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on aura donc aussi -777 = tt »

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DE STATIQUE. 3i

le'est à'tlire que le pointai* application C^ de la résultante totale des forces parallèles P^ Q^ divise la droite AB en parties réciproquement proportionnelles à ces forces» La dernière partie du théorème se trouve ainsi démontrée, mais seulement pour le cas où les forces P et Q sont commmensurables. Toutefois il est facile d'étendre la démonstration à la supposition d'un rapport quelconque entre elles. •

28. Pour cela , il faut remarquer que, si deux forces P et Q d'intensités quelconques, mais parallèles , et agissant dans le même sens aux deux extrémités d'uneméme droite AB, fig. l'j, ont leur résultante appliquée enC sur cette droite, que l'on augmente l'une d'elles Q, par exemple, d'une quantité quelconque positive d, la résultante nouvelle se rapprochera du point B où Q est appliquée ; et au contraire lorsque l'on diminuera Q , elle s'éloignera de ce point.

En effet , lorsque Q se change en Q -f- ^^ on peut d'ahord composer P avec la portion Q de Q + û?, ce qui donne la résultante P -f- Q ou H appliquée au point C par hypothèse ; et il reste encore à composer cette résultante R avec la forcée)^ appliquée en B , ce. qui porte le point d'application de la résultante totale entre C et B.

Si au contraire Q devient Q ^ û?, il faut que la résultante nouyelle s'éloigne de Q et passe entre C et A ; car, si elle tombait entre G etB, par exemple, en C^,on n'aurait qu'à augmenter Q — t/ de d, et il faudrait, par ce qui précède, que la nouvelle résultante P + Q — d+d ou P + Q tombât entre (7 et B; mais au contraire elle doit tomber au point C par hypothèse, ce qui rend la suppsition impossible.

2g. Maintenant donnons à P et Q des intensités qudconques, toujours avec la condition d'être parallèles et d'agir dans le même sens. Alors , sur la droite d'appli''

cation AB, lig. i8| prenez HP point G qui divisÈ la droite en parties réciproquement proportionnelles à ces forces I de sorte que l'on ait

P BC Q~AC'

je dis que la résultante des deux forces P et Q passera par ce point , con^me dans le cas où elles seraient cornmensurables ; car, s'il en est autrement, il faudra que cette résultante ait son point d'application entre G et A , ou entre G et B^ puisqu'il doit être sur la droite AB (28); or ces deux suppositions sont impossibles.

En e£Pet , supposons-le d*abord entre G et A , par exemple, en G^ Alors divisez AB en un nombre quelconque de parties égales, toutes moindres que GG'; il tombera au moins un point de division dans cet interralle. Soit I ce point; les longueurs^ AI, BI étant commensurables, on pourra le considérer comme le point d^application de la résultante de deux forces parallèles et agissant >dans le même senâ , dont l'une serait la force P elle-même et l'autre une forûe Q^ appliquée en B , telle que l'on eût

P=BÎ' ^^ ^=^'W mais, d'après la condition qui détermine le point G, on à

! = #' d'oi» Q=f-^-

De là résulte Q plus grand que Q' ; car, dans la frac-

AC

tion -^ , le numérateur AG surpasse AI et le dénominateur BG est moindre que BI. Mais Q étant plus grand que Q' , la résultante des deux forces P et Q doit avoir son point d'application plus près de B que le point I;

or, elle l'aurait au contraire plus loin s'il était en C^: donc cette dernière supposition est impossible.

On démontrera de la même manière que la résultante des deux forces P et Q ne peut pas avoir son point d'application entre C et B ; seulement , dans cette supposition , la force Q se trouverait moindre que la force commensurable Q' à laquelle on la compare.

La résultante des deu^ forces parallèles et de même sens P et Q ne pouvant tomber ni à droite du point C, ni à gauche , et devant pourtant tomber entre A et B , il faut nécessairement qu'elle passe par le point O, même , déterminé par la condition