D£RI¥££8 ET DIFFÊRENTIBUEft DIS FONCTIONS EXPUCITES
Après avoir trouvé les dérivées et les différentielles des trois foaelioiift fondaniAntalei^ il deviendra facile de différentier les fonctions explicites ; nous allons démontrer, au préalable, la proposi-* tion suivante.
81. — Ija dérlT-ée et la différentielle d'une constante sont milles. — Les deux fonctions
y = /(a?) et y = f{x) + G,
ne différant que par une constante G, il suffit d'établir que leurs dérivées sont égales.
La première donne
y + ^y = f[x + ùix)\ la seconde.
En établissant les différences respectives conformément à la règle connue (16), la constante G prise avec des signes contraires dans la seconde, disparaîtra nécessairement, et Ton aura pour les deux fondions, la même différence
gui donne
Ay /(a?+Ax) — /(a?) Ax Ao:
à la limite, la dérivée commune sera
ao;
et la différeyitielle commune,
dy = f'(x) dx.
Remarque. — La dérivée de la variable indépendante est toujours égale à t unité ^ car cette dérivée est
dx dx
Les dérivées ultérieures sont nulles.
dd. — Xja dériT-ée et la différentielle de la somme ou de la différence de deux fonotions^ sont reepootl-vement égales 4 la somme ou à la différence des dérivées , et des difléren* tielles de ces fonctions. — Etant donnée la fonction
dans laquelle z/ et t? représentent deux fonctions de x, par exemple
w = a:»* et v = log" X ,
dont les différentielles sont (18-19)
log e , du = mx^'-^ dx et dv =—^— dx; (2)
si Ton change x en x -\- àx, u se changera en u -\- au, v, en t; + A t; et y deviendra y + A y ; de sorte que la fonction (1) se transformera elle-même en
y + Ay = («^ + A î/) dt (t; + A tJ). (3)
En retranchant la fonction (1) de cette dernière (3), on trouve
Ay= A ti ± Ar,
et à la limite,
dy = du ± dv.
On aura pour Texemple choisi (18-19), différentielle
dy = ma:**-* dx ± — ^ dx^
et dérivée
dx X
— Il serait facile d'étendre ce principe à la somme algébrique d'un nombre quelconque de fonctions.
83. — Xja dérivée du produit de plusieurs fonctions, est égale À la somme des produits obtenus en multipliant la dérivée de cliaque fonction, par le produit de toutes les autres.
1® — Considérom d abord un produit composé de deux variables
y = uv, (1)
et tel, que ces variables t^ et t? soient des fonctions de x ; supposons
u=»mx et v = x!^.
Faisons croître x de A a: ; les variables u, v ei y prendront les accroissements correspondants Au, Av et A y, de sorte que la relation donnée (1) deviendra
y + Ay=(wH-Aw) (v-|-Av)=Mt;+î;Ai< + wAv + AwAv, (2)
et, en retranchant membre à membre (1) do (2),
Ay = vAtt H- w At? H-AwAt? ,
ou, en divisant par Aâr,
Hy Lu At; Ati Ao: Aa: A^ Ax '
et à la limite,
dy du dv du
dx dx dx dx '
Mais le dernier terme, contenant un infiniment petit dv comme facteur, est négligeable (il) ; on aura donc, u' et v' désignant les dérivées respectives de u et de v^ par rapport à x,
dy dérivée — = i/' = rw' + uv' ,
dx
et différeyitielle dy = vu'dx + uvdx.
Ce qui démontre le principe énoncé, pour le produit de deux fonctions.
Exemple. — L'application de cette règle aux fonctions proposées donnerait (l8-dO) :
dy
-^ = ic** cos a? + sin x, maf^^j dx
et
dy :=^a^ cos w dx + sin x. mofl^^ dx.
2" — Si Fon a un produit de plus de deux variables
y = rsv, (1)
et que chaque variable soit une fonction de x,
r = xf^^ 5=loga?, t; = sinaî, (2)
en faisant rs = u, la fonction (1) reviendra à la fonction des deux variables que nous venons d'examiner, et pour laquelle nous avons obtenu (l^'.S), en négb'geant le dernier terme infiniment petit,
dy du dv ax dx ax
Si donc on remplace dans celle-ci u par rs et du par son égal
d {rs) = sdr + rds ,
on aura
dy t? , , ^ dv
— = 7" {sdr + rds) + rs—, dx dx dx
ou
dy df ds dv
dx dx dx dx^
et r\ s\ v' étant les dérivées respectives de r, $j v par rapport à x, il viendra (18-19-80),
dérivée -~=y' = «;f' -f-rt?s' + r5t;', (3)
dX
et différentielle dy == svr^dx + rvs'dx H- f «v'cte ;
ce qu'il fallait démontrer.
— D serait facile, par une marche analogue, d'étendre ce principe à un nombre quelconque de fonctions.
