EXPLICITES
38. — Notations des dérivées et des différentielles suoces* sives des fonctions d'une variable. — Les dérivées et les différentielles que nous avons considérées jusqu'ici, proviennent directement des fonctions primitives, et donnent lieu généralement à de nouvelles fonctions de la variable, dont on peut prendre encore la dérivée. On obtient par cette difiérentiation, la dérivée seconde de la fonction proposée f{x), que Ton représente indistinctement par /"(x), ou par y".
Pareillement, la dérivée de la dérivée seconde donnerait la dérivée iroisième, f" [x) ou y'^, et ainsi de suite..., la dérivée de tordre n donnant f^{x) ou yf").
Nous avons d'ailleurs représenté la dérivée du premier ordre par la
dtf notation — , que Ton désigne plus spécialement sous le nom de ux
coefficient différentiel . En employant cette notation, l'analogie con-
dy .
duirait à représenter la dérivée seconde par — ; or, si Ton remarque que, durant le cours d'une même question, Taccroissement infiniment petit dx attribué à la variable, est toujours considéré comme constant^ on aura, en remplaçant dans l'expression ci-dessus,
dy
ou plus simplement, Sous cette dernière forme, la dérivée seconde est appelée plus
particuliërement, coefficient différentiel du second ordre. De même,
rf»y le coêfiicient différentiel du troisième ordre serait représenté par — ,
QfX
et en général, le coôfficient différentiel de tordre n, par --^ •
Sachant que le produit de la dérivée par dx donne la différen-tielle, la notation de celle-ci se déduira très facilement de la première, et Ton obtiendra
dy f[ {x) dx, ou -p dx, ou dy, différentielle du premier ordre;
iwX
f''{x)dxdx, — Tl"^» — ^y> — ^" second ordre;
et en général,
f^[x) {dxY, — j^ dx^, — d^y, — de tordre n.
n faut bien remarquer que ces expressions sont des symboles,
dy attendu que 3^ est une simple notation, et ne représente nullement
dx
un quotient.
39. — Différentielles suooeseives des fonotions d'une va^ riable. D'après ce qui précède, les différentielles successives d'une fonction s'obtiendront de proche en proche, par les mêmes procédés qui ont servi èi trouver la première différentielle ; nous les appliquerons à quelques exemples.
jo — La fonction
donne les dérivées successives suivantes :
du y' = /' (or) = -j^ = tna:*^, dérivée du premier ordre ;
cfiy y'':=zf{x)=^-~=^m{m-^ 1) x^"^, — deuxième ordre ;
