est convergente, et a bien pour somme a
Ol. — I>éveloppam6nta de e^ et de e-^.
1*. — LêU fonction
donne lieu à des dérivées successives égaies à elle-même (87), qui deviennent Tunité pour aî = 0. Les dérivées de c^* sont aussi e®*. On aura, conséquemment, par la série de Maclaurin (67. 1),
Le facteur e®* est une quantité finie ; l'autre facteur tend
vers zéro à mesure que n augmente (66), de sorte que le dernier terme a pour limite zéro. La série est donc convergente et peut être appliquée.
2". — Pour développer
il faut remarquer que les dérivées successives de cette fonction sont (ô7) :
et ainsi indéfiniment, les termes étant alternativement positifs et négatifs. En faisant ar=0, on obtient
la fonction elle-même est égale, dans ce cas, à Tunité. L'application de la série (67. 1) donnera
Comme ci-dessus, le reste tend vers zéro.
6d. — Développements de sin x et de cos x.
1*. — Les dérivées successives de
f(x) = sin X {{ )
sont (39. 3*) :
cos a?, — sino?, -^cosj7, +sin j:,H- ;
en faisant a? = 0, on obtient la période
La fonction se réduit à zéro pour a; = Oy et f^{Hœ)^^cou^x pour 7i=:4m + l, m étant un nombre entier positif ; on aura, par conséquent, en s'arrêlant à ce terme (57) ,
sin j:==- — T-r-:;H H ttz. cos Ojî.
Mais cos 6j? est fini, et l'on sait (65) que a pour li-
mite zéro^ lorsque n augmente indéfiniment.
2*. — Pour la fonction
f(x)=iCOSXj (3)
on a va (30. 4*) que ses dérivées successives sont :
— sinx» — cosx, +sinx, +cosar, ,
ou, en faisant x=Oy
on trouve aussi, dans cette hypothèse, zéro pour la valeur do la fonction. Donc^ on aura (57)
cosj?=l 1 — ^rr-rr; cos6x, (4)
on supposant n pair. Le reste a encpre zéro pour limite.
es. — Développements de log' (l-f ^) et de log' (i— 0?). Soit à développer
Les dérivées de celte fonction sont successivemcnV (18-19-38):
/'«(a:)=qzl.2....(w— 1) (l+-x)-\ =qfi 1.2....(w— 1). (1)
D'ailleurs, dans Thypothèse où^ = la fonction devient
log'(H-a:) = log'l=0; par suite, on aura (57. 1)
log'(l+x)=---+-.. ±:p-(,+e.)-.
Le reste revient à
x^ ( i Y if X Y
On voit de suite que la valeur de x ne peut être supérieure à l'unité, car dans ce cas les termes deviendraient iniiniment croissaîilSy et la série serait divergente. Mais, pour j: = 1 ou >0, la série sera
convergente^ puisque (- r- ) pourra devenir aussi petit que Ton
voudra. Donc, dans ces conditions, la série exprime bien la valeur de log(l+ar).
Si maintenant on suppose a:<0, on posera j: = — v ; abstraction
1 / V Y faite du signe, le reste pourra s'écrire - l j r-; ) ; sous cette
forme, on reconnaît bien que - , Tun des facteurs, tend vers zéro
quand n augmenle au-delà de toute limite ; mais on ne peut savoir
quel est celui des termes de la fraction r- qui est le plus grand ;
on ne peut dire, par conséquent, si la série est converge^ite.
Pour le reconnaître, il faut avoir recours à la deuxième forme du reste de la série de Maclaurin, qui est (57. 2)
Faisons x= — v, la valeur absolue de ce reste sera, sachant que d'après (1) /•*(ea:) = 1.2 {n—i) (1 — 6^)-^
{4 — Hvf ^^
\1— 6v/ 4— Ou ' ^^^
L'un des facteurs j r- de cette dernière expression est une
quantité finie, et si v est plus petit que l'unité, l'autre facteur
étant une fraction tant que v reste supérieur à — 1 , sa puissance tend vers zéro à mesure que ?i augmente.
La série est donc convergente^ pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites + 1 et — 1 ; elle est convergente pour x={^ mais non pour x=: — 1 .
u — Pour développer
on aura successivement :
La fonction se réduit à zéro quand x={S\ on aura par suite^ en
— X^r \ — -- . OU
prenant la deiiadème forme du reste (63. 2), qui seule permet d'en reconnaître les variations,
iog'(i— x)=— j— -— -j— ~;izi
— a?*(i — e)*-i (1 — ea:)-* .
Ce reste peut encore s'écrire
(1— Ox)*' "" ~i eU eJ '
et Ton voit que pour x <C 1 , le facteur entre parenthèses étant luimême plus petit que Tunité, sa puisssance peul devenir aussi petite
que Ton voudra ; il en est de même du premier facteur—^ — • ; par
conséquent, ce reste tend vers zéro lorsque n augmente au delà de
toute limite. La valeur de x peut descendre jusqu'à — 1, sans que
ce reste cesse de tendre vers l'infini ; donc, pour toutes les valeurs
de X comprises entre +1 et — 1, la série sera convergente.
Remarque. — On ne peut développer directement la fonction y = log' j:, parce que quand on fait .jc = 0, cette fonction et ses dérivées deviennent infinies.
65. — Les deux développements obtenus aux numéros 63 et 64 qui précèdent, donnent par voie de soustraction,
/l+x\ fx x^ x^ \
En faisant
d'où , ^ = " ^ >
et en remplaçant, on trouve
+r7STTT7.+ )
APPLICATIONS ANALYTIQUES Tî
— Cette formule permet de trouver la différence des logarithme^ de deux nombres consécutifs, et par cela même, de tous les nombres, en donnant pour valeurs saccessives à n, la suite des nombres
naturels 1.2.3 Cette opération ne se fait pas pour les nombres
pairs, parcequ'il est plus simple de faire la somme des logarithmes de leurs facteurs.
Lorsqu'on a déterminé par ce moyen les logarithmes népériens
ou hyperboliques y il est commode de passer à un autre système^
puisqu'on a
Pour les logarithmes vulgaires dont la base a = 10> on aurait
V log' 10 = w, qui donne v = — r— u ; d'où l'on déduit le module
log 10
log 10 2,3023850930...
