m(mH-l

est donc nul. Les autres facteurs partiels convergent vers — x, et sont inférieurs en valeur absolue à x. Il en résulte que la valeur absolue de leur produit est inférieure à a:"; par suite, ce produit tend vers zéro quand n augmente indéfiniment. On voit aussi que l'autre

facteur (2)

est plus petit que l'unilé pour jc > 0. Donc, le reste tend vers zéro à mesure que n augmente.

Si l'on a j:< 0, il faut, pour savoir si le reste tend Verâ zéro, prendre la deuxième forme (56),

m(iw-i-l)( ^{m — w + 1) ^.^ Av i/- A V

Faisant v = — x, ce reste pourra s'écrire en valeur absolue, m(m — 1)( )(m — n+1) ,. ^v ,,.

comme et que

le produit des deux derniers facteurs peut être transformé en

qui tend vers zéro alors que v reste compris entre +1 et — 1. Ainsi la série (1) exprime bien la valeur de (1 4-a:)"*, pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites + 1 et — 1 .

67. — La série de Maclaurin s'applique aussi au développement

de la fonction

On trouverait par les mêmes procédés,

{l-x)^i-jx+ ^^^ V ^—jj^ -V+....±R«, (2)

qui est toujours la formule du binûme, dans lequel le reste tend vers zéro.

— La série de Maclaurin s'applique encore aux fonctions (66.1) et (67.4), lorsque T exposant m est négatif.

— // est facile de déduire du développement obtenu pour (1 +z)"*, celui de (a + 6)"*; il suffit pour cela de multiplier tous les termes par o^; le premier membre (66.2) deviendra, en effet,

a^ (1 + ar)'*= (a + ax)^ ;

et si, supposant 6 < a, on fait x=- , on aura bien (a + ô)**.

De même, si après avoir obtenu le développement de (1 — j:)** (67.2), on multiplie tous les termes par a*, on obtiendray dans l'hypothèse qui précède, [a — è)"*.

68. — Formule de Moivre. -— Reprenons les développements trouvés (61.2) et (60.2), pour e^ et pour sin x.

Dans le premier changeons x eux \/— 1 , et multiplions tous les

termes du second par y] — 4 , il viendra respectivement :

Retranchant la dernière égalité (2) de la première (4), on trouve

Or, le second membre de cette égalité n'est autre (6». 4) que le développement de cos x ; on aura donc

ou en changeant «r en — x ^

g^W-i __ çQs ^ — gin ^^ — i , (4)

Les formules (3) et (4) donnent :

4*, en les ajoutant^

2 cos a; = e*v^+ 6-*v^-i ; 2°, en les retranchant,

2 sin xyf^ = c«V" ^-«V-i .

D'ailleurs, la formule (3) étant générale, est encore vraie pour mxy et 1 on aura aussi

^mxv—i —- ÇQ^ YHx + sin mx yj — 1 ; comme

on obtient en définitive

(cosoT + sin jrv' — l)* = C08 7WJ: + sîni>ia:v — 1,

relation connue sous le nom de formule de Moivre, qui peut s'étendre aisément à m quelconque, et avec laquelle on trouve les développements en séries de

sin mx, et de cos mx.