DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES SUCGESSITBS DES FONCTIONS

IHFUCITES.

— Soit do7inée la fonctio?i implicite

dans laquelle on admet que x est la variable indépendante. La dérivée du premier ordre a été trouvée (3S. 3;; elle est

dx d//

Pour trouver les dérivées des ordres supérieurs, il faul suivre la règle exposée (49 et 43)pour les fonctions expliriles. Or, la dérivée du deuxième ordre n'étant autre que la dérivée de la dérivée du prenïier ordre, on est conduit, par cela même, à opérer sur la relation (2^, en observant les règles connues d'une somme et d'un produit ; mais il faul remarquer que les termes — «4 — comprenant

df: df/

chacun deux variables, leurs dérivées seront de la fonne (2) qui provient aussi des deux variables x et y ; par suite, en leur appliquant cette formule (2 ' on trouvera :

DÉRIVÉKS nOIlDRES SUPftUlKrHS 53

dérivée de

d.r d.r* d.tdy' ' ot dérivée de

df d}f d^f

(ly djf^ df/d^i: '

On aura donc pour la dérivée de deuxième ordre,

d'f d'f , d'f ,, d'f . df „ ^ d.r« ^ d.rrf// '^ rf// -^ dydr '^ ^ dy ''

el, en simplifiant,

éU* rfyrf./" dy dy

Il y a lieu de remarquer que cette dérivée aurait pu être déduite plus simplement de l'expression (3) du numéro précédent, laquelle provient de la fonction « = /'(x, y). Il suffit d'observer que, dans le ca« qui nous occupe, x étant la variable indépendante, x =\ et j:*'=0 (si. Rem); les dérivées de la fonction elle-môme seront

nulles el — == , par conséquent la relation précitée,

ihi d'f , ^ d'f , , d'f ,, 4f , df , dz" dr ^ dxdy-'dy^'^ dr dy^ '

deviendra effectivement,

f(Y+2^y' + llV«+î^^''^0, (3-)

dx^ dydx'^ dy"' <y

expression dont C identité avec (3) ost manifeste.

-46. — Pour trouver la dérivée du troisième ordre nous suivrons la même marche, en prenant la dérivée de l'expression (-45.3). Les dérivées des termes de cette relalion, déterminées suivant la formule (45.2), seront d'abord :

dérivée de

dz* dx^ dx*dy '

dérivée de

dxdt/ (ir-df/ '' dxdif ' d'f d'f ,d'f

en les remplaçant dans l'expression (3)^ et en appliquant toujours les règles connues d'une somme et de produits, on trouvera

''Y ,. rfY ,, # „ rfY , . rfY „ „

et, en simplifiant,

+ y'^éL= . (4)

Celte relation aurait pu être déduite de la dérivée du troisième ordre de la fonction ii = f[x, y), en remarquant comme ci-dessus, que x = i, a:" = .r'" = 0, et que les dérivées de u sont nulles.

— On trouverait j^r une marche analogue, la dérivée du quatrième ordre ; mais cette recherche, d'ailleurs très longue, n'offre aucun intérêt pour les applications ordinaires, dans lesquelles on ne rencontre guère des dérivées supérieures au deuxième ordre.

-17. — Avafit de passer 8i\i\ applications analytiques, nous allons établir une formule générale d'analyse, dont les conséquences très importantes faciliteront la solution de quelques questions ultérieures.

Considérons, à cet effet, deux fonctions toujours continues

Y[x) et f[x), (1)

(rune même variable, et supposons qu'en donnant à cette variable les valeurs comprises entre xi et une valeur très voisine ^i H- A, h étant une quantité finie, la fonction f(x) varie toujours dans le même sens ; c'est-à-dire que Ton obtienne constamment dans cet intervalle, Tune des inégalités

A^O>0, ou f'(xs)<0,

F ' U) Le rapport • des dérivées, — deux fonctions que nous sup-

posons aussi continues dans Tétendue des variations considérées, — prendra pour les deux valeurs extrêmes de la variable, deux valeurs correspondantes, par exemple A et B ; on aura en général

Or, admettant d'abord /' (x) > , les inégalités (2) peuvent se représenter ainsi :

F' (x)< A /' {x) et F' {x) > B /' (x) .

Elles indiquent que dans les limites fixées à la variable, la dérivée de F (x) est constamment inférieure à la dérivée de Af{x); par suite, les accroissements élémentaires de la première sont toujours plus petits que les accroissements correspondants de la seconde. Il en sera évidemment de même pour les accroissements totaux, et l'on aura

F(xi-hh) — F{x^)<A [f{xi + h) — f [x^)] . (3)

Pareillement, on aura

F{x,-hh)-F (xt) >B[f (x( + h) — f{x,)\ . (4)

Mais nous avons supposé /' (««)> 0, donc fix^+h) — /"(a'i)>0, et les inégalités (3) et (4) deviennent

F{xi-hh') — F(x,)

f(xi-\-h)—f{x,)

F (x, + ^) — F (x,) f(xt-hh) — f{x,)

^ CALCUL niFFKRENTFEL

Si clans la variation de a:i àxi + A on avait eu ^'(j"ii<0, on aurait Irouvé le même résultat, car on aurait dû renverser deux fois les signes des inégalités.

Le rapport des accroissements est donc compris entre les valeurs extrêmes A et B. D'un autre côté, le rapport des dérivées (2) prend successivement toutes les valeurs intermédiaires depuis A jusqu'à B, quand la variable prend toutes celles comprises entre .r^ et .r| + /i. lien résulte que ces rapports deviennent égaux, pour u?ie certaine valeur 6 h de Vaccroissemefit de x, ^ étant compHs entre <?M . On aura donc

F(x.+/0-F(.r.) F-(x, + eA)

•48. — Lorsque les dérivées F' (r,) et f (.r») sont nulles, et que f" (.r) conserve toujours le mémo signe depuis la valeur x^ jusqu'à la valeur x^ -H A, on peut au second membre de l'expression C5) substituer

De même, si les dérivées successives des fonctions F (.r) et f{x) sont wî^//^.v jusqu'à celle d'ordre n, et que /** {x) varie toujours dans le m<*»me sens dans l'intervalle considéré, on pourra écrire

Remarques. I. — Si Ton suppose en outre que f{x) = {x — x^)*, le dénominateur du premier membre dé Texpression (6) deviendra

/i», et celui du deuxième membre (3Ô), 1.2.3 n ; la formule qui

précède se réduira dans ces conditions, à

F(.r. + /0— F(\r.) ^ Fn(a:.+0/i) .^.

Elle montn; que pour un accroissement fini h de x, Taccroissement do la fonction continue F (x), est de la forme

V{x,-h/i) — F{x,) = hF{x^-h^h).

Cet accroissement sera

APPLICATIONS ANALYTIOUES 37

^F'(x,+fih), si F'(j:,) = 0;

il sera

F" (r, + e //) , quand de plus F" (x,) = ;

et ainsi de suite

II. — En faisant dans la formule générale (7), x=0 et h=^x, on obtient la relation

F(u:)-F(0) = -— ¥-{Hlt), (8) ^;

qui donne la valeur d'une foriclion, exprimée au moyen de la première dérivée qui ne s'annule pas pour j: = 0.