'angle de leurs directions MAP en deux parties ^ales MAS, SAP; et comme la résultante générale DR est parallèle à AP, l'angle ADR ou ADG sera aussi égal à SAP, de sorte que le triangle DCA sera isoscële , et donnera DC égal à CA. Par une cause toute pareille, le triangle DCB sera aussi isoscële et donnera DC égal à CB; conséquemment CB et CA seront égaux ; et ainsi le point C ou s'appligue là résultante des deux forces , sera situé au milieu de la droite A6.
!^5. Concevez maintenant qu'au lieu de deux forces ^ales P et Q appliqtiées aux deux extrémités de la droite AB , il y en ait un nombre quelconque , P', Q'; P*, Q^ ; etc., fig*. i5^ pareillement égales entre elles, et appliquées par paires à des distances égales du milieu C de cette ligne aux points A', B^; A'VB'^; etc. Chaque paire de ces forces
28 NOTIOTÏS ÉLÉMENTAIRES
pourra être composée comme tout h l'heure en une ré** sultante parallèle, égale à leur somme, et appliquée au même point G; et la somme de ces résultantes, ^ale à la somme totale des forces, sera leur résultante totale qui passera aussi par le m^e point.
26. Réciproquement, toute force R appliquée au mi« iieu G d-une droite rigide AB , fig. i4> pourra être décom- .posée eç deux forces P et Q, appliquées aux extrémités de cette même droite, parallèles entre elles et à R, et respectivement égales à ^ R. Gar, si Ton prolonge la direction de R d'une quantité GD égale à G A ou à GB, on pourra, sans changer l'effet de cette force sur la droite , la supposer appliquée en D , et en outre lui adjoindre en D deux forces opposées M'N', toutes deux égales à 4 R et parallèles à la droite AR. Alors, si l'on décompose par la pensée R en deux parties égales ^ la force M' ou j R et l'une de ces moitiés se composeront en une résultante S qui passera par le point A à cause de l'^alité de ces composantes; et l'autre moitié composée avec N' donnera une autre résultante partielle T qui , en vertu d'une raison semblable^ passera par le point D. Maintenant si l'on résout de nouveau les forces S et T en A et B dans leurs composantes primitives, on retrouvera d'alxM'd les deux forces M , N ou ^ R , égales entre elles, opposées l'une à l'autre et agissant suivant AB ; plus les deux autres composantes P , Q, ou | R, parallèles a R. Les premières s'entre-détruîront évidemment , ainsi il ne restera que les deux dernières, qui, appliquées en A et B, équivaudront à la force unique R appliquée au milieu de AB. Le même raisonnement généralisé permettrait de résoudre la force unique R appliquée au milieu de AB, en un nombre quelconque n de forces parallèles, égales
R entre elles et à — ; ayant leurs points d'application dis-
Iribués par paires sur AB , à distances ^ales du milieu G.
27. Revenant de là au cas général de la fig. i3, où les forces parallèles P, Q, qui sollicitent les extrémités de la droite AB,sont inégales et quelconques, mais agissent toujours dans le même sens, on en peut dé^ duire la position du point d'application C de leur résultante : pour cela y nous commencerons par supposer les deux forces t^ et Q commensurables entre elles , nous les prendrons ensuite , quelconques.
Si les forces P et Q sont commensurables ; elles seront entre elles comme deux nombres entiers met n , de sorte que l'on aura
d'où Ton tire — s= -^,
c'est-à-dire que la zm* partie.de P est égale à la 2n' -partie de Q.
Cela posé , divisons la droite d'application AE,fig. 16 , en deux parties AH^HBqui soient directement proportionnelles aux forces P et Q; on aura ainsi
AH P m HB ~Q ~ li'
conséquemment
i&AH 2HB 2m 2» '
c'est-à dire que la nm* partie de 2 AH est ^ale à la ^n' partie de 2HB. Pour construire 2AH et 2HB , nous prolongerons la droite AB à ses deux extrémités de quan- ^ tités AG, BKy respectivement égales aux parties AH f HB : alors on aura
3o NOTIONS ÉLÉMENTAIRES
