COS V. 7W
dx u ou, en remplaçant v par x"*, u par sin sf^ (1),
dy loge ^ log<? ,
(fa sm af tang af*
et
tanga:*^
8e. — On />^/ avoir aussi à examiner des expressions, dans lesquelles y Qix sont fonctions d!une même variable v^ comme
En faisant varier v de At;, les fonctions varieront, l'une, ar, de Aa: et l'autre, y, de Ay.
On peut, du reste, écrire l'identité
Ay Ay Aa:
Aar At? ' Av'
qui subsiste encore à la limite, et qui devient
dy dy dx dx dv' dv
Elle indique que la dérivée de y par rapport à x est égale à la dérivée de y par rapport à v, divisée par la dérivée de x par rapport dv.
Exemple. — Soient
y=z\ogv et x=v^.
On aura (18-19)
dy loge loge
dx twit;"^* mv^
Exprimée en fonction de a:, cette dérivée serait
dy l6g e
dx mx ' el
dy = — ^ dx.
mx
d7. — DéxdTées et dlfférentieUes des fonotioiui exponentieUes.
1** — Soii la fofiction exponentielle
Prenant les logarithmes des deux membres, on a
log y = x log a.
Mais les différentielles, ou accroissements simultanés infiniment petits de deux fonctions constamment égales, sont encore égales (9). On a donc en prenant les différentielles (19-83),
\oge , , —2— dy = log a dx ;
rfy logg logfl^^^ dx loge loge
dy=^T-^(i^dx.
^ loge
On voit que pour prendre la dérivée de a«, il suffit de multiplier ce//e quantité par le facteur constant .
Remarque. — Lorsque les logarithmes sont pris dans le système
fiépérien,
log'e = l
et
J^=a«log'fl.
ttX
Si, de plus, la constante est égale à la base e du système népérien, et que l'on ail
d'où l'on déduit
et
on trouvera
dx loge
Cest-à-dire que la dérivée est égale, dans ce cas, à la fonction elle-même.
2* — Supposons en second lieu que l'exposant variable soii négatifs et prenons
On peut ramener cette exponentielle à la précédente, en posant u=— x, ou opérer directement sur cette fonction, comme il a été fait ci-dessus. On obtient ainsi successivement :
logy = — ^logrt,
loge
dy = — log a dx ,
dy log a
dx log e
dy= — T^or^dx.
loge
Si a=e, il en résulte et il viendra
dx
