I>éveloppeinent des foncttons de deux variables

On peut étendre la série de Taylor aux fonctions de deux variables. Pour cela, nous mettrons cette formule sous la forme suivante :

APPLICATIONS ANALYTIQUhS 69

Dans la fonction donnée

changeons x ^VLX-^h^ ensuite y en y-\-k^ et proposons-nous de développer la fonction ainsi obtenue,

f{x-ArK y+K). (2)

Pour faire ce développement il faut, d'abord, supposer que l'expression (2) est une fonction de x, en regardant y comme constmit ; on aura, dans cette hypothèse, en appliquant la série (1),

rr . 1.^ ^, l^ hdfix.y-^h) h* d'fix.y+k)

^TTz — d? — + ^^^

En appliquant de nouveau la série à tous les termes successifs du

h h^ h' second membre, sans y comprendre les coefficients 7 , 77: , r-r-^ . .

, et en les considérant comme des fonctions de y seulement, X étant supposé constant, on aura

df{x,y-\-k) df{x, y) dV{x,y) A' tPf{x,y) fc' d'f{x,y) dx dx dxdy 1.2 dxdy* 1.2.3 dxdy^

fn^,y-hk) d'f(x,y) d*/{x,y) k* d'fjx.y) k' d%x,y) do* dx" éir»rfv 1.2 dx'rfv* 1.2.3 «far» dv'

d'fjx^y+k) d^f{x,y) d^f (x, y) k* d^f{x,y) A» d^fjx, y) dx' dx' "^ dx* dv "'"1.2 rfxVtf' "'"1.2.3 dx'dy*

En substituant ces valeurs dans la relation (3), et en ordonnant il viendra

TO CALCUL DIFFERENTIEL

dr 1 <Lr--iy l.idxdy^ ~l^5? 1.2,

la, en faisant la somme de ehique ciL*Ic»an*?'. on iroave

df df ^ i ff

--|(fU .H

— Od reconnaît qne le ternie gênerai de ce déToIoppomenl est le produit do factenr — — , par Texpression

On peut le représenter d'ane manière syntj •*i'fue^ par