I>éveloppem6nt de (1 + x)^. La fonction

devient égale à l'unité en faisant u:=0.

Elle a pour dérivées (18-38),

/' {x) = m{\ + xr-\

/••(x) = m(»n— l)(m — 2)( )(OT — n+l )(!+«)"-•.

Si) faisant x = 0, ces dérivées seront :

et la série de Maclaurin donnera

'^ 1.2. . . . . ;» :î^^«(l+ex)«-», (2)

qui est la formule du binôme complétée par le reste.

Dans cette série, le rapport d'un terme quelconque de rang p au

m — /> + 1 précédent, est x\ pour que la série soit convergente^ il

faut (Séries 3) qu'il soit inférieur à Tunité ; ce qui exige que x soit

compris entre +1 et — 1.

Nous allons montrer que le reste tend vers zéro, lorsque x afTecte

une des valeurs intermédiaires. Pour cela, décomposons le premier

facteur

en d'autres facteurs, de la manière suivante :

mhn — 1)( )(m — m) ,, — 1 — 2 m + l — n

i L2 Ll - j;***+^ x X X

en prenant pour le numérateur du premier, la dérivée de Tordre

m + 1. On sait que celle dérivée doit être nulle, et on voit qu'elle

l'est en effet, puisqu'elle contient le facteur partiel m — m = 0. Le

facteur

m[m—i){ )(m — in)^^^^