I>éri'vé68 et durérentielles des fonctions droulaires
— La dérivée de ^ = sin Xj une des trois fonctions fondamentales, a été trouvée (OO); elle est y'^cosa?. Cherchons actuellement celles des autres fonctions circulaires.
!• — Et â! abord, soit
y==:COsa:. (1)
Une marche analogue à celle suivie (dO), conduirait & la dérivée de cette fonction ; mais on peut l'obtenir plus facilement, en remarquant que
cosx=sin(90* — x),
M CALCUL DIFFÉRBNTIBL
et en posant
la fonction proposée se trouve transformée, de cette manière, en
y=sinu, laquelle donne
dy
-^ =z= cos u = cos (90* — a:) = sm a: .
du
La relation (2) fournit
(/tt = — dx^
ety par suite ,
du — dx Donc,
dy
-^ = — sin j:,
dx
et
rfy = — sin X dx.
2* — Soit maintenant
y = tangx,
ce qui revient à
sin a;
cosx La règle de différentiation d*on quotient (84) donne, dy cos X cos x — (sin ar X — sin x) cos'a: + sîn'a:
»•■— 55S ^■■■^■^••'•^^■'■^''■^•»~*^"^» ^*^W*^«^P^»^BP»»<WW**» ^;3|«W-a*«W«WP«*W<«m^^ •
flfx cos 'a: cos 'a;
or, on Mit qne
sin'a: + co»*a: w» 1 , (1)
par conséquent,
dy l
dx cos'x '
et
dx
dy= ;-.
cos'x
3** — Soit enfin,
y = cot X.
On a ici
COBX
ce qui donne (84)
dy 8ina:X( — sino?) — cosxcosx — sin'a: — cos'o: dx sin'x sin'â?
et, en vertu de la relation trigonométrique connue (1),
dy^ 1
dx sin ^x ' et
sin 'x
— Les dérivées des sécantes et des cosécantes se trouveraient aisément, par l'emploi de procédés analogues ; elles sont : pour
y — sec a:,
smx
^ cos'x'
et pour
y = cosec x
, Gosar
89. — I>érivée8 et différentiellas des fonctions circiilalres
inverses.
1® — Soit la fonction
y = arc (sin x) .
Elle peut s'écrire (8)
x=siny,
et donne (80)
d'où,
dx =cosy;
dy i
dx cos y Mais la relation trigon. (88.2^.1) conduit à
30 CALCUL DIFFERENTIEL
cos a = ^1 — sin "a ;
donc,
et
dy 1 h__
dx ^i — sin 'y ^1 — X*
dx
dtj =
2* — Si ton a
ce qui revient à il viendra (88),
y == arc (cos x) ,
X = cos y ,
rfx
OU
rfy__ J.
dx sin y v/l — cos*y Vl^a:*'
et par suite
dx dy = == .
3« — Soit encore
y = arc (lang x) , ou
a: = tangy,
qui fournit (88.2'')
dx 1
dy cos 'y Or, la trigonométrie donne
cos 'y =
donc,
et
l + tang*y,
dy i i
dx l + tang"y l-H^*'
4* — Soit en dernier lieu la fonction circulaire inverse
y = arc (col x) , a:==coty.
dx 1
qui n'est autre que Elle donne (88.3')
et comme {Trigon)
dy sin' y
sm 'y = — - .
•^ l + cot*y'
il viendra
dy 1 1
dx 1 + col* y 1 -|- a;' '
dx
30. — Ija dlffèrentlalle d'une fonction de plosièttre variables, est égale à la sonune des différentielles iMtrtielles, prises par rapport aux variables indépendantes. — Supposons que l'on ait la fonction
dans laquelle les variables x et y sont indépendantes. En faisant varier x de sa différentielle dx^ y étant supposé constant j la fonction u éprouvera une variation correspondante, qai est appelée différentielle partielle de cette fonction prise par rapport à x, et qui esi égale au produit de la dérivée partielle de la fonction prise par rapport à Xj par dx.
Cette dérivée se représente par Tune ou l'autre des notations
df f'g {x,y) ou — y qu*il faut bien se garder de prendre pour un quotient.
Il s'ensuit que l'accroissement infiniment petit qu'a pris la fonction, en faisant croître x de sa différentielle dx, pourra s'écrire
df f'%{^,y)dxj on j-dx.
Pareillement, x étant supposé constant y si y croit de sa différentielle dy^ la fonction croîtra d'une quantité infiniment petite »
appelée diffireniielle partielle de la fonction prise par rapport à y, et qui sera
f'yi^^î/ydy, ou ^rfy.
Lorsque les accroissements iafiaimenl petits dx et di/ auront lieu en même temps, la fonction ts croîtra d*une quantité du^ infiniment petite, appelée différentielle totale de cette fonction^ et qui sera
du = f{x+ dx,y-+- dy) — f {x, y) \ (2)
ajoutant et retranchant à la fois au second membre, la quantité
f\x,y + dy), on aura
du = f(x + dx,y-\-dy) — f{x,y-{'dy) + f{x,y-\'dy) — f(x,y).
Or, on remarque que
f{x+dx,y-\rdy)—/{x,y+dy)
est, précisément, la différentielle partielle prise par rapport à .r, de la fonction / (^, y + rfy), ou de la fonction f{x,y); le terme rfy, un infiniment petit, élant négligeable à côlé de y. Ces deux premiers termes du second membre peuvent donc s'écrire
df r» (^y y) dXy ou T* ^-^ •
Les deux derniers termes fi^^y + dy) — f(^^y) expriment d« leur c6ié,\a, différentielle partielle de la fonction f{Xjy) prise par rapport à y, différentielle qui peut être représentée ainsi :
df
A(^,y)rfy, ou —dy.
Par suite, on aura bien
du = fx [Xj y) dx + A {^y y) ^y j ou
du=^dx + ^dy^ (3)
dx dy
ce qui démontre le principe énoncé, pour deux variables. Il serait
facile par une marche analogue, de Télendrc à (rois ou à an pius
grand nombre de variables.
Exemple. — Soil donnée la fonction explicite do variables mcfe'-
pendanteSj
u=j/^ — 5 xy + 3 r'.
La dérivée partielle de la fonction u par rapport à x, sera, en
supposant y constant ,
w'x = — 5y + 6j:, et la différentielle^
u'xdx = (G r — 5 y] dx.
La dérivée partielle de la même fonction par rapport à y, x étant supposé constant^ sera
et la différentielle y
u'gdy = {2y — ^x)dîj.
De sorte que la différentielle totale de la fonction sera
du = (6./: — 5y) c/x-f- (2y — ^x)dy .
31. — Ija dérivée d'une fonction composée est égale à la somme de ses dérivées partielles par rapport aux variables, considérées successivement comme fonctions de la variable
iiàdépendante. — Soit la fonction composée
D'après la nature de cette fonction, les deux variables u et v, au lieu d'être considérées comme indépetidantes, sont elles-mêmes fonctions d'une même variable x, et Ton a
u = ff (x) et V =:^ {x) .
Appliquant le raisonnement du numéro qui précède, on conçoit que si x augmente de sa différentielle dx, les variables n, v et la fonction y augmenteront de leurs différentielles respectives du, dv, dy, et Ton obtiendra
dy = f{U'hdu, v + dv) — /"(m, v).
Ajoutons et retranchons à la fois au second membre la quantité
f{u + du,v), il viendra
dy=f[u-^du, u+rfw) ^f{U'^du, v)-+f{u+du, v) — f{u, v) ;
or, on sait que
f{u + du, v) — f (w, v) = f'u{Uy v) du ,
différentielle partielle de la fonction par rapport au; de même
f{u-\-dUf v-\-dv) — f{u-\-dUyV)=f\(u+du,v)dv = f\(u,v)dVj
différentielle partielle de la fonction proposée par rapport à v ; car
on peut négliger Tinfinimcnt petit du^ à côté de u. On aura par
conséquent,
dy =/'t (w, v) dv+f'u {u, v) du ,
et
OU, v' et u' désignant les dérivées de t; et de u par rapport à x,
^=^f\{u,v)v'+f\{u,v)u'; ce qui revient à
dx dv du ^
et ce qui vérifie Ténoncé. En d'autres termes, pour prendre la dérivée d'une fonction composée cfe x, il faut faire la somme de ses dérivées partielles par rapport du et à y^ obtenues en regardant successivement uet y comme des fonctions de x.
On démontrerait de la même manière, que ce principe s'applique à un nombre quelconque de variables.
Exemple. — Soit donné
y = 9ti' — 3sint;, en même temps que
u =^ log X et t) = x'.
On aura successivement, en vertu de ce qui précède (l8-19-dO-
-^=l8w-^ — 3cosv.3a:', dx X
et
-7^= 18 loga: -^^ — 3 cos ar'. 3 a:", dx X
dy = ii^ \of^x~ 9 j:' cos a;M rfjc .
S. — D&RIVS£3 ET DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS IMPUGITES.
38. — Xja dérivée d'une fonction implioite de x exprimée pax f(Xf y) = 0, s'obtient en divisant la dérivée partielle du premier membre x>ar rapport à x^ j^sx la dérivée partielle par rapport à y et en changeant le signe du résultat. — Etant donnée la fonction
nous avons vu (2) que y était une fonction implicite de la variable X. En faisant varier x de dx^ y variera de dy^ et l'on aura encore
/(a: + rfr,y + rfy) = 0; (2)
en retranchant la fonction (1) de (2), il viendra
f(x + dx,y+dy)—f{x,y) = (i.
Or, le premier membre de cette dernière expression n'est autre (30.2) que la différentielle totale de la fonction proposée, et Ton voit qu'elle est nulle. On peut donc écrire (30)
fz{x,y)dx + f\[x,y)dy={S, et dérivée
-, , ^dx ^, , , rfy
ou
àf df ,
ce qui donne enfin
y=.-Ù^ et rfy = Ûi^U. (4)
Remarques I. — Lorsque la fonction implicite se présente sous la forme
on en déduit
et l'application de la règle précédente donne
y'=ê==F(| °" F'(y)dt,=f'{x)dx.
IL — Si la fonction implicite peut être transformée en une fonction explicite y en résolvant Téqualion par rapport à y, le cas est ramené à la recherche de la différentielle d'une fonction, d'une ou de plusieurs variables.
Exemple. — Soit Téquation
y" -+- 5 ary — ax^ = • L'application de la formule trouvée (4) donne (18-8S)
5y — 3ax* Sax* — 5y
^ ^ 2y + 5a: "^ 2yH-5j: '
et par conséquent,
, 3ax* — 5 y , dy= —^ dx .
