Autre forme du reste de la série de Taylor. — On

a quelquefois besoin dans le développement de certaines fonctions, de donner au reste de la série de Taylor une forme plus coinmode^ pour reconnaître s'il tend vers zéro.

Reprenons l'expression (64.1)

fia> + h)=f[x) + \f' {x) + ^^r {X)

et supposons que raccroissement arbitraire donné à x soit tel, que a: H- A = c, une constante.

On aura

fl?a?+rfA = 0, d'où, rfz = — rfA.

Pour trouver le reste de la série (1), nous avons différentié la fonction par rapport à A, qui n'entrait pas dans les dérivées ; différentions actuellement, par rapport à a: en faisant varier x et A, et en considérant chaque terme comme un produit de deux variables. Inscrivons le résultat dans Tordre qui suit :

o=[/'(.)+Jr (x)+^r(a^)+ + i.2...''l-i) ^"(")

On voit que les termes se réduisent deux à deux, sauf les deux derniers avant le crochet, qui donnent

Or.

el l'expression d'une fonction au moyen de la première dérivée qui ne s'annule pas, fournit (-AS. 8)

par suite, l'expression (3) dans laquelle on remplacera aussi h par 6//, donnera combinée avec cette dernière

et en mettant pour simplifier 6 à la place de 1 — 6, — qui a été introduit dans la relation ci-dessus, — tous les deux étant compris entre et 1, on a

68 CALCUL DIFFERENTIEL

— On trouverait pour le développement de f(x — A), le reste

57. — Série de llCaclaurin. —Dans la formule de Taylor(65.5), on peut remplacer x par h, puis h par x^ et il viendra

+ i.2/...n ^''^' + ^"^- Faisons maintenant A == 0, nous aurons

/(ar) = /(0) + j/'(0) + ~/' (0) + ^-^gr{0)

formule connue sous le nom do série de Maelaurin. Elle suppose que les fonctions

AO), /'(O), r(0), H^x)

sont des quantités finies de la fonction et de ses dérivées ; on l'applique au développement d'une fonction de x^ suivant les puissances croissantes de cette variable.

— Comme dans la série de Taylor, le reste peut prendre aussi une aiUre forme qui découle de celle obtenue (ôe. 4); il suffit de changer dans celle-ci, h en x, après avoii^emplacé préalablement x par zéro ; on trouve de cette manière,