Supposo?is en premier lieu , que les deux termes de

F (.r) la fraction proposée s annulent en substituant à la variable x,

une valeur particulière x^ ; la fraction prendra la forme - . Pour en

trouver la vraie valeur, // faut chercher la limite vers laquelle tend la fraction, lorsque, après avoir donné à la variable une valeur j*, +A très voisine de j;,, on fait fendre cette valeur vers x<.

Cela posé, la relation (47. S) donnera, en observant que F {xt) et f(Xi) sont Tune et l'autre nulles,

et quand h décroît indéfiniment, la vraie valeur de la fraction devient

Si les premières dérivées sont aussi nulles, on peut écrire (-48)

58 CALCUL DIFFÉUExNTIEL

f {.c, + }i)~ f" (Xt -\- hi)'

cl la vraie valeur sera

Si les deux termes de cette fraction étaient encore nuls, on prendrait les dérivées du troisième ordre, et ainsi successivement jusqu'à ce que l'on arrive à des dérivées qui ne s annulent pas. Celles-ci donneraient la valeur cherchée.

Exemple, — Soit donnée l'expression

X — sin j:

1 — cos X *

qui prend la forme de Tindétermination - , quand on fait x=Q, En

remplaçant les deux termes par leurs dérivées du premier ordre,

on obtient

1 — cos X

sinx

qui prend encore la même forme pour j: = 0.

Prenant les dérivées secondes, on trouve

sin X

cosx

qui pour a? = 0, donne enfin - = 0, vraie valeur de cette expression.