DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SfiUES

63. — I>6veloppenient des fonctions algébriques entières, d'une seule variable. — Ayant une fonction

algébrique et entière par rapport à x, si Ton donne à cette variable un accroissement h, on trouve facilement par la loi du binôme, le développement de la nouvelle fonction obtenue f{x + h) ; il suffit de se rappeler, qu'un terme quelconque du développement de (a;+ A)'*se déduit du précédent, en multipliant ce dernier terme par l'exposant de x, et en diminuant cet exposant d'une unité — ce qui revient à prendre la dérivée de ce terme par rapport àx — ; puis on augmente l'exposant de h d'une unité, et l'on divise le résultat par le nombre des termes qui précèdent celui en formation.

Celle règle s'applique, évidemment, au cas où la fonclion qu'il s'agit de développer est affectée d'un coefficient^ à la condition que Ton multiplie tous les termes par ce facteur.

Cela posé, soit la fonction

/^(a:) = A.r«H-Ba:"»-* + C,T"»-» + +Ma; + N, (1)

ordonnée par rapport aux puissances de x. En changeant x en x + hy on aura

f{x+h)= A(x+A)«H-B(a:+A)"-'+ G (a:+A)*-*. .+ M(aî+A)+N ;(2)

par suite^ les développements successifs de chaque terme du second membre seront :

A (ar + /0'"= A ^«H Aa?"*"* H ^^ A o?"»-^ /i^ + . ,

M(a:+/4) = M a? +MA, N =N.

En faisant les sommes des termes placés sur les mêmes colonnes verticales, les premiers membres formant la première, donnent (2) la fonction proposée f (x + h) ; les premiers termes des seconds membres fournissent (1) f[x) ; les deuxièmes termes formant la troisième colonne sont les dérivées respectives des premiers termes,

et ont tous h pour coefficient ; leur somme est, par suite, f (x) t ;

la quatrième colonne est formée des dérivées respectives des termes

A' de la troisième, avec — pour facteur, et donne pour somme

/r f" [x) — ; ainsi, les termes se forment successivement d*aprî»s Id 1 .2

même loi. On aura, par conséquent,

Le nombre des termes de ce développement est, dans ce cas, limité ^ m + 1; car on sait que la dérivée de l'ordre m est une constante (39).

— Cette formule (3) est connue sous le nom de Série de Taylor ; nous verrons aux prochains paragraphes qu'elle est applicable, sous certaines réserves, à toute fonction d'une seule et de deux variables.

Exemple. — Si l'on a la fonction

f{x) = x^-\-^x^ — hx* — Zx-\-%,

les dérivées seront successivement :

/" (a;) = 4 a:' + IS «' — 8 j: — 3 , r(a:) = 12.î;'+30x — 8, f'"{x) = 2i,x + m, r{x) = 2i;

et le développement de f{x-\-h) sera

x' ■+■ ix*\ +12a;*) +24x) ^i +24

+ 5a;' H-lSa;'U+30a;>— +30 ^1.2.3 r{x-i-h)=l 4^ 8a, ( 1 8

ou, en simplifiant,

X* + 4xM + 6x' J +4a; + 5a;» +15x»f +1Sx[a*

fix+h)—{ij.t — %x [ — 4

ftl CALCUL DIFFÉRENTIEL

S^,— -Développement des fonotions quelconques d'une seule variable. — Indépendamment des fonctions algébriques entières, toute fonction quelconque de x-hh peut se développer suivant les puissances entières et positives de l'une des parties, pourvu que la fonction et toutes ses dérivées conservent une valeur finie, entre les limites x et x+h, très rapprochées de la variable.

Pour établir cette propriété, il suffit de démontrer que la série de Taylor peut donner f[x + h), avec telle approximation que l'on voudra, en s'arrêtant à un terme du développement d'ordre « convenable ; et dans ce cas, la séné est convergente.

Supposons à cet effet, que ç(A) soit la fonction inconnue de x et de /t, qu'il faut ajouter aux n premiers termes de la série pour reproduire f[x+h) ; on aura (63. 3) :

En faisant dans cette identité A=0, il viendra

/(a;)=/(a;)+?(0), d'où, ?(0) = 0.

Prenons les dérivées des deux membres de la série (1) par rapport à h ; elles seront nécessairement égales, et nous aurons

^; (,+ A) =/- («)+A/"(a.)+ +ré^)^' ^"^-^^'^'^'

Si l'on fait encore A = 0, il viendra

^'(a,)=/'(x) + î'{0), d'où, ?'(0)=0.

En opérant ainsi sur les dérivées successives, on reconnaîtra que toutes les dérivées de <p(A), jusques et y compris celle d'ordre n-i sont nulles ; et l'on aura, en dernier ressort,

Or toute fonction exprimée au moyen de la première dérivée qui ne s'annule pas, est domiée (48. 8); elle sera pour le cas qui nous occupe,

APPLICATIONS ANALYTIOUKS 68

ou, à cause de la dernière égalité,

par suite, la série (1) deviendra

i. — Soieiit maint ena?it A et B, les valeurs extrêmes que prend /*(a?) pour les deux valeurs x et x-^-h ; le dernier terme et par suite, l'erreur commise en s'arrêlant à ce terme, seront compris

enlre —r et

d'ailleurs, ce dernier terme

tend vers zérOj quand n croît indéfiniment. En effet, nous avons supposé que f{x) et toutes ses dérivées conservent une valeur finie, dans rintervalle compris entre w et x-}-h,H suffit donc de mon-

Irer que l'autre facteur — tend vers zéro, en augmentant n

indéfiniment.

On voit de suite qu'il en sera ainsi, si Ton a A < 1 ; car pour n suffisamment grand, h^ deviendra plus petit que toute quantité donnée. Si h est quelconque, on peut toujours supposer que cette quantité est comprise entre les deux nombres entiers consécutifs p et

p4- 1, de sorte qu'à la place de — on peut mettre :

* aéà* * » » n

Mais le produit

est plus petit que ( t)*'» ^^ comme le dénominateur /?+! de

celte dernière fraction est plus grand que le numérateur A, elle peut être rendue aussi petite que ton voudra^ en prenant n suffisamment grand; elle tend donc vers zéro; par suite,

et — /^(x+9A)

tendent aussi vers la même limite. Par conséquent le deuxième membre de la relation

est une série convergente^ et a bien pour somme f[x + k).

— Cette formule généralise la série de Taylor ; on peut démontrer qu'elle est susceptible de prendre la forme

A^-eA), (6)

expression qui ne diffère, comme on le voit, de la précédente, qu'en ce que h a été changé partout en — h,