Exemple. — On aurait ainsi pour les trois fonctions ci-dessus (2) de X, donnant
^=^logâ;sinâ? :
^3/ / 1 . 4 . log« ,
— = y'=]ogjîsm aj.ma;**~*+a!f sm a: — ^-H-a?"*Iog x cosx,
uX X
et
dy = logx sinx. mx^-^dx -^ af^ Bin X "^ dx -^ x^log X eoB X dx.
Remarque. — Quand Pun deg fœteurs est constant, il entre comme coefficient dans la dérivée et dans la différentielle ; car, si dans la relation (1) on remplace Tune des variables r par une constante a, de manière que Ton ait
y=asv,
le premier terme du second membre de la relation (3) deviendra égal
à zéro, puisque la dérivée d'une constante est nulle (81) ; on aura
par conséquent,
dy
-j^ = y' = avs' + asv' = a(vs' + «>'),
ax
et
dy = a{vs' + sv') dx.
Exemple. — Pour y = %a^ sin jr ,
y ' = 8 (maf»-"* sin a: + a:"* cos x) , et rfy = 8 {maf^"^ sin ar + a:"* cos x) dx.
84, -^ Xja dériTé# d'un quotient ou d'une fteotlon, est égale au produit du dénominateur par la dérivée du numérateur, moins le produit du numérateur par la dérivée du dénominateur, le tout divieé par le oarré du dén<miinateur. — Etant donnée la fonction
dans laquelle ti et t? sont des fonctions de x, qui ont pour dérivées u' et v\ et telles que Ton ait par exemple,
ti = loga? et t; = sinx, on déduit de (1),
et en vertu de la règle (03.1*),
d*où,
Remplaçant y par sa valeur (1) il viendra :
dérivée
u , dy V vti' — ttf>' (2)
dx V V
et di/féreniielle
du dv
vu' — uv' , dx dx , vdu — udv (3)
dy = -— -eto= z dx= .
— On serait arrivé au même résultat par la considération des différentielles logarithmiques, ou en transformant le quotient en un produit égal, uv^^.
Exemple. — En appliquant cette règle à l'exemple ci-dessus, on a (19-90)
loga;
sinaî qui donne
\oge sinaj— ^ logx cosa;
sm' a?
et
sin ap —2 log a: coso?
rfy = TT «te •
Reicabque. — Quand le dénominateur est constant dv est nul (ldl),etrona(2.3)
■ du du
et rfy=— ;
si c'est au contraire le numérateur qui est constant^ du est nul et
Ton aura
tifift) , udv y'=— - et rfy = -;
résultats qu'il était facile de prévoir (83. Remar.).
BB. -*- Xa dérlTétt d*iin« fbnotloii do fonotions par rapport À la varlabla indép«iidaata, est égale au produit des dérlTèes des fonctions intermédiairoa, prises par rapport aux Tariablés correspondantes. — On a vu (5) qu'une fonction de fonction est celle qui n'est pas exprimée directement, à l'aide de la variable indépendante.
V — Si Fon a
y=f{v) et v=f{x\
en faisant varier x de Ax, v deviendra Av et y, Ay ; d'ailleurs on peut écrire Videntité
Ay Ay Av
Aa: Av Ax' qui devient en passant à là limite,
dy dy dv
dx dv dx*
Ce qui montre que la dérivée de y par rapport à x, est <fya/« à ]a dérivée de y par rapport à t?, multipliée par la dérivée de t? par rapport & x.
— Pour obtenir la différentielle^ on sait qu'il suffit de multiplier par dx les deuic membres de Fégalité ; il viendra
dy dv dy= -^ — dx.
dv dx
Exemple. — Ayant
y=logv et t; = sina:, ce qui revient h
y = log sin X ,
la dérivée de y par rapport à la variable indépei^idante x, sera (19-80)
dy loge loge ,
-r-=— ^— cosa:= -7^— cos X = log e cota;,
dx V sm 2:
et la différentielle j
dy = log e cot x dx .
2** — La variable indépendante peut être liée à la fonction principale par un plus grand nombre de fonctions, et Ton peut avoir
y=logti, u = sinv^ v=saf^y (i)
égalités qui donnent lieu aux suivantes :
u = sin ar"* et y = log sin x^ ; (2)
ce qui revient à chercher la dérivée du logarithme du sinus de x!^. On peut encore poser ici Fidentité
Ay Ay Afi At7
Aa: Au Av Ax' qui devient à la limite,
dy dy du dv
dx du dv dx*
C'est-à-dire que la dérivée de y par rapport à x s'obtient comme ci-dessus, en faisant le produit des dérivées des fonctions intermé* diaires.
La différentielle de la fonction se trouve toujours, en multipliant la dérivée parla différentielle de la variable.
Exemple. — Les fonctions (1) donneraient donc (l8-l9-dO)
dy log>
