DÉRIVÉES D'ORDRES SUPÉRIEURS

(Pu y" = f^ (./:) = -j^^ = mm — I ){fn--2),£^''^, fie rivée du troisième ordre;

(m — n + 1) j:™-* , — n . . . ième ordre .

Si Ton fait « = m, celle dernière dérivée sera une constante, car elle deviendra

par suite, les dérivées de Tordre supérieur seront 7iulles (Sl).

— On peut en conclure que toule fonction algébrique entière du degré m, n'a que m dérivées, celle d'ordre m élant une comtante,

2" — Pour la fonction

qui est du troisième degré, on obtiendra trois dérivées successives, la dernière sera une constante. Ces dérivées sont (18-81-88-83)

y'' = 2c-h6nx, y'*'=6n.

3" — La sinusoïde dont Téquation est (80)

y = sina:,

donne successivement les dérivées (88) :

cosj:, — sinx, — cos j:, + sina:, -+- ,

ces dérivées se répétant ainsi indéfiniment, dans le même ordre. 4** — Les dérivées successives de

y =z cos X sont :

— smx, — cosa:, + sinx, + COSX, —

— On a vu (87. Rem) que la dérivée de la foriclioa

est égale à cUe-niùme ; la suite indélinie de ses dérivées successives sera, par conséquent, toujours 6»^.

•40. — Notations des dérivées et des différentielles successives des fonctions de plusieurs variables. — Etant donnée une fonction de deux variables indépendantes

fi^.y)^ (i)

nous avons pris, après les avoir définies (30), les dérivées partielles

df df de celte fonction. Ces dérivées -7- et — sont, en général, de nou-

ax dy

velles fonctions des deux variables, et si Ton prend les dérivées successives de la première par rapport à x^ on pourra les représenter d'après la notation convenue (38), par

de' ' dx' ' djd^'

Les dérivées diî la deuxièm(% prises par rapport à y, seront analogiquement

dif'dif di/

Mais, au lieu de prendre les dérivées successives par rapport à la même variable, on peut avoir à prendre la dérivée par rapport k y,

de la dérivée du premier ordre -7- , laquelle est prise par rapport à

d^f X ; la notation qui indique ces diverses opérations sera

dxdy'

Pareillement, -r— 7- indique qu'après avoir pris la dérivée de la

dydx

fonction (1) par rapport à //, on a pris par rapport à x la dérivée

de cette dernière ; en général, - — -j-^ montre que Ton a pris n dé-

rivées partielles successives par rapport à //, après avoir pris m dérivées partielles successives par rapport à x.

^l. — L'ordre des différentiations est indifférent; il suffit de différentier le même nombre de fois, par rapport à. oba^aLue variable indépendante. — Soit, en effet, la fonction

DKRIVKKS D'OHDRKS SUPKRIELHS .i«

Les principes exposés (15-30) indiquent que la dérivée partielle par rapport à x s'obtient en changeant^ dans la fonction proposée, ./• en .r + dr, en retranchant de la nouvelle fonction ainsi obtenue, la première, et en divisant le résultat par dx ; on aura donc

du /(.r + dx, y) — f{x, //)

dx ' dx ' ^ ^

La dérivée partielle par rapport à // de cette dernière expression, s'obtiendra par les mêmes règles, et Ton aura

d'il f(x-+-dx, ;/-i-df/) — f(x, //4-rf//) — f{x+dx, //)+/(>,//)

ilxdf/ dxdfj

Si, intervertissant Tordre des différentiations, on prend maintenant, toujours d'après les mêmes procédés, la dérivée partielle de la fonction proposée par rapport à y, puis la dérivée par rapport à X de la dérivée obtenue, il viendra en premier lieu,

du /(/',//-+-d//)— /(■r, y) ,..

d!j~ dy ' ^^

ensuite

d'il f{x+dx, i/-^dy)—f{x-\-dx, y) —f(x,y+dy) -hf(x, y)

dyd-jc dydx

Remarquant que les seconds membres des expressions (3) et (5) sont les mêmes, sauf Tordre suivant lequel sont placés les termes, il s'ensuit que les premiers membres doivent être égaux, et Ton aura

dhi dhi

i.€dy dydx ' ce qu'il fallait établir.

