Soit maintenant une fraction
devenant — pour une valeur x, de x.
On peul écrire, idenliqueracnl,
f{x) J F fa:)
expression qui donne pour les deux termes du second membre, les
valeurs
—- = 0, et ^rn = 0;
en les représentant respectivement par <p {x) et par ^ (x), on aura donc
ii{x)
La question se trouve ainsi ramenée au cas précédent ('49), et Ton opérera comme il a été fait pour ce cas.
Remarque. — Cependant la règle (49) n'est pas toujours applica* ble ; on trouve quelquefois des dérivées successives dont les rapports sont tous également indéterminés^ comme les fonctions ellesmêmes. Il faut alors, pour trouver la vraie valeur de l'expression considérée, employer des artifices qui consistent généralement à remplacer x par x\-\-h\ à développer les calculs indiqués, de manière à introduire, autant que possible, une puissance de h comme facteur commun aux deux termes ; et enfin, à faire A = dans l'expression obtenue.
Exemple. — Soit la relation
\Jx — a yjx^ — a'
En faisant a; = fl on trouve-. Les dérivées donnent pour la même valeur de x^
et les dérivées suivantes donneront toujours — ; taudis qu'en remplaçant dans la relation proposée, x par a + A, on trouve
(A' + 2a/j)7 h\{h-\-2a)\ {h-\-2a)\' dont la valeur se réduit à zéro en faisant ^ = 0.
51. — L'expression OXoo , provenant du produit de deux facteurs ç (x) = par A (a?) = 00 , est ramenée facilement au deuxième caS; ou directement au premier ; car on peut écrire
?(^).'H-^)==-hi
ff(X)
ou mieux
On connaît (^49) la marche à suivre pour en déterminer la vrai» valeur.
Exemple. — La relation
a;log(l+l),
qui devient oo x en faisant a;= oo , peut s*écrire
log (l + i)
Jogd+t;)
ou
en posant -= v. Remplaçant par les dérivées, on aura
loge
et en faisant dans cette dernière expression * a? = oo , c'est-à-dire t; = 0, on trouvera, pour la valeur cherchée,
log«.
B2, — On peut encore avoir à examiner des expressions de la forme
En prenant les logarithmes^ on a
APPLICATIONS ANALYTIUUES 61
el l'on tombe de cette manière, dans Tun des cas examinés.
— E?i cUtribuayit une certaine valeur particulière à la variable, l'expression (1) peut enfin prendre l'une des formes
Pour obtenir sa vraie valeur, il faut faire varier à la foi^ x dans les deux fonctions ; car, si les variations avaient lieu successivement, on pourrait Aire conduit à des résultats erronés.
Supposons, en effet, que la fonction exponentielle proposée (1) se présente sous la forme 0^, en donnant à la variable une certaine valeur x\. Si, pour trouver la vraie valeur de F û')^(*), ou faisait varier x dans F {x) seulement, on aurait une expression de là forme 0^^*) qui ost constamment nulle ; donc lorsqu'on fera tendre x vers .r,, on aura aussi une valeur nulle. En faisant varier d'abord f{x), on obtiendrait F [xy qui est toujours é(/ale à funitéy quelle que soit la valeur de x.
On voit par là, que cette manière d*opérer donnant des résultats différents, est vicieuse ; d'où ressort la nécessité de faire varier simultanément la variable dans les deux fonctions.