On pourrait étendre de proche eu proche ce principe à un nombre quelconque de variables ; on est donc en droit de conclure que tordre des Aifférentiations est tout à fait indifférent,

<48. — I>ii!réreiitielle8 successives des fonctions de plusieurs variables. — Reprenons actuellement la relation (30.3), qui exprime la différentielle totale du premier ordre, de la fonction

■^^fi^^y), (1)

50 CALCTL niFKKRKNTIEL

de deux variables indépendantes ; celle différentielle est

Les règles connues de difFérentiation d'une somme et de produits (SÔ-S3), donneront pour la différentielle de deuxième ordre (38),

or, dans cette relation les différentielles indiquées par les deux termes

composés chacun de deux variables^ s'obtiendront par le même principe (30) formulé (2), il viendra en l'appliquant,

^(df\ dY^ , dy

[df\ d'f , rfy ,

jdn d'f ^ dy^

\dti/ dvdx du* ■'

^dy/ dydx dtf

et en remarquant que d'après (-41),

dy dY

da:dy dydx

on aura, en substituant les valeurs trouvées (4 et 3) dans la relation (3),

d'f , 2d-7 ^ ^ dy ^ , df ,, df ^

. — Pour 2)re7id?'e la différentielle du troisième ordre dhi, il faudrait différenlier la relation dernière (G) ; c*csl-à-dire opérer sur cette relation comme il a été fait sur la relation (42. 2), en appliquant toujours les règles de différentialion d'une somme et de produits, plusieurs fois rappelées. On trouverait ainsi, en outre des

quantités déjà obtenues d( — j, 'Hj")' <^^ ^'^^^ i^^^^s avons trouvé les différontiollos (4S. 4 et S), les autres quantités

DÉIUVÉKS D'OHDHKS SI'PKHIEIHS 51

qui exprinicnl de leur côté les différentielles de deux variables ; différentielles que Ton trouverait encore au moyen de la même formule (4S. 2). En remplaçant ces nouvelles expressions et en faisant les simplifications possibles, on obtiendrait enfin la différentielle cherchée.

On opérerait de la même manière pour trouver les différentielles des ordres supérieia^s; mais à mesure qu*on s'éloigne, les calculs deviennent de plus en plus laborieux.

Le deuxième ordre suffit d'ailleurs, dans la plupart des cas.

Remarques I. — On représente souvent les expressions (2 et 6) du numéro /éd^ par d'autres plus simples, en faisant

df df d'f d'f d'f

-^=p^ Ty=^' d^='' d^r' "' dp='' ^*)

on obtient, de la sorte, pour ces expressions,

du =pdx 4- qdy, (2)

(Vh = rdx^ + 2s(lxdi/ + tdtf -i-pd*x + qd'y. (3)

IL — 5/ maintenant^ au lieu d'être indépendantes, on suppose que les variables soient foncliom d'une même variable indépendante V, on aura les égalités suivantes :

dx du d'x d'y , d^i

dx=— dv, dy=-rdv, r/-vc=-— dv*, d*y=^'-^^dv' oid*u=--—dv-: dv dv dv^ dv^ dv^

par conséquent, l'expression (3) deviendra, en divisant par dv^y et en faisant les substitutions voulues,

[*u [(IxV dxdy fdyV d'x d*y

•4^. — DifFérentlelles successives des fonctions composées.

— La relation trouvée (40.0) sera également applicable aux fonctions composées^ en lui donnant les modifications permises par la nouvelle nature de la fonction. Admettons qu'il s'agisse encore de la fonction

.ji CALCUL DIFFÉRENTIEL

mais dans laquelle les deux variables x el y sont elles-mêmes, fonctions dune troisième et même variable :;.

Sachant (14-38) que ./ et ./', y' et y" désignent les dérivées respectives du premier et du second ordre ^ de r et de // par rapport à 5, on aura les égalités

(lr = xdz, d'.r = .F'dz\ dy^^t/dz et d'u^if'dz^ ; (2)

de sorte que, si Ton divise par dz^ tous les termes de Texpression (4:8. 6)^ et si Ton fait les substitutions indiquées par les égalités (2), elle prendra la forme suivante :

— . = — .^*H-2 — —tu-\ ^y '-h-rr H — ^y . 3